1、B國科技論又在線http: www paper 移動熱源法在冰水相變過程中的數值計算許彬S John C. Chai2,張敏劉晶？1.南京理工大學動力工程學院，南京（210094）2.南洋理工大學機械與航天學院，新加坡（639798）E-mail： norias（ar 摘 要：采用移動熱源法，數值模擬求解冰水相變傳熱過程.在一維半無限大空間內的雙相 區域問題中，通過導熱方程源項的線性離散和數值計算，獲得冰水區域內的溫度分布，并且 將數值解同精確解進行比校，從結果中可以看出兩者的一致性"這些充分"I正明了本文數值分 析的可行性，也為它在工業界的應用提供有益的券考.關杭詞：相變

2、過程，雙相區域，移動熱源法1*引言在口然界和工業界，固液相變熱傳導問題很多，例如金屬的鑄造、食品的冷藏以及相 變換熱器的設計等。在這些問題中，榊確確定固液界而移動以及物體內部的溫度場是十分 啦耍的。由和變熱傳導這類問題是卄線性的，僅冇很簡單的問題冇精確解外，頁他問題人 都是數值解和近似解冋。求解這類問題有它固有的閑難，這是因為當固相和液和的界面處吸收或釋放潛熱時， 這個界面是移動的，因此固-液交界面的位置預先不知道，它是作為解的一部分在求得解后 才能被得到。我們可以將相變過程中釋放（或吸收）的潛熱視為在固液交界面處有移動的 平面熱源（或匯）。從這樣一種認貝出發，可把瞬態的相變問題在形式上考慮為

3、貝有移動平 面熱源的輯態熱傳導問題。用這-方法求解-維瞬態柑變問題垠早是萊特富特，而后被一系 列研究者所采用。対固液相變問題，國外P. Rath71人対工業界屮電了儀器楙刻過程中的化學蝕刻過程 進行了研究，國內宣益明同等人用Lattice-Boltzmaim方法對多孔介質內固液相變問題進行了 研究。本文采用移動熱源法，在結構化網格中，對冰水相變過程進行數值計算和研究分析， 通過經肌的 維半無限人空間內的雙相區域問題，尋找相變過程的棊本規律，并得到仃參考 價侑的結果。2.移動熱源法的控制方程及離散用移動熱源法求解相變問題的基本步驟町簡要歸納如卜：用一個等價的在固液界面上 八仃移動丫面熱源（或匯）

4、的瞬態熱傳導問題來代替相變問題，山此得到的熱傳Y問題從形 式上講是對溫度求解的。這樣，在算到固-液界面時，M要求界血的溫度為相變溫度幾。從 這一耍求出發，就會得到I占I-液界面位置的枳分方程。通過求解該枳分方程，即町求得尚-液 界廁的位置。這個方法金如何把對相變問題的分析轉化為對固液界面位置枳分方程求解方 面是很簡捷的。由此得到的枳分方程也許不能用分析方法求解，但是可以用近似的或數值的 方法求解。一維具有移動平面熱源的瞬態熱傳導控制方程為叫丄警么誓衛+加厶攀恥_如（2.1）a ctdx' k at式（2.1） Wa = k!pCp稱為材料的熱擴散率（或導溫系數）。進一步化簡得，(2.2

5、)并有附加條件，T(x,t) = Tmx = 5(0(2.3)式中4r_$（r）為狄拉克函數,其定義如下:fo XH00"歹IS(X)= Lx = 0»5(兀一§) = «8X=4|(2.4)在卜述推導離散方程過程中，我們対源項S進行了局部線性化的處理，亦即假定在未知屆微 小的變化范國內，源項S可以表示成為未知屆T的線性函數，J：是在控制容積P內，它可 以表示成為如卜的形式°】：(2.5)S = Sf + SpTp具屮+為常數部分，Sp是S隨八何變化的曲線在P點的斜率。對J 該問題，我們令,Sc二件竽弘訕Sp = O Cp dt在全隱式時間枳分

6、方案卜的離散方程為：aPTP=aETEawTW+b 3。pxy°p _ /dp =仏 + % + 昭 - SpAxAy = aE + aw + a；b = Scy + <T；5(0 t)V 3x - s(0(2.6)(2.7)(2.8)(2.9)(2-10)(2.H)3-算例分析以半無限人空間內的融化過程（雙相區域問題）為例.來具體說明如何把相變問題轉化為JI仃移動熱源的瞬態熱傳導問題。JI仃均勻溫度7；的冰塊被限制在x>0的半空間內，它 低J融化溫度7；當時間f = 0時,x = 0處的邊界|衍溫度達到7； 它高融化溫度幾； 半時間/>0時，一貢維持這個溫度。因此

7、融化是從x = 0的面開始的.液固界面向x正方 向移動。因為液相與固相的溫度都是未知的，因此該問題是雙相區域問題（以F方程推導中, 卜標/和$分別表示液體和固體的相關物性）。液相內的數學描述為：(3.1)1 07； (xj)dx2 a, dt3m國科技論又在線http: www paper 刀（X，f） = Tq尚相內的數學描述為：x = O,r >0(3.2)6'7；(x,/)_ 1 眄(兀/)dx2 a, dt7；(x,r)-»7；TJ(x,t) = Ti界面處的數學描述為：刀CM)=耳(兀,)=T.s(t)< x <oo,z > 0x ->

8、 00,/ > 0x = o,r = ox=s(t),t > 0x=s(t),t > 0上式屮厶為相變潛熱。液相內溫度分布轎確解的形式為:Tl(xJ) = To + Aeffx/2(alt)y2(33)(3.4)(3.5)(3.6)(3.7)(3.8)固相內溫度分布粘確解的形式為:(3.9)T,(xj)=爲 + Berfcx/2(axty 2 式中人和為任意常數，將式（3.8）和（3.9）代入界面條件式（3.6）可得,12To + Aerf (A) = £ + Berfc 2=Ttn(3.10)2 _ M）由式（3.10）可求得，或 s(t) = 22(«

9、/012將式（3 代入式（3.8）和（3.9）中，可得液相與固相的溫度分別為,%"）-7； 吋x/2（引嚴Tm-T0人（與）一7； = £龍心/2（乙/）T.-T： erfcA（al/as）y2(3.11)(3-12)(3-13)(3.14)最后,把分別從式（3.11）、（3.13）和（3.14）得到的火）、7；（X，0和7；（X,f）代入式（3.7）時,可衍到如卜用以求得幾的超越方程,廠"化L -T. 小5心入皿吋 kt aj Tm -To erfcajaj2 5肌-幾)(315)久是這個方程的根。在求得久之后，即可從式（3.11） 求得$（/）從式（3.13）

10、中求得7；（心）從式（3.14）中求得人（也/）。上述相變問題等價J：求解在0 VXV8的區域內,X = R）處!移動 '卜面熱源的瞬態熱傳導問題：1 dT(x.t)d2T(x,t)a dldx2(3.16)T(x,t) = TQx = 0j>0(3.16a)T(x,/)t7；x f 叫I > 0(3.16b)r(x,o = 7；x > 0,/ = 0(3.16c)并有附加條件，=Tmx 5)(3.16d)在対半空間內冰水的融化進行數值模擬時.左邊界給定溫度7；=303K,上卜兩個邊界為對 稱邊界，因為一維問題在無窮遠處為絕熱邊界條件，I大I此我們將右邊界設置為絕熱邊

11、界，從 而近似模擬一維問題。隨著時河的推移，冰塊逐漸融化，存在由冰到水的相變過程。冰塊的 初始溫度為7； =263 K ,水和冰的物性參數為農1所不。由簡化模型的需要，將冰和水的 密度看成近似相等。圖1不同時刻在不同位置數值解和特確解的鎰度分布農1冰水物件參數農Q/（Rg/r）Cp /(J /(kg K)k/(W /(m K)L/(J)水(3O3K)100042140.618333700冰(263K)10002100231333700B國科技論乂在線http: www paper 圖2不同位代在不同時刻數值解和輅確解的溫度分布圖1給出了不同時刻在不同位置上的數值解和精確解的溫度分布。從圖中可以

12、看出，隨 著時間的推移，數值解和精確解Z間的謀差逐漸増人，這是由J：我們在進行數值計算時，對 模熨進行了簡化，忽略了冰水混介物的存在。圖2給出了不同位置在不同時刻數值解和精確 解的溫度分布。從圖中町以看出，隨著節點位置不斷向右移動，數值解和精確解Z間的誤差 逐漸增人，這是由J-進行數值模擬計算時，一維無限人問題只能通過設屋令限絕熱邊界條件 來近似實現，遠處的溫度會受到絕熱條件的限制從而與粘確解的謀差逐漸增人。4.結論移動熱源法在冰水相變過程數值分析小，是一種筲捷和仃效的方法。通過篦例討論和分 析，我們可以得出如下幾點結論：（1）精確解和數值解在兩相區域吻介的比較好，但在過渡區存在一定的誤差，瓦

13、原 因主要是數值計算的模型簡化，沒有考慮冰水混合物的存在；（2）導熱能炭方程源項的線性化十分幣:耍，線性化形式選取的合理與否對數值計算 的收斂性有很人影響；（3）本計算在冰水密度差方面進行了簡化，如果不進行簡化，石耍考慮過渡區和界 面膨脹問題。B國科技論又在線http: /www paper 參考文獻1 MN奧齊舛克著，俞昌銘譯熱傳導M北京：高等教仔出版社.19842張洪濟著.熱傳導汞慶：高等教育出版社.19903 Patankai . S V. Nummeal Hern Tiansfei and Fhnd Flow New York. Hemisphere Publishing 19814陶

14、文絵著.數值傳熱學.酉安：西安交通大學出版社.20015 Zhang, M, Modeling of Radiative Heat Transfer and Diffusion Processes Using Unstructured Grid, Ph D Dissertation. Tennessee Technological Umversity. USA. 20006 Patankar. S V. Computation of Conducuon and Duct Flow Heat Transfer. Innovative Research Inc. 19917 P Rath, J.C

15、. Chai. Modeling Two-Dunensional Diffusion-Controlled Wet Chemical Etcluiig Using a Total Concentration Approach, International Journal of Heat and Mass Transfer, 20058錢古裕李強 宣益吃Lanice-Boltzmann方法計舁多孔介質內尚液相變問題.門然科學進展.20064Numerical Calculations of Phase Change about Ice andWater Using Moving Heat Sou

16、rce MethodBui Xu1, Jolin C Cliai2, Min Zliang1, Jing Liu2I. School of Power Engineering > Naiymg University of Science & Technology, Naiijmg(210094)2. School of Mechanical and Aerospace Eng. > Nanvaiig Tecluiological Umversity Singapore(639798)AbstractThe problem of pliase change about ice

17、 and watci was solved in the stinctuied meshes by usmg moving heat souice metliod, wluch is representative of nianv mdustnal processes The temperature field was also studied by discrete soiuce tenn A bilateral regions problem was given to demonstrate die correctness of tins method; the results are agieement when die nui