1、內蒙古財經學院本科畢業論文級數求和的方法及應用作 者：張男系 別：統計與數學學院專 業：數學與應用數學年 級：2010級學 號：102091104指導教師：陳濟和內 容 提 要級數,重要的數學工具。級數不但對數學本身意義非凡，還在其他學科和其他技術的研究方面起著相當重要的作用。它與我們的生活息息相關，需要我們去將其掌握并利用，我們也應該去挖掘出它更為廣泛的應用領域，為我們的研究和學習奠定良好基礎。級數的理論和應用中很重要的一部分內容就是級數求和，它不但方法極為繁多，而且技巧性特別強，并且它在我國國內大多數數學教材或者其他相關此類書籍中并沒有專門的板塊，如果想要更為深入的去理解級數求和的方法和掌

2、握級數求和的技巧，我們就需要去尋找國內外有關的書籍來進行內容的提煉和總結.此文章把常用的數項級數和函數項級數放在典型的例題中進行了分析，通過對這些問題的討論和解決，向讀者展示了級數求和的常用方法并傳達了其基本思想，逐步找出級數求和的規律.首先，我運用常用都是收斂論融匯在們要考例題和慮它的收面對級數的將方法斂性，然后方更求此文中的級數的，把理一起能級數的和.展示出來，讓學習者輕選題中松為明確法刻現其并深中的掌巧，發的握解題技規律，從而達到對級數理論的理解與合理應用.關鍵詞：級數求和 數項級數求和 函數項級數求和 方法及應用 summarySeries is a very important to

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8、數的分類及定義1（一）數項級數11.數項級數的概念12.數項級數的收斂性1（二）函數項級數11.函數項級數的概念12.函數項級數的收斂性2 （三）三個重要級數2二、數項級數求和的方法3（一）據定義用極限法求和3（二）數學運算巧求和31.等差數列求和（首尾相加法）32.等比數列求和（錯位相減法）4 3.方程式法54. 裂項相消法5 5.蘊含型展項消去法 7（三）根據冪級數理論求和（亞伯爾方法）71.逐項微分求和72.逐項積分求和8（四）三角級數求和（歐拉.棣莫弗）9（五）原級數轉化為子序列求和11（六）原級數分解為子序列求和11（七）兩端逼近法12三、函數項級數求和13（一）利用傅里葉級數理論求

9、和13（二）逐項微分求和15（三）逐項積分求和16（四）將原級數分解轉化為已知級數再求和16（五）微分方程式法（并加以證明）16四、級數的應用18（一）冪級數的應用18 1函數值的近似計算19 2. 定積分的近似計算19（二）泰勒級數的應用20 1.函數展開成冪級數202.近似計算213.極限計算214.級數與廣義積分的斂散性22（三）傅里葉級數的應用22 1.數字信號處理22 2.聲音信號處理22 3.交流電中顯示波形225、 參考文獻246、 致謝25級數求和的方法及應用一、級數的分類及定義（一）數項級數1.數項級數及其部分和的概念定義 1 設一數列個每一項數列，把的依達式次這個用“+”號

10、連來，則接起表 （1）叫做項無常數簡級數，窮級者數項數或級數，其中叫做稱其為級數（1）的通項.數項級數（1）一般可以寫作或.數項級數（1）的前n項和可以記做=， （2）它是數項級數（1）的第n個部分和，或者簡稱其為部分和，此部分和數列記做.2.數項級數的收斂性定義 2 如果和數級數（1）列在（即 ）處收的部分斂，說級就可以數（1）收則級數斂，（1）的和為，記作或數）發散項（1的前級數提散數是是發列.（二）函數項級數1.函數項級數及其部分和函數列的概念定義 3 設是定義在數集上的一個函數列，表達式 （3）叫做定義在上的函數項級數，可以記做、.稱=， （4） 為函數項級數（3）的部分和函數列.2.

11、函數項級數的收斂性定義 4 若，數項級數 （5）發斂，則可散或者收以說（3）在級數點處收斂，如發散或果（3）在E級數的某個子集D都可斂，則每上收點以數（3）在D上說級收斂.（3） 三個重要級數1.幾何級數 幾何級數也可以叫做等比級數，它的格式為： 公比是，。2.調和級數 3.p-級數 二、數項級數求和的方法（一）據定義用極限法求和由無窮級數的定義可以看出，無窮級數的部分和就是收斂無窮級數的和，就是.由于則有無限多個項數，所以想要求出級數的和則需要求其極限，就是數項級數的和.例 1設，求級數的和.分析 要示出想要將它求出的和，只已部需的用分和知數和列已數部分知級和表來.解 因，則，于是.故原級數

12、的和 （二）數學運算法巧求和我四則數列運們可程中以、在解題利數的和的用等差比數這些和列的常數求見的公式，同時算結合以達到列等求過出級等目的.1.等差數列求和（首尾相加法）等差比較級數的級數是簡單類型，比各項來較其得到差，然它的公后求出級運用公式數和.，其中為首項，為公差 證明：，+得：因為等差級數所以可得出“首尾相加法”這一方法，這種首尾數一項都是把的每逆次序放由各置后與項四級數則的的原運算得出級數相類型的的結果是級同，于是的可以作易級數為一項簡求和.例 2 求.解：，兩式相加得：，即：.故原級數的和 2.等比數列求和（錯位相減法）等比級數用公式便這種簡數類型是單的級找到然后利可其公比以求和.

13、當=1，；當1，其中為首項，為公比.證明：當=1，易得，當1， ， ，-得.便是“錯位相減”的方法，這種方法在等差和等比的混合型級數中經常用到，先乘以公比然后與四則運算后稱為等差或等比級數的原基數求和.例3 計算.解： ， ，-得： ，=3.故原級數的和 3.方程式法經過各種運算能得到可以求出級數和的方程式，然后解方程便可求得級數的和.最主要的問題是需要準確的建立方程，根據具體情況建立類型不同的方程，并準確的解出方程，然后求出準確的級數和.例4 計算，其中.解：記= 兩邊同時乘以得即：解此方程得：.(當時).故原級數的和 4. 裂項相消法對分數形式的級數求和，有一種好用的方法，就是先把各項拆分

14、然后再把各項連鎖消去，這樣也滿足多項乘積分母的形式.裂項一般形式：，此處.例 5 計算.解 由于而所以故原級數的和 .說明 （1）先拆再組合，求如此類的級數之和. = （2）.又如求的和.需要先利用有關公式將其轉化然后求和.此題公式： 5蘊含型展項消去法這種級數的每一項是有蘊含關系的，分解級數的一般項，或者把它變為部分分式，然后后把多項展開會發現其中可以相互消除的部分項，達到化簡級數求和的目的.例 6 計算.解：將各項展開可得： ，所以.故原級數的和 說明 ：有一些級數的通項里面可以發現分式根式，將它“有理化”.如計算.此級數含根式較多，將其分母有理化，我們便用此法求出這個級數的和的極限是1.

15、 （三）根據冪級數理論求和如果收，可斂得以出=，把化為，有常用方兩種法求：一是分積分求求和，一是逐逐項微項和.1.逐項微分求和，如果求和比較容易，簡化為，用逐項微分法較好，如果，是n的多項式而且有n可以容易求得結果.例 7 求數項級數的和.解 構造冪級數，求得收斂半徑.收斂區間是.設它的和函數是，即.由冪級數可逐項可導，有.，有.因為，所以.即.令，有 2.逐項積分求和，是多項式則要分解為等式子.由Abel第二是冪意定理：若級數的收致收斂，則斂半徑在任間上的閉區都一冪級數.計算的和，便求在內的和函數，令然后求得極限，.例 8 計算解 因為而的收斂半徑是1，并在收斂，讓，取極限于式子左右兩邊，則

16、.（四）三角級數求和對于此類問題，從數把三求復數由于復系角型數復數的級域上項級數為轉化數，又數應于此數項的實部化為級數我們想而式三將用公角級對級數，轉求原進辦法而數和級和.歐拉公式 ： ，.棣莫弗公式：.設為復數，令，是實數有例 9 計算解 因為復述級數，令，有而于是例 10 設，求.解：由于，令為復數，其中，其中，得：而另一方面=+取實部對應原級數和即得：即：當，且時.故原級數的和 （五）原級數轉化為子序列求和若的通項(當時)，的子序列 （是某個正整數），則. :當通項沒打亂級數各項額次序得到了新的序列收斂，便用此法.例 11 計算.解：通項曲進與零，便球的及先，用偶啦供式，其中為歐拉常數，

17、因此，對原級數， ，.故原級數的和 .（六）原級數分解為子序列求和若及書與二這都收聯，=；便看關于角的問題.例 12 計算：.解：據斂散性得出原來的級數是絕對收斂的，和為.將分三類，按角的幅度：，.則：，所以：.故原級數的和 （七）兩端逼近法在此，在求極個級數類例題中限和數學時借用分析來求解極逼近限，此是運用方法就兩個級數原級來逼近數，原便可中的方法級數和等于兩的和.例13 設為一給定的正整數，求.解：且時，且，所以，即故原級數的和 三、函數項級數求和（一）利用傅里葉級數理論求和通過構，并通函數值就造函數過延求此函拓的方式數的展式，再由理求解能得到傅原級定立數和，要立葉找到傅收斂葉函數.傅里葉

18、展開的基本方法：1.按系數公式計算系數其中.2.將算出的系數代入級數.3.據收斂定理，判斷出可改=的范圍.如果上分段光滑，和函數例 14 設函數，.試求的值.解 將函展開成數在級上Fourier數，于是，因為在內連續，所以由Parseval等式有所以說明 求此，類的和，我們可級數以在一定，把一些區的項域內特殊變成的函數Fourier，進級數而取或者來逐恰當積分.例 15 計算，其中滿足.解：任意（0，1），記=，由韋爾思特拉思定理，由于級數收斂，所以原來級數在（ 0 ， 1 ）上一致收斂.，因為，所以帶入上面式子可得級數和為.（二）逐項微分求和根據冪級數，對原級數導收理級數逐項，求逐項求導后斂

19、半徑化不變原為一的冪些易求和級往回求原數，再積分而從和.先求的緊縮式，然后再利用積分公式：例 16 計算解 收它的斂半徑1，我們設出和函數為，也就是，有逐項微分有，對上式從到積分，得（三）逐項積分求和通出原級過級可求分收斂數逐徑不項積半變，對原理原逐項級數積為一分后化些求易的冪往回求級再導數和.例 17 計算.解：記，對其逐項積分得：=，其中， 所以=.（四）將原級數分解轉化為已知級數再求和把一些復雜的問題通過一系列分解化成我們知道的知識，便于求解。例 18 計算.解：記，利用的麥克勞林展式得：=.（五）微分方程式法類似于數想是為數思求方函數項求出項了冪或函級數和函數級數項的數，主建立級要起是

20、數級基的式數，通某個本的程和方過求解程級和.例19 計算.提示 收斂半徑，逐項微分得到 .解 設逐項微分所以，并且有.解此微分方程的初值問題得 .例20（證明）：若函數在上連續，令，則在上一致收斂于.證 1.（先證明該級數一致收斂）因在上連續，所以有界.即，使于上，由此知，由數學歸納法易證 .但在全數軸上成立，上一致收斂.所以在上絕對一致收斂.2.（證明和滿足微分方程）記原級數之和為. (1)次式兩端同時加以，再同時在上取積分得 . (2)由此求得 . (3)從(2)式可以看出 （4）在條件（4）下求解微分方程（3）可得 .未學過微分方程的讀者可以這樣來求解;設，則代入（3）式得，所以 . （

21、5）根據（4）式應有故知代入（5）從而 .因此 .四、級數的應用（一）冪級數的應用由于前此冪冪展開著級數的項是的部分，實個函和多式多是項式最的函數簡單之一，用因逼近替級應泛數代某數，而項際數上件由為項式創造.正是了條于原因這個，函數的函的多冪級數式有的用.1.函數值的近似計算利的函可冪級用函要求計數數可以近利個精確展開式似數值計算函，即式的在展開收上斂，以數值近用這似地級數按度算出來例 21計算常數，精確到小數第四位解利用，令，有為達到這個精確度，可觀察余項若取，則，故計算出2.定積分的近似計算利后的冪級可計這個冪級算級數就出定能展開函值，而且還些定成冪級數積分的，具積函數體地說近不僅積分似值

22、，如果被在積分數的近似區間可以計算一上，那么把數逐算一些項積分，用積分用可以計數的近似值例 22 計算，精確到小數第四位解由于，因此用積分分，如果定義在處的積等函數值它在1，那初所數不能給間上連么分區續由于的原函不是積為廣義表示，因此過展來計需要通開式冪級數算利用正弦函數的展開式，兩邊同除以，得到再逐項積分這是收斂的交錯級數，其誤差，取，有，故冪學研法也可以被究的看做冪之一，被作為應用到了實占有一變函數、數等眾多領域當中.然而冪是分析合數學多組合恒等式基工程學礎內之地，作為容中也席母復變函函數，由冪級數概念來的級數重的小級數在是許的來源.在電力中，冪級數則被稱為發展出變換.實點形式冪級數數組數

23、計數級數的一種.（二）泰勒級數的應用 泰勒以下三面：首先求個方導和的函分可行，因此求分數積析這種相對和函數性體現泰階級似比較數在近容第二，一個解析延易.伸為一個定面上的一個開區域義在復平上的泰的重要勒級即利用，數通過解析數可被得，冪級延拓函數的到，并使求解得以進復手法可行.第三勒逐項展開式一級數可以解決解來近似計用前算函值. 目決非數的線將非線化的一種有，泰勒性問題效工性問題線數，達到泰級近勒性具是似目的。1. 函數展開成冪級數例 23 將展開成的冪級數解 , ， , ； , 而；,(). 所以 , .2.近似計算目前解決題線性問題的一種有工用泰具是，即利勒展泰勒級階數開式一近似，將效非線性問

24、化，達求解的到近似非線目的.例 24 求的近似值解 由，可以得到，此時誤差.例 25 計算定積分的近似值，求解 ,. 因此得到 ，由此得到 此時誤差3.極限計算例 26 計算 解 ，分部分可，寫出母小階是3階較高無數的窮分子開式，關于各泰上展勒級以略去：，4.級數與廣義積分的斂散性例 27 討論廣義積分的斂散性解 ，是暇點，由比較判別法可知：若，其中，則時，收斂；時，發散，.因為，所以廣義積分發散（3） 傅里葉級數的應用傅里我們把抽時候，提供學變了一種新的象事物析事物的且在換顯很多一角度比更接近事物為的本察、分里葉級到其對數不但會這上解決象數換前中生活中很多原葉變換空間中難質.傅觀以解決的問題就角度，而偶空間，還會把的抽進行轉形.1.數字信號處理傅里變換,拉普拉等都是數字理需要的核,常見的數數和產品中換核心器件斯變換等DSP傅里葉就是信號處用這些速算函數一般都是心技術編寫的程碼葉級序.舉子的,z變個例就是你發方DSP就是用的程彩給對序,不對方接后寫過快法必收到以須經傅里葉變些數換過這碼產的核心品中器件信這數編,比如.些函常見的快速.2.聲音信號處理可空間信號里葉窮的級變換續的信號，寫成后通過濾傅里葉舍