1、第二章極限與連續基礎練習題（作業）§2.1 數列的極限一、觀察并寫出下列數列的極限：468極限為 11 2,3572 1,1,1,1,1, 極限為 023452n1為奇數2nn極限為 13 an2n1為偶數2nn§2.2 函數的極限一、畫出函數圖形，并根據函數圖形寫出下列函數極限：1 lim exx極限為零2 lim tan xx2無極限3 lim arctan xx極限為24 lim ln xx0無極限，趨于2x1,x, 1二、設 f ( x)x2x3,1x, 2 ，問當 x1 ， x2 時， f ( x) 的極限是否存在？x21,x2limf (x)lim(x2x3)3

2、 ； lim f ( x)lim(2x1)3x 1x1x 1x 1limf ( x)3.x 1limf (x)lim ( x21)3； lim f (x)lim( x2x3)5 3x 2x2x 2x2lim f ( x) 不存在。x2三、設 fx1，求x 0 時的左、右極限，并說明 x0 時極限是否存在11exlimfxlim101x0x0ex1limfxlim111x 0x 01exlim f ( x) 不存在。x0四、試討論下列函數在x0 時極限是否存在1絕對值函數f x| x |，存在極限為零2取整函數fx x不存在3符號函數fxsgn x不存在§2.3 無窮小量與無窮大量一、

3、判斷對錯并說明理由：1 x sin1 是無窮小量x錯，無窮小量需相對極限過程而言，在某個極限過程中的無窮小量在其它極限過程中可能不再是無窮小量。當 x0 時， xsin10 ；當 x1 時， x sin 1sin1 不是無窮小量。xx2同一極限過程中兩個無窮小量的商，未必是該極限過程中的無窮小量對，兩個無窮小量的商是“ 0/0”型未定式，即可能是無窮小量，也可能是無窮大量或其它有極限但極限不為零的變量。3無窮大量一定是無界變量，而無界變量未必是無窮大量對，無窮大量絕對值無限增大因此一定是無界變量， 但無界變量可能是個別點無限增大， 變量并不能一致地大于任意給定的正數。二、 下列變量在哪些極限過

4、程中是無窮大量，在哪些極限過程中是無窮小量：1 x2 ，xx221時，或 x時，為無窮小量；x1時，或 x1時，為無窮大量。21,kZln tan x1x(k)時， tan x，則 ln tan x，從而0+ 為無窮小量；21ln tan xxk時， tan x 0，則 ln tan x，從而0為無窮小量；ln tan xxk時， tan x1，則 ln tan x0 ，從而1為無窮大量；ln tan x4三、當 x0 時， x2 ，x 和 3 x 都是無窮小量，它們是否為同階無窮小量，如果不是它們之間最高階和最低階的無窮小量分別是誰？limx2lim xx0 ，所以當 x0 時， x2是x

5、的高階無窮小量。x 0xx 01limx2limx( 3x )20 ，所以當 x0 時， x2是 3 x 的高階無窮小量。x 03xx 01lim3xlim6 x0 ，所以當 x0時，x 是 3 x 的高階無窮小量。x 0xx 01通過比較可知，當x0時， x2 ，x 和 3 x 不是同階無窮小量，其中x2 是x 和 3 x 的高階無窮小量，因此x2 是三者中最高階的無窮小量。x 2 和 x 都是 3x 的高階無窮小量，因此 3x 是三者中最低階的無窮小量。四、利用無窮小量與極限的關系證明：lim f ( x) g( x)limf ( x) limg( x) x x0x x0xx0證明：設 l

6、imf (x )A ， limg( x)B ，則由無窮小量與極限的關系，f ( x)A，x x0x x0g( x)B，其中,為 xx0 時的無窮小量。則 limf (x)g( x) lim( A)( B) lim( ABBA)ABx x0xx0x x0lim f (x) limg(x)x x0x x0§2.4 極限的性質與運算法則一、如果 limf ( x) A0 ，則存在 x0 的空心鄰域，使得（ 1）（ 2）（ 4）成立x x0（1） f ( x) 有界；（ 2） f ( x) 非負；（ 3） f (x) 落入其中；（ 4） | f ( x)A |， >0二、求下列函數的極

7、限1 lim3n( 2) n2 lim111n 1n 1n3( 2)n1 22 3n n13 lim x23x 44 lim13x 1x 1x1 1 x1 x35 lim x4x21 2x6 limx3 1 x3xx原式 lim x1原式lim12233332x4x1 2xxxx)1 x (1 xlim11lim1/ x200x14x1 311 ( 311)2342x2x3x3x210.三、求 a,b ，使得 limax bxx1x21 ax2ax bx bx1ax a bb原式limxx0x1lim1xx1x必有a1(否則原式)；ab 0(否則原式0)；同時有四、若 limx3ax2x4b

8、為有限值，求 a, b.x1x1由題意必有 lim x3ax 2x4（0否則商的極限不可存在）a 4x1原式limx34x2x4 = lim1(x1)( x1)( x4)bb10x1x1xx1§2.5 極限存在性定理與兩個重要極限一、判斷題：1 lim sin x1 錯x 1x2 lim sin( x1)1對x 1x13 lim sin x1 錯x x4 lim x sin 11 對xx11錯5 lim x sinx0x6 lim(11 )xe 對x0x7x0時，sin x,arcsin x, tan x,arctan x,ln(1x), e1都是x的等價無窮小對當x二、求下列函數極

9、限：1 limsin 2xsin( x24)tan 3x2 limx2x0x2xsin 2 x2xx0，sin( x24)x240，3xtan 3xlimsin 2x2x2原式x244.tan3xlim.lim2x 0x0 3x3x2 xxx1x3 lim4 limx0arctan xxx1x 11222x0，arctan xxlim1212x1x1xx 11222limxlimx1.lim1212e2.x 0arctan xx0xxx1x111x2xxxxx5 lim x1lim(1x1)16 limlimxx2x1x1xx1xx1x11e 1.1x1xee 1lim(1x1)x 1lim1

10、11.x 1xxx7 lim 1 ln(1xx2x3 )8 lim sin(sin x)x0xx0 ln(1x)ln(1xx2x3 )xx2x3 ( x0)s i n ( s xi n)xs i n; lxn ( 1xx)(lim1ln(1xx23limxx2x31limsin(sin x)sin x1.xx )xx)limxx 0x0x 0 ln(1x 0三、求極限 lim(21222n)nn1nn2nnnn12n12n12nn2n nn2n 1 n2n 2n2n nn2n 1lim1 2nlim(1 n)n / 2 11 2nlim(1 n) n / 2 122,且 lim22.nn n

11、nnn n n 2nn n 1nn n 1 2由兩面夾法則lim(21222n)1 .nnn1nn2nnn2四、設 un1111，證明數列 un 的極限存在32n222uu10, u 為單調遞增數列 .n1n(n1)2n又un111111112232n22 32n2由單調有界定理，數列 un的極限存在 .五、設 a0， x10 ，且有 xn11( xna ) ， (n1,2,) ，證明數列 xn 的極限存在，2xn并求極限xn 11a( xn)a, xn 有下界 .2xn又 xx1 (ax )1 ( axn2) 0, x 單調遞減 ( 從第二項起 ).n 1n2xnn2xnn由單調有界定理，數

12、列 xn 的極限存在若 lim xnA，有 A1 ( Aa )，可解得 Aa.n2A§2.6 函數的連續性一、填空題1設函數 f xln 1x ，若補充 f0-1可使 fx在 x0 處連續x21是函數yx 21的第1類間斷點，且為可去間斷點 xx 23x23 x0是函數 yx的第 1類間斷點，且為 可去 間斷點tan xxkk1,2是函數 yx的第2類間斷點，且為 無窮間斷點tan xxkk1,2是函數 yx的第1類間斷點，且為可去 間斷點2tan x4 xa 是函數 yxa1x的第類間斷點，且為跳躍 間斷點a50是函數ycos2 1的第2類間斷點 xx二、研究下列各函數的連續性，找

13、出其間斷點，并判斷其類型：1 f ( x)1cosx ,x0x2x2 1,x0lim1cos x1；lim( x21)1 ，x 0 為第一類跳躍間斷點。x 0x22x 012 f ( x)ex11lim ex0；lim ex，x0 為第二類無窮間斷點。x 0x0x2xx(x1)3 f (x)21)| x | (x1)(x1)| x | (xx 0為第一類跳躍間斷點。x 1為第一類可去間斷點。x 1為第二類無窮間斷點sin x ,x0x，確定 a,b 使四、 f ( x)a,x0bx sin 1 ,x0x1 f ( x) 在 x0 處有極限limsin xlim( bx sin 1) ，b1.x 0xx 0xf ( x)在 x0 處連續sin xlim (b1aa1.2limxx sin )x0x 0x五、 f ( x)exb，確定 a,b 使同時滿足a)( x( x1)（ 1） x0 是 f ( x) 的無窮間斷點，即limf ( x)exb1 ba0.lim1),x0x 0 (x a)( xa（2） x1 是 f ( x) 的可去間斷點，即limf ( x)存在，則必有 lim exb=0， be.x 1x1六、設 f (x) 在 a,b 上連續， 且 f ( a)a ， f (b)b ，證明在區間 a, b 上至少存在一點，使得 f