1、單級倒立擺系統的分析與設計小組成員：武錦張東瀛楊姣李邦志胡友輝一倒立擺系統簡介倒立擺系統是一個典型的高階次、多變量、不穩定和強耦合的非線性系統。由于它的行為與火箭飛行以及兩足機器人行走有很大的相似性， 因而對其研究具有重大的理論和實踐意義。 由于倒立擺系統本身所具有的上述特點， 使它成為人們深入學習、研究和證實各種控制理論有效性的實驗系統。單級倒立擺系統（ Simple Inverted Pendulum System）是一種廣泛應用的物理模型，其結構和飛機著陸、火箭飛行及機器人的關節運動等有很多相似之處，因而對倒立擺系統平衡的控制方法在航空及機器人等領域有著廣泛的用途， 倒立擺控制理論產生的

2、方法和技術將在半導體及精密儀器加工、 機器入技術、導彈攔截控制系統、航空器對接控制技術等方面具有廣闊的開發利用前景。倒立擺仿真或實物控制實驗是控制領域中用來檢驗某種控制理論或方法的典型方案。最初研究開始于二十世紀50 年代，單級倒立擺可以看作是一個火箭模型，相比之下二階倒立擺就復雜得多。1972 年， Sturgen 等采用線性模擬電路實現了對二級倒立擺的控制。目前，一級倒立擺控制的仿真或實物系統已廣泛用于教學。二系統建模1單級倒立擺系統的物理模型mmgFMf1f2Mg圖 1：單級倒立擺系統的物理模型單級倒立擺系統是如下的物理模型：在慣性參考系下的光滑水平平面上，放置一個可以在平行于紙面方向左

3、右自由移動的小車（cart），一根剛性的擺桿（ pendulum leg）通過其末端的一個不計摩擦的固定連接點（flex Joint）與小車相連構成一個倒立擺。 倒立擺和小車共同構成了單級倒立擺系統。倒立擺可以在平行于紙面 180°的范圍內自由擺動。 倒立擺控制系統的目的是使倒立擺在外力的攝動下擺桿仍然保持豎直向上狀態。在小車靜止的狀態下， 由于受到重力的作用，倒立擺的穩定性在擺桿受到微小的攝動時就會發生不可逆轉的破壞而使倒立擺無法復位，這時必須使小車在平行于紙面的方向通過位移產生相應的加速度。依照慣性參考系下的牛頓力學原理，作用力與物體位移對時間的二階導數存在線性關系，單級倒立擺系

4、統是一個非線性系統。各個參數的物理意義為：M 小車的質量m 倒立擺的質量F 作用到小車上的水平驅動力L 倒立擺的長度x 小車的位置 某一時刻擺角整個倒立擺系統就受到重力、驅動力和摩擦阻力的三個外力的共同作用。這里，驅動力 F 是由連接小車的傳動裝置提供，控制倒立擺的穩定實際上就是依靠控制驅動力 F 使小車在水平面上做與倒立擺運動相關的特定運動。為了簡化模型以利于仿真，假設小車與導軌以及擺桿與小車鉸鏈之間的摩擦均為0。2單級倒立擺系統的數學模型令小車的水平位移為 x，運動速度為 v，加速度 a。 小車的動能為 Ekc1 Mx2 ，2選擇特定的參考平面使得小車的勢能為0。擺桿的長度為 L，某時刻擺

5、角為， 在擺桿上與固定連接點距離為q（0<q<l）的位置處取一質量為 m 的質元，則有x mx q siny mq cos該質元的動能為： Ek m 1m( x2my2m )1 m(x22q cos x q2 2 )22勢能為： Ep m m g q cos，其中mdq ，是擺桿的線密度則系統的總動能可以通過對和從0 到 L 積分獲得：EkEkclmdq1(Mm) x21ml cos x1ml 2 2Ek02261lEpEp m dqmgl cos021 Mx2其中小車的動能和勢能為：E，Epc0kc2系統的拉格朗日方程可寫為：LEk Ep1 (Mm) x21 ml cosx1 m

6、l 221 mgl cos2262由歐拉拉格朗日方程：dLLF，dLL0dtxxdt(m M ) x21 ml cos21 ml sin2F可以確定擺桿的運動方程：21 ml cos x31 ml 221 mgl sin0為避免復雜的求解微分方程的運算，考慮擺角在=0 附近的微小變化，倒立擺在垂直位置可以近似為：cos 1，sin 0，運動方程可簡化為：(m M ) x12 mlF (t )13 ml 221 ml (x g ) 0令所有作用力、位移與角度參數為時間t 的函數，則2(t) F (t) (m M ) xml2l F (t) (mM )xml ( xg) 032 x43mg(t )

7、F (t)m4Mm4M2F (t)2(m M ) 4F (t)3mg(t)mlmlm4Mm 4M6F (t )6g(m M ) (t)l (m 4M )l ( m 4M )將轉換后的線性系統用兩個2 階微分方程描述，系統的狀態矢量為：令x(,)T,()x Ax Bfx xf F t，則狀態方程描述為：y Cx將相關參數帶入，得到010006g (m M )0060xl (m 4M )0xl (m 4M ) f (t )00103mg004m0m 4M4M010006g( m M )0060l (m 4M )1000Al ( m 4M )BC0000001013mg0004m 4Mm 4M三控制

8、對象的初步分析倒立擺系統的基本數據：M 小車質量 2Kgm擺桿質量 0.5KgL 擺桿長度0.5m得到系統的狀態方程如下：0100034.58820001.4118x0001xu0x1.7294000x0.47061000yx0010xx由狀態方程可知，系統的開環特征值為：開環系統有極點在右半平面，因此原系統為不穩定系統。由能控性的定義，根據狀態方程xAxBuS=B AB A 2 B A 3B ，rank(S)=4，滿秩，所以系統完全能控；由能觀性的定義，P=C CA CA 2 CA 3 T ，rank(P)=4，滿秩，所以系統完全能觀。四控制器的設計1控制方案的選取經典控制理論主要采用頻域分

9、析方法，能夠很好地解決單輸入單輸出問題。單級倒立擺系統的控制對象是一個單輸入（力）兩輸出（角度和位移）的非最小相位系統。根據對系統的力學分析， 應用牛頓第二定律， 建立小車在水平方向運動和擺桿旋轉運動的方程，并進行線性化，拉氏變換，得出傳遞函數，從而得到零、極點分布情況。為使閉環系統能穩定工作，需引入適當的反饋，使閉環系統特征方程的根都位于左平面上。 用經典控制理論的頻域分析法設計非最小相位系統的控制器不需要十分精確的對象數學模型。 因為只要控制器使系統具有充分大的相位裕量，就能獲得系統參數很寬范圍內的穩定性。與經典控制理論相比，現代控制理論有較強的系統性，從分析到設計、綜合都有比較完整的理論

10、和方法。以單級倒立擺為例，這是一個多變量系統， 應用最優狀態調節器理論和狀態觀測器理論的控制思想， 控制器采用線性定常狀態反饋和觀測器的結構?？刂茖ο螅ㄐ≤?、擺桿）分別由傳感器檢測出兩個位置量，然后由觀測器重構系統狀態，通過狀態反饋， 組成一個閉環系統， 使不穩定系統變為穩定系統，系統的瞬態和靜態性能良好。此外，很多文獻介紹了基于輸出反饋的 PID 控制系統，但其控制效果不理想，主要原因是系統的高階次和多變量。以及基于模糊神經網絡的倒立擺控制系統，該方法由于模糊神經網絡系統的自適應能力， 有效地克服了系統存在的非線性和不確定性，但該方法過分依賴人直接控制被控對象的經驗。這里我們結合最優控制課程

11、的學習，選用基于狀態空間設計法的 LQR 最優調節器， 較好地兼顧了系統的穩定性和快速性， 應用實例說明了該方法的有效性。對倒立擺系統進行控制的目的是：(1) 通過狀態反饋變不穩定系統為穩定系統；(2) 使系統的瞬態和靜態性能良好，系統的調節過程迅速，振蕩不要太大。由前面的分析可知，單級倒立擺系統是不穩定的，但系統的狀態是完全可控和可觀的。 根據線性系統控制理論，倒立擺經過適當的狀態反饋后，所得到的閉環系統是可以穩定的， 并且反饋所需的全部狀態可以用狀態觀測器重構。具體選擇控制器方案時要考慮： 在保證達到上述控制目標的前提下，控制器的設計和結構盡可能簡單，容易實現。控制器設計方案如下：(1)

12、應用確定性系統的控制理論，該系統為確定性系統；(2) 控制規律采用線性定常狀態反饋，反饋增益由LQR 調節器理論算出；(3) 采用狀態觀測器重構系統狀態。2最優調節器設計線性定常系統的狀態反饋增益可由閉環系統的極點配置來確定，也可由最優控制理論計算獲得，這里采用后一種方法。單級倒立擺控制對象模型是一個單輸入、雙輸出系統，它的狀態方程為：xAxBu設狀態反饋調節器的形式為u(k)=K x(k) ， KR 1BT P通過使性能指標函數J=x T (k)Qx(k)+u T (k)Ru(k)0為最小，其中， (1)Q 為 4*4 對稱半正定矩陣， R 是標量， R>0(2) 矩陣 P 是 Ric

13、cati 代數方程 PAAT PPBR 1 BT PQ0 的唯一正定解。x調節器K觀測器ux'=Ax+Buyy=Cx圖 2：最優調節器設計3狀態觀測器的設計采用狀態反饋可以更好地改善系統的動態性能指標，然而在實際的控制系統中，并不是所有的狀態變量都能夠方便測量。龍伯格狀態觀測器利用控制對象杜輸入變量 u 和輸出變量 y 對系統的狀態變量x 進行估計，從而解決某些狀態變量不能直接測量的問題，為實現狀態反饋提供了可能性。龍伯格狀態觀測器的狀態方程為：x( AG * C ) xBuGy式中， u， y 是系統可測量的輸入與輸出x 是待觀測杜狀態變量的估計值可見，觀測器的實現，關鍵是確定未知矩

14、陣 G已驗證系統是完全能觀的,故先化為能觀標準型 ,再進行設計。00按照狀態觀測理論，求得矩陣G 33.58820001.72941yGu+x 'xB×+A-G*C圖 3：觀測器結構子圖4二次型性能指標中加權矩陣Q,R 的選擇考慮簡單情形，把對狀態偏差的加權矩陣Q 選為對角矩陣，Q=diag(q 1,q 2 ,q3 ,q4 ),qi0qi 表示對狀態 xi 平方的加權， qi 越大表示 xi 的偏差在性能指標中占的比重越大，為使倒立擺穩定， 認為擺桿的偏差比小車的偏差影響要小，加權系數取小些。Q=diag(1，0，50， 0)R=0.1應用 matlab 工具函數 lqr，可

15、以得到最優控制器對應的反饋增益矩陣K 。K=lqr(A,B,Q,R) ，求得K=-98.7102-17.5043-22.3607-18.4025閉環系統的特征值為：（-5.8583 ± 0.3941i-2.1677 ± 2.0675i ）可見，經過狀態反饋后系統是穩定的。五系統仿真結果用 matlab 的 simulink 工具箱能夠方便地實現控制系統的建模與仿真， 單級倒立擺系統的模塊框圖如下：給系統施加一個脈沖擾動， 先讓系統在平衡點處基本穩定， 然后在擺桿上加一個沖擊力，迫使系統離開平衡位置，下面是系統在擾動下的仿真曲線：（ 1）當加權矩陣 Q=diag(1， 0，

16、50，0)， R=0.1 時，K=-98.7102-17.5043-22.3607-18.4025系統的脈沖響應曲線如下：（ 2）當改變擺桿和小車偏差在性能指標中的比重，加權矩陣 Q=diag(50，0，1，0)， R=0.1 時，K=-71.8393 -11.8564 -3.1623 -5.5273系統的脈沖響應曲線如下：（ 3）當改變控制量輸入u 在性能指標中的比重，加權矩陣取為 Q=diag(1，0，50，0)，R=10 時，K=-61.5469-10.6515-2.2361-4.1117此時系統的脈沖響應曲線如下：（ 4）系統在隨機擾動下的響應曲線：加權矩陣 Q=diag(1， 0，

17、50，0)， R=0.1K=-98.7102-17.5043-22.3607-18.4025由以上幾組仿真曲線可以看出， 選取合適的加權矩陣， 能夠改善系統的動態性能，擺桿的加權系數比小車的加權系數要小，而且輸入控制量u 的加權系數 R 越小，系統的超調量減小，穩定時間變短。六討論與小結1系統非線性分析：單級倒立擺系統的反饋控制規律是應用線性最優控制理論得到的，而在推導系統的數學模型時一次近似所忽略的系統非線性；此外，未考慮小車、 擺桿運動時所受到的摩擦阻力。 這些非線性因素影響了系統性能， 因本系統的控制目標只是對其瞬態和穩態行為有控制要求， 所以對某些非線性因素可以放寬限制， 運用線性控制理論設計可以取得比較滿意的結果。2加權矩陣 Q 及 R 的重要性：選取不同的 Q及R，使得系統對不同的狀態及控制量的調節程度不同，同時影響系統閉環極點的分布和反饋增益。3在單級倒立擺的設計過程中， 我們采用狀態空間設計方法， 應用 LQR 控制器實現了對單級倒立擺的最優控制， 應用實例表明該方法的有效性。 而且該方法也適用于其它類似的控制系統。4由于數學模型同實際系統有一定差距，使得閉環系統的特征值和仿真結果并不能完全與真實系統相符合，有時相差很遠， 所以計算結果需要最后在實際系統上實現，從而決定是否可行。5通過完成這次project，實現對單級倒立擺系統的建模、