1、線性回歸方程(提高)學習目標1.明確兩個變量具有相關關系的意義；2.知道回歸分析的意義；3.知道回歸直線、回歸直線方程、線性回歸分析的意義；4.掌握對兩個變量進行線性回歸的方法和步驟，并能借助科學計算器確定實際問題中兩個變量間的回歸直線方程；要點梳理要點一、變量之間的相關關系變量與變量之間存在著兩種關系：一種是函數關系，另一種是相關關系。1函數關系函數關系是一種確定性關系，如y=kx+b，變量取的每一個值，都有唯一確定的值和它相對應。2相關關系變量間確定存在關系，但又不具備函數關系所要求的確定性相關關系分為兩種:正相關和負相關要點詮釋：對相關關系的理解應當注意以下幾點：（1）相關關系與函數關系

2、不同.因為函數關系是一種非常確定 的關系，而相關關系是一種非確定性關系，即相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系.而函數關系可以看成是兩個非隨機變量之間的關系.因此，不能把相關關系等同于函數關系.（2）函數關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系.例如，有人發現，對于在校兒童，鞋的大小與閱讀能力有很強的相關關系.然而，學會新詞并不能使腳變大，而是涉及到第三個因素年齡.當兒童長大一些，他們的閱讀能力會提高而且由于長大腳也變大.（3）函數關系與相關關系之間有著密切聯系，在一定的條件下可以相互轉化.例如正方形面積S與其邊長x間雖然是一種確定性關系，但在每次測量邊長時，由于測

3、量誤差等原因，其數值大小又表現出一種隨機性.而對于具有線性關系的兩個變量來說，當求得其回歸直線后，我們又可以用一種確定性的關系對這兩個變量間的關系進行估計.3散點圖將收集到的兩個變量的統計數據分別作為橫、縱坐標，在直角坐標系中描點，這樣的圖叫做散點圖。通過散點圖可初步判斷兩個變量之間是否具有相關關系，她反映了各數據的密切程度。要點二、正相關、負相關（1）正相關：在統計數據中的兩個變量，一個變量的值由小變大時，另一個變量的值也由小變大，這種相關稱為正相關。如：家庭年收入越高，年飲食支出越高。反映在散點圖上它們散布在從左下角到右上角的區域，按表中所列數據制作散點圖如圖A05101520253035

4、B54167602.66670.09704.99806.71908.59975.421034.75（2）負相關：如果兩個變量中，一個變量的值由小到大變化時，另一個變量的值由大到小變化，那么這種相關稱為負相關。在散點圖中，對應數據的位置為從左上角到右下角的區域。按表中所列數據制作的散點圖如圖。C581618283035D64565042373221（3）無相關關系：如果關于兩個變量統計數據的散點圖如下圖所示，那么這兩個變量之間不具有相關關系。例如，學生的身高與學生的學習成績沒有相關關系。要點詮釋：利用散點圖可以大致判斷兩個變量之間有無相關關系。要點三、線性回歸方程1. 回歸直線方程（1）回歸直線

5、：觀察散點圖的特征，發現各個大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近。如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線。求出的回歸直線方程簡稱回歸方程。2回歸直線方程的求法設與個觀測點（）最接近的直線方程為，其中a、b是待定系數.則.于是得到各個偏差.顯見，偏差的符號有正有負，若將它們相加會造成相互抵消，所以它們的和不能代表幾個點與相應直線在整體上的接近程度，故采用n個偏差的平方和.表示n個點與相應直線在整體上的接近程度.記.上述式子展開后，是一個關于a、b的二次多項式，應用配方法，可求出使Q為最小值時的a、b的值.即，相應的直線叫做

6、回歸直線，對兩個變量所進行的上述統計分析叫做回歸分析上述求回歸直線的方法是使得樣本數據的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法，叫做最小二乘法。要點詮釋：1.對回歸直線方程只要求會運用它進行具體計算a、b，求出回歸直線方程即可.不要求掌握回歸直線方程的推導過程.2.求回歸直線方程，首先應注意到，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實標意義.否則，求出的回歸直線方程毫無意義.因此，對一組數據作線性回歸分析時，應先看其散點圖是否成線性.3.求回歸直線方程，關鍵在于正確地求出系數a、b，由于求a、b的計算量較大，計算時仔細謹慎、分層進行，避免因計算產生失誤.4.回歸直線方程在現實生活與生產

7、中有廣泛的應用.應用回歸直線方程可以把非確定性問題轉化成確定性問題，把“無序”變為“有序”，并對情況進行估測、補充.因此，學過回歸直線方程以后，應增強學生應用回歸直線方程解決相關實際問題的意識.典型例題類型一：變量間的相關關系與函數關系1下列兩個變量之間的關系中，不是函數關系的是（ ）A角度和它的余弦值 B正方形的邊長和面積C正n邊形的邊數和其內角度數之和 D人的年齡和身高【答案】D【解析】函數關系是一種確定的關系。而相關關系是非確定性關系。選項A、B、C都是函數關系，可以寫出它們的函數表達式：，選項D不是函數關系，在相同年齡的人群中，仍可以有不同身高的人，故選D【總結升華】本題考查非數據型兩

8、個變量的相關性判斷要根據兩個變量之間是否具有確定性關系及因素關系進行判斷【變式1】下列圖形中具有相關關系的兩個變量是（ ）【答案】C【解析】A、B中顯然任給一個x都有唯一確定的y值和它對應，是函數關系；C中從散點圖可看出所有點看上去都在某條直線附近波動，具有相關關系，因此變量間是不相關的。【變式2】下列關系是相關關系的是_（填序號）人的年齡與他擁有的財富之間的關系；曲線上的點與該點的坐標之間的關系；蘋果的產量與氣候之間的關系；森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關系；學生與其學號之間的關系【答案】2某小賣部為了解熱茶銷售量與氣溫之間的關系，隨機統計并制作了某6天賣出熱茶杯數與當天氣溫的對

9、比表。氣溫x2618131041杯數y202434395064請畫出散點圖，并判斷它們是否有相關關系。【解析】散點圖如下圖： 從圖中發現氣溫與杯數之間具有相關關系，當氣溫的值由小到大變化時杯數值由大變小，所以氣溫和杯數成負相關。【總結升華】畫出散點圖可幫助分析變量間是否具有相關關系，但不是唯一的判斷途徑。【變式1】下表是某地的年降雨量與年平均氣溫，判斷兩者是相關關系嗎？求回歸直線方程有意義嗎？年平均氣溫（）12.5112.7412.7413.6913.3312.8413.05年降雨量（mm）748542507813574701432【解析】以x軸為年平均氣溫，y軸為年降雨量，可得相應的散點圖如

10、下圖所示。因為圖中各點并不在一條直線的附近，所以兩者不具有相關關系，求回歸直線方程是沒有意義的。【總結升華】用回歸直線進行擬合兩變量關系的一般步驟為：作出散點圖，判斷各點是否散布在一條直線附近。如果各點散布在一條直線附近，那么可用公式求出線性回歸方程；如果各點不在一條直線附近，那么求出的回歸直線方程沒有意義。類型二：回歸直線方程的求解3在鋼鐵中碳含量對于電阻的效應的研究中，得到如下表所示的一組數據：碳含量%0.100.300.400.550.700.800.9520時電阻1518192122.623.826（1）畫出散點圖；（2）求回歸方程【解析】由散點圖知能用回歸直線擬合樣本數據，然后，利用

11、表中的數據，可以得到，計算公式中所需的數據，代入易得，（1）作出散點圖如下圖所示（2）由散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，可求回歸方程由表中的數據可求得，則， 所以回歸方程為【總結升華】求線性回歸直線方程的步驟為：第一步：列表；第二步：計算；第三步：代入公式計算的值；第四步：寫出直線方程.【變式1】 某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如下表：廣告費用x（萬元）4235銷售額y（萬元）49263954根據上表可得回歸方程中的為94，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為A636萬元 B655萬元 C677萬元 D720萬元【答案】選B【解析】，回歸方程為，當時，=65.5，故選

12、B.【變式2】 觀察兩相關變量得如下數據：x1234553421y9753115379求兩變量間的回歸方程【答案】【解析】列表：i12345678910xi1234553421yi9753115379xiyi9141512551512149計算得：，。，。所求回歸直線方程為。類型三：利用回歸直線對總體進行估計4給出了隨機抽取的10位男性的收縮血壓.年齡x(歲）收縮壓y(毫米汞柱）年齡x(歲）收縮壓y(毫米汞柱）37110501463511749148411255415043130601544213865160（1）畫出散點圖；（2）求出收縮壓與年齡之間的回歸直線；（3）利用所求回歸直線分別預測

13、20歲、45歲的人的收縮壓是多少？（4）就（3）所得預測結果，比較其預測的精確性。【解析】（1）散點圖為：（2）收縮壓與年齡之間的回歸直線 列表：序號xyx2xy1371101369407023511712254095341125168151254431301849559054213817645796650146250073007491482401725285415029168100960154360092401065160422510400求和47613782353066968 所以y對x的回歸直線方程為：（3）根據所求的回歸直線方程可以預測20歲的收縮壓為 45歲的收縮壓為：毫米汞柱（4）

14、預測20歲的結果時，20是外推的，所以不是很精確；而45是內插值，所以精確性比20的預測結果要好。【總結升華】只有當兩個變量之間存在線性相關關系時，才能用回歸直線方程對總體進行估計和預測否則，如果兩個變量之間不存在線性相關關系，即使由樣本數據求出回歸直線方程，用其估計和預測結果也是不可信的【變式1】為了解兒子身高與其父親身高的關系，隨機抽取5對父子的身高數據如下：父親身高x（cm）174176176176178兒子身高y（cm）175175176177177則y對x的線性回歸方程為（ ）【答案】C【變式2】下表是某地搜集到的新房屋的銷售價格y，（單位：萬元）和房屋的面積x（單位：m。）的數據：

15、 x11511080135105 y44.841.638.449.242（1）畫出散點圖；（2）求回歸方程；（3）根據（2）的結果估計當房屋面積為150 m2時的銷售價格【解析】據已知樣本數據得到回歸直線方程后，即得到兩個變量之間相關關系的一個規律，因此可將給定的x值代入回歸直線方程預測y值（1）散點圖如下圖所示 （2）由散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，可求回歸方程由表中的數據， 用計算器計算得， 則，故所求回歸方程為（3）根據上面求得的回歸方程，當房屋面積為1500時銷售價格的估計值為0.196150+21.836=51.236（萬元）鞏固練習1下列所給出的兩個變量之間存在相

16、關關系的是（ ）A學生的座號與數學成績B學生的學號與身高C曲線上的點與該點的坐標之間的關系D學生的身高與體重2下列各圖中所示兩個變量具有相關關系的是（ ）A B C D3一位母親記錄了她兒子3歲到9歲的身高，建立了兒子身高 （單位：cm）與年齡的回歸方程為，用這個方程預測兒子10歲時的身高，則下面的敘述正確的是（ ）A她兒子10歲時的身高一定是145.83 cmB她兒子10歲時的身高在145.83 cm以上C她兒子10歲時的身高在145.83 cm左右D她兒子10歲時的身高在145.83 cm以下4對變量x，y，有觀測數據（xi，yi）（i=1，2，10），得散點圖（1）；對變量u，v有觀測數

17、據（ui，vi）（i=1，2，10），得散點圖（2）由這兩個散點圖可以判斷（ ）A變量x與y正相關，u與v正相關B變量x與y正相關，u與v負相關C變量x與y負相關，u與v正相關D變量x與y負相關，u與v負相關5變量X與Y相對應的一組數據為（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；變量U與V相對應的一組數據為（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），表示變量Y與X之間的線性相關系數，表示變量V與U之間的線性相關系數，則()A B C D6下列說法中，錯誤的是（ ）A如果變量x與y之間存在著線性相關關系，那么根據實驗數

18、據得到的點（xi，yi）（i=1，2，n）將散布在某一條直線的附近B如果變量x和y之間不存在線性相關關系，那么根據它們的一組數據（xi，yi）（i=1，2，n）不能寫出一個線性回歸方程C設x、y是具有相關關系的兩個變量，且y關于x的線性回歸方程為，、就是回歸系數D為使求出的線性回歸直線方程有意義，可用統計假設檢驗的方法來判斷變量x和y之間是否存在線性相關關系7已知x與y之間的一組數據：x0123y1357則y與x的線性回歸方程為必過( )A.(2，2)點B.(1.5，0)點C.(1，2)點 D.(1.5，4)點8為了考察兩個變量x和y之間的線性關系，甲、乙兩位同學各自獨立做了10次和15次試驗

19、，并且利用線性回歸方法求得回歸直線分別為1、2，已知兩人得到的試驗數據中，變量x和y的數據的平均值都相等，且分別都是s、t，那么下列說法正確的是（ ）A直線1和2一定有公共點（s，t）B直線1和2相交，但交點不一定是（s，t）C必有直線12D1和2必定重合9經實驗得（x，y）的四個值，即（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）y與x之間的回歸直線方程是_10回歸分析是處理變量之間的_關系的一種統計方法兩個變量之間具有線性相關關系時，稱相應的回歸分析為_11為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x（單位：小時）與當天投籃命中率y之

20、間的關系：時間x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李這5天的平均投籃命中率為_；用線性回歸分析的方法，預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為_。12某農場糧食產量的統計結果如圖所示，從圖中我們可以看到前年的糧食總產量與之間的關系。則從目前的統計結果來看，前_年的年平均糧食產量最高。 13假設學生在七年級和八年級數學成績是線性相關的，若10個學生七年級（x）和八年級（y）數學分數如下x74717268767367706574y76757170767965776272試求七年級和八年級數學分數間的回歸直線方程14一般來說，一個人的身高越高，他的手就越大，為調查這一問題，對某校10名高一男生的身高與右手長度進行測量得到如下數據（單位：cm）：身高168170171172174176178178180181右手長度19.020.021.021.521.022.024.023.022.523.0（1）根據上述數據制作散點圖，判斷兩者有無線性相關關系；（2）如果具有線性相關關系，求回歸方程；（3）如果一名同學身高為185 cm，估計他的右手長【答案與解析】1【答案】D 【解析】A與B中的兩個變量之間沒有任何關系；C中的兩個變量之間具有函數關系故選D2【答案】D 【解析】具有相關關系的兩個變量的數據所對應的圖形是散點圖，能反映兩個變量的變化規律， 它們之間是相關關系故選D3