1、剛體對軸轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算、轉(zhuǎn)動慣量及回轉(zhuǎn)半徑在第一節(jié)中已經(jīng)知道，剛體對某軸z的轉(zhuǎn)動慣量就是剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)與該點(diǎn)到z軸距離平,2方的乘積的總和，即 Jzmiri o如果剛體質(zhì)量連續(xù)分布，則轉(zhuǎn)動慣量可寫成(18-11)JzMr2dm由上面的公式可見，剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量決定于剛體質(zhì)量的大小以及質(zhì)量分布情況, 與剛體的運(yùn)動狀態(tài)無關(guān)，它永遠(yuǎn)是一個(gè)正的標(biāo)量。如果不增加物體的質(zhì)量但使質(zhì)量分布離軸遠(yuǎn)一些，就可以使轉(zhuǎn)動慣量增大。例如設(shè)計(jì)飛輪時(shí)把輪緣設(shè)計(jì)的厚一些，使得大部分質(zhì)量集中在輪緣上，與轉(zhuǎn)軸距離較遠(yuǎn)，從而增大轉(zhuǎn)動慣量。相反，某些儀器儀表中的轉(zhuǎn)動零件，為了提高靈敏度，要求零件的轉(zhuǎn)動慣量盡量小一些，設(shè)計(jì)時(shí)除了采用輕

2、金屬、 塑料以減輕質(zhì)量外，還要盡量將材料多靠近轉(zhuǎn)軸。Jz工程中常把轉(zhuǎn)動慣量寫成剛體總質(zhì)量M與某一當(dāng)量長度的平方的乘積(18-12 )z稱為剛體對于z軸的回轉(zhuǎn)半徑（或慣性半徑），它的意義是，設(shè)想剛體的質(zhì)量集中在與z 軸相距為 z的點(diǎn)上，則此集中質(zhì)量對 z軸的轉(zhuǎn)動慣量與原剛體的轉(zhuǎn)動慣量相同。具有規(guī)則幾何形狀的均質(zhì)剛體，其轉(zhuǎn)動慣量可以通過計(jì)算得到，形狀不規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動慣量往往不是由計(jì)算得出，而是根據(jù)某些力學(xué)規(guī)律用實(shí)驗(yàn)方法測得。二、簡單形狀物體轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算1.均質(zhì)細(xì)直桿, M .dm dx如圖18-7所示，設(shè)桿長為l ,質(zhì)量為M取桿上微段dx,其質(zhì)量為l ,則此桿對zc軸的轉(zhuǎn)動慣量為對應(yīng)的回轉(zhuǎn)半徑2

3、.均質(zhì)細(xì)圓環(huán)1二 2Jz 2 2x dmc 0如圖18-8所示均質(zhì)細(xì)圓環(huán)半徑為對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為對應(yīng)的回轉(zhuǎn)半徑3.均質(zhì)薄圓盤如圖18-9所示均質(zhì)圓盤半徑為M2Mdm 2 rdr rdr 質(zhì)量為R2R2圖 18-7zJ弓 M2 2x2-dx )Ml212匚 0.28912 3R,質(zhì)量為M任取圓環(huán)上一微段，其質(zhì)量為_ 2_ 2Jz MRdmMR圖 18-8R,質(zhì)量為M在圓盤上取半徑為 r的圓環(huán),則此圓環(huán)的圖 18-9對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jzr 2dmMR2M0 T2r 3dr12MR22對應(yīng)的回轉(zhuǎn)半徑zR.20.707R18-1或機(jī)械設(shè)常見簡單形狀的均質(zhì)物體對通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量及回轉(zhuǎn)半徑可由表

4、計(jì)手冊中查得。表18-1均質(zhì)簡單形體的轉(zhuǎn)動慣量（m表示形體的質(zhì)量）形體轉(zhuǎn)動慣量回轉(zhuǎn)半徑均質(zhì)翱桿 1 2Jx Jz mlJy 0/3ix z 6y 0期到卦工.12 Jx J y mr 2.2Jz mr22xy r2z r*11112 Jx J V -mr y 412Jz mr 21xy - r<2z 2r產(chǎn)，上，12Jx -mb 4,12Jy ma4122Jz 4m(a b )x 1b1y 2aJa2 b2z2少，A V萍,11I22Jx Jy Jz -mr 5xyz四yy750.5/2以.1- 2, 2、Jx J y m(3r l )12,12Jz mr2xy3(3r2 l2)6匹z

5、2r尸 一/一/ AA _I / . 3 ，/X三、平行移軸定理機(jī)械設(shè)計(jì)手冊給出的一般都是物體對于通過質(zhì)心的軸（簡稱質(zhì)心軸）的轉(zhuǎn)動慣量，而有時(shí)需要物體對于與質(zhì)心軸平行的另一軸的轉(zhuǎn)動慣量。平行移軸定理闡明了同一物體對于上述兩軸的不同轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系。設(shè)剛體的質(zhì)心為 C,剛體對過質(zhì)心的軸 z'的轉(zhuǎn)動慣量為 Jz,對與z'軸平行的另外一 軸z的轉(zhuǎn)動慣量為Jz,兩軸間的距離為 d,如圖18-10所示。分別以C、O兩點(diǎn)為原點(diǎn)建立 直角18-10坐標(biāo)系Cx v' z'和Oxyz,由圖可見J z,2 mCi其中Jzmi (x；y2)Xiyiyi代入得Jzmix'mi

6、(x(2(y,iy(2)d)22d因質(zhì)心C是坐標(biāo)系Cx'的坐標(biāo)原點(diǎn),mi (x,22_'2y,i 2dyi d )mi0,又 mi m,所以上式簡化JzJ z,md2(18-13 )上式表明：物體對于任一軸z的轉(zhuǎn)動慣量,等于物體對平行于 z軸的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上物體質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。這就是轉(zhuǎn)動慣量的平行移軸定理由公式（18-13）可知，在一組平行軸中，物體對于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為最小。例18-3鐘擺簡化力學(xué)模型如圖18-11所示，已知均質(zhì)桿質(zhì)量m、桿長l ,圓盤質(zhì)量R5、半徑R,求鐘擺對水平軸 O的轉(zhuǎn)動慣量。圖 18-11解 擺對水平軸O的轉(zhuǎn)動慣量等于桿1和圓盤2對

7、軸O的轉(zhuǎn)動慣量之和，即J 1O J 2O由轉(zhuǎn)動慣量平行移軸定理得所以J1O J1C2J 20 J 2Cm2 (1 R)/ 1 2 叫)1一 m2 R2工m/122m2(1123 2JO -m11m2(- R321m114R)22R1例18-4如圖18-12所示均質(zhì)等厚度板，單位面積的質(zhì)量為1.m11 33 m2( R 212)2 22R1 1 ),大圓半徑為R挖去的小圓半徑為r,兩圓心的距離OO=a。試求板對通過O點(diǎn)并垂直于板平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量。圖 18-12解 根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義，板對 O軸的轉(zhuǎn)動慣量等于（沒有挖去小圓時(shí)）整個(gè)大圓對軸O的轉(zhuǎn)動慣量J大圓0與小圓對軸O的轉(zhuǎn)動慣量J小圓o之差，即J