1、天體力學二體問題的解內容提要本文簡單介紹了天體力學次級學科內容，發展簡史，及其在人類文明發展的歷史地位。天體力學認為二體問題已經解決，這是一個認識誤區。文章詳細地敘述了二體問題的傳統解法，按照伯力克物理教程第一卷力學第九章中高級課題所講述的方法，導出二體問 題與時間有關的解。探討了二體問題方程式。天體力學二體問題傳統解，致使許多自然現象困惑難解。走出天體力學認識的誤區，一大批物理批疑難問題豁然開朗。附件用10個專題文章嘗試解解釋有關物理疑難問題目錄1天體力學簡介1.1 天體力學次級學科內容1.2 天體力學發展簡史1.3 天體力學歷史地位2天體力學傳統觀念2.1 牛頓絕對時空觀念2.2 二體問題

2、常規解2.3 天體力學認識中的誤區3二體問題與時間相關的解3.1 天體引力場的時空結構3.2 二體問題與時間相關的解3.3 二體問題與時間有關的解附件1哈勃定律的理論解釋2太陽系天體距離和周期的規律性3水星近日點的進動4月球長期加速運動5古生物化石的年輪和月輪6河外天體光譜紅移7天體形態與微觀結構的聯系8太陽常數理論計算9物理黑洞10地球能量、溫度和輻射1天體力學簡介1.1天體力學次級學科天體力學是研究天體的運動和形狀的學科。天體力學可分為六個次級學科：多體問題，又稱做N體問題，或稱攝動理論。研究N個質點在萬有引力作用下的動力學 問題，其中只有二體問題已徹底解決。數值方法。采用數值計算的方法來

3、求解天體的運動方程并討論解的收斂性、穩定性及計算方法的改進等問題。定性方法。探討天體運動軌道的宏觀圖像、運動區域和軌道特征。天文動力學。又稱為星際航行動力學，主要是研究各種人造天體的運動規律。歷書天文學。根據天體運動理論和軌道要素編制各種天體的歷表和計算各種天象。 天體的形狀和自轉理論。主要研究各種物態組成的天體的自轉平衡形態、穩定性及自轉 軸的變化規律。歷史淵源1.2 天體力學發展簡史丹麥天文學家第谷(B. Tycho ,15461601)在16世紀對行星繞日運行作了長期的觀 測，記錄了大量準確可靠的天文數據資料。德國天文學家，數學家開普勒(Kepler , Johannes,1571163

4、0)根據第谷多年的行星 觀測資料于1609年1619年先后提出了行星運動三大定律，還提出了著名的開普勒方程， 對行星軌道要素下了定義。從此可以預報行星(以及月球)更準確的位置，形成理論天文學，揭開了天體力學的序幕；英國著名的物理學家牛頓(I.Newton ,16431727),英國科學家胡克(R. Hook )和荷 蘭物理學家惠更斯(C. Huygens)都曾根據開普勒定律推測行星和太陽間存在和距離二次方 成反比的引力，為此胡克和牛頓還通過信，因此，對定律的首創權有過爭 議。1687年7月Newton名著自然哲學的數學原理 問世，提出絕對時空觀念，牛頓 動力學三定律和萬有引力定律，建立經典力學

5、理論基礎。瑞士數學家歐拉 (Euler, Leonhard, 17071783)是第一個較完整的月球運動理論的創法國數學家達朗貝爾(dAlembert, Jean le Rond, 17171783)的 動力學是力學 方面的一部奠基性著作，書中包括后來以他的名字命名的達朗貝爾原理，根據這個原理建立起把動力學問題化為靜力學問題來處理的一般方法。他運用這個方法研究了天體力學中的三體問題，并把它推廣到流體動力學中法國數學家拉格朗日(Lagrange, Joseph-Louis , 17361813)在分析力學一書中， 運用變分原理和分析的方法，建立起完整和諧的力學體系，使力學分析化了，拉格朗日是大行

6、星運動理論的創始人。法國數學家，天文學家拉普拉斯(Laplace, Pierre-Simon, 17491827)是天體力學集大 成者。他的五卷十六冊巨著天體力學成為經典天體力學的代表作。在這部著作中，他對 大行星和月球的運動都提出了較完整的理論，而且對周期彗星和木星的衛星也提出了相應的運動理論。同時，他還對天體形狀的理論基礎-流體自轉時的平衡形狀理論作了詳細論述。法國數學家勒讓德(Legendre, Adrien-Marie , 17521833)在天文學的研究中，引進 了著名的 勒讓德多項式”，發現了它的許多性質。德國數學家，天文學家，物理學家高斯(Gauss, Carl Friedric

7、h , 17771855)創立三次觀測決定小行星軌道的計算方法，1809年發表其計算方法。此后，幾乎都用這個方法推算小行星軌道。在星歷表計算中，他引進一組輔助量(又稱為高斯常數)，使求日心赤道直角坐標計算大大簡化。法國數學家泊松 (Poisson , Sim con-Denis ,1781 1840)對積分理論、行星運動理論、 熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論都有重要貢獻。“泊松方程”是經典引力理論的分析形式。德國數學家雅可比(Jacobi , Carl Gustav Jacob , 18041851)和英國數學家、物理學 家哈密頓(Hamilton , William Rowan

8、 18051865)對分析力學的建立做出了重要貢獻。1846年，根據法國天文學家勒威耶( Le Verrier, Urbain Jean Joseph, 18111877)和英國天文學家亞當斯(Adams, John Couch, 18191892)的計算，發現了海王星。這是經典天體力學的偉大成果，也是自然科學理論預見性的重要驗證。此后，大行星和月球運動理論益臻完善。成為編算天文年歷中各天體歷表的根據。法國數學家龐加萊(Poincar e , Jules-Henri , 18541912),又譯彭加勒龐加萊，龐 加萊在18921899年出版的三卷本天體力學新方法是這個時期的代表作。數值方法最早

9、可追溯到高斯的工作方法。十九世紀末形成的科威耳方法和亞當斯方法，至今仍為天體力學的基本數值方法(見天體力學數值方法)，但在電子計算機出現以前應用不廣。二十世紀五十年代以后，由于人造天體的出現和電子計算機的廣泛應用，天體力學進 入一個新時期。研究又增加了各種類型的人造天體，以及成員不多的恒星系統。在研究方法中，數值方法有迅速的發展，不僅用于解決實際問題，而且物理學同定性方法和分析方法也有相應發展，以適應觀測精度日益提高的要求。1.3 天體力學歷史地位天體力學是人類文明史上偉大的豐碑，也是人類歷史上第一個走出地球的科學理論，以 足夠精確的計算結果預言了天體前后幾百年、幾千年甚至幾萬年的運動，經受了

10、無數的新的觀測考驗。天體力學對人類社會的進步起了巨大的推動作用。2天體力學傳統觀念2.1 牛頓絕對時空觀念Newton時空觀念一般稱為經典時空觀念，又稱為絕對時空觀念，Newton曾經對這個時空觀念詳細描述：1、絕對的、真正的和數學的時間自身在流逝著，而且由于其本性而在均勻地、與任何 其他外界事物無關地流逝著，它又可以名之為延續性；相對的、表觀的和通常的的時間是延續性的一種可感覺的、外部的(無論是精確的或是不相等的)通過運 動來進行的量度我們通常就用諸如小時、日、月、年等這種量度以代替真正的時間。2、絕對的空間，就其本性而言，是與任何外界事物無關而永遠是相同的和不動的。相 對空間是絕對空間的可

11、動部分或者量度。我們的感官通過絕對空間對其他物體的位置而確定了它，弁且通常把它當作不動的空間看待。如相對地球而言的地下，大氣 或天體等空間就是這樣確定的。絕對空間和相對空間，在形狀上和大小上都相同， 但在數字上并不總是保持一樣。因為，例如當地球運動時，一個相對地球總是保持 不變的大氣空間，將一個時間是大氣流入的絕對空間的一個部分，而在另一時間將 是絕對空間的另一個部分，所以從絕對的意義來了解，它總是在不斷變化的。”(摘自H S塞耶編牛頓自然哲學著作選第十九頁至二十頁)Newton時空觀念為經典力學的運動參照系建立提供了哲學的、物理的理論依據。按照Newton時空觀念，一個無限延伸的三維鋼架和一

12、個均勻流逝的運動構成了一個運 動參照系，一個剛性的尺和一個穩頻的鐘可以分別對空間和時間進行度量。在三維鋼架上的空的空間構成三維Euclid空間直角坐標系坐標 h (I=1,2, 3),時間t作為參變量，%作為時間t的函數xa (t)。如果有另一個參照系 K以速度V相對K運動，K中的相應的空間坐標為 Xu，t,則Xq, 1和%, t之間變換由下述的 Galilao時空變換公式決定： X,y X,y V；t(2.1)(2.2)上式中v0t是v沿x方向的分量，在變換中，位矢 的平方r2是不變量，即:(2.3)22=X：、Y =按照慣例，上式重復下標表示求和。2.2 二體問題傳統解二體問題是各類天體真

13、實運動的第一次近似結果，也是研究天體在有心力場的引力作用下的運動。根據牛頓絕對時空觀念、牛頓動力學基本定律和牛頓萬有引力定律，運動方程具有如下形式d v m- =F(2.4)上式中，m表示天體質量，v表示天體運動速度， F表示太陽和天體之間的引力，t表示時間。在解方程(2.4)時，二體問題采用了下述的邏輯推理：第一、選擇質心參照系描述二體運動，以折合質量-=Mm 代替天體質量 m,M m折合質量也稱約化質量，約化質量既小于M ,也小于m ,主要由兩者中質量較小者決定；第二、引進勢函數描述質點與球形物體之間作用力，勢函數對空間坐標的偏導數正比于質點所受總引力的相應分力。把中心天體看成是質量密度均

14、勻分布的球體，以*表示勢函數， GF則巾等于4=,單位質量體元受的作用力為,這樣，萬程(2.4)可以寫成rm如下形式業=-6(2.5)dt按照上述邏輯形式，行星對太陽運動，就像是在以太陽為中心的慣性參照系中運動一 樣，只是要用約化質量代替行星質量。在太陽系黃道面上選擇極坐標系，以太陽白質量中心為極坐標系的原點，r表示矢徑(描述天體相對太陽的位置)，r表示矢徑的長度，日表示矢徑的角度，則方程(2.4)有如 下形式-2m(r-r9 ) = F(2.6)二m d 2 -、m(r 二 2r 1)(r1)=0(2.7)r dt令r2=h ,沿徑r方向和沿8方向的兩個方程分別為至手 Gr - r - =

15、一 -2- r(2.8)1 dhr dt(2.9上式中h為單位質量的角動量,2 .h為一個積分常數，mr日=mh即天體單位質量的動量矩守恒。物體受有心力作用時，時間 t可以從微分方程消去,人1口，令 u=可以得出r-h - hu2r =di1 duu2 dudF,2,d u .2 2r - -h7 1 = -h udu2d2u將r和8代入(2.8 )式，有h2u2(d-u u);G Lu2 du2(2.10)d 2u dV u =h2(2.11其解為A cos(二-%)(2.12r 二1h2G2(2.13Gcos( 0)如果將基線轉過一個角度,可使 e0=0,則(2.13 )式可以寫為(2.1

16、41 ecosF 1 ecosia(1-e2)(2.14 )式所描述的是圓錐截線，式中h2八h2aA3=Ap=e其中，p為半正焦弦的長,e為偏心率；此時 日應該從焦點至準線所垂線量起，上述圓錐曲線，可依能量E和偏心率e的數值分為三種類型:橢圓:p=a(1-e2), h = jGNa(1_e2) = jGNp拋物線:p=2q, h = 72Gq，E = 0,雙曲線:p=a(e2 -1), h=jG%(e2-1), E 0 , e1；根據二體問題傳統解修正的開普勒第三定律形式是(2.15(2.16a3 G24 二2二體運動方程一個積分2, 21v = G -( 一 ) r a稱為活力公式或活力積分

17、；G天體能量表達式為E = - G(2.172a2.3天體力學認識中的誤區天體力學取得了巨大的成功，人們通過觀測實踐和人類的哲學、邏輯學和物理學基本 理論可以發現天體力學盡管有極高的可靠性，但是天體力學并不是一個完整的理論體系，更確切地說牛頓引力理論是一個有待于發展成一個和諧的、統一的引力理論體系。 天體力學認為二體問題已經完全解決。這是一個認識誤區。按照天體力學二體問題傳統理論，二體問題主要結論是第一 運動天體軌道是一條圓錐截線，即r =一p一 曲線與時間無關；1 ecosi一 一一，一 . 2 二一 一 一，第二 運動天體單位質量的角動量h = r2 H是運動常數。二體問題上述結論不符合天

18、文學大量觀測數據。例如，許多天文家對水星近日點進動. . . . . . , . 一一 一、.的研究表明，牛頓理論不解釋水星近日點的進動偏差-43 /世紀，這是牛頓理論一個疵點。走出天體力學認識中的誤區，這個疵點就會變成為光彩奪目的亮點。3二體問題與時間有關的解3.1天體引力場的時空結構時間和空間是運動著的物質存在的基本形式，是物質固有的普遍屬性，時間和空間與運動著的物質是不可分的。天體力學在解二體問題時采用巧妙的方法消去了時間t ,得到了二體問題的傳統解，消去了時間t也就是消去了天體的歷史和將來，二體問題的傳統解即天體運動的圓錐截線，只是 Euclid幾何空間中不隨時間變化的圓錐截線，它把天

19、體約束在 這條曲線上面，我們把這個傳統解稱為幾何解，幾何解不能全面地、 真實地描述天體的實際運動，根據引電統一理論，在(2.14)式和(2.9)式中隱藏時間因子，根據引電統一理論，天 體引力場可以近似地看成平面匯源場和虛旋渦場，其速度場強度等于。八 v =2H(3.1)17 .1H稱Hubble系數，太陽系中 H之10 s。二體問題有關物理量應該加入時間因子，如軌道長半軸at等于at =a0exp(-Ht)(3.2)天體運動周期1等于，3 一、(3.3)t = 0 exp(- Ht)2二體問題的傳統解(2.14)式和(2.9)式應該修改為Pn一 .rtexp( - Ht)(3.4)(3.5)1

20、 ecosiHh 2r，一1其中，h = ht = hn exp(- Ht)(3.4)式和(3.5)式正是二體問題與時間有關的解，由 (3.5)式可以看出天體單位質量角動量h=h不是運動常量。3.2二體問題與時間相關的解為了完整地描述天體真實運動，必須尋求二體問題的與時間有關的解根據伯力克物理教程第一卷力學(第402頁)高級課題介紹，不用解微分方程,同樣可以得出上述結論。具體敘述如下二體問題偏心率 e是運動常數，e等于J PrG.Lm2r(3.6)上式中，r是矢徑，J是運動天體角動量， P是運動天體動量， G是引力常數，N是系統約化質量，m是運動天體質量。將(3.6)式乘以r ,得出=；rcos?J P rG -m2j2 卜2r(1 -cos?) = = p() Gm2 Gpr =(1Cos)(3.7)上式是圓錐截線數學標準形式。而 (2.14)式與(3.7)式分母中偏心率W差一個負號。這是由 于兩式e選取方向相反。2在上面推導過程中，并沒有要求運動天體單位質量的角動量h = r6等于常量，將(3.5)1式 h=hnexp(- Ht)代入(3.7)式2p exp(-Ht)(1 - ；cos。)