1、近共振激發下二能級體系的光學Bloch方程-推導、求解與應用余向陽(中山大學光電材料與技術國家重點實驗室，廣州，510275)1. 導 言相干瞬態光學過程，如自感應透明、超輻射、自由感應衰減、光學章動、光子回波和光學孤子等現象。都涉及到強超短脈沖與物質體系的相互作用。在近共振強場作用下，微擾理論不再適用，這種情況下，最簡單的一種處理方法是：采用光與物質的相互作用的半經典理論，即物質體系用量子力學描述，而光場則用經典的麥克斯韋方程組描述。把半經典理論應用于最簡單二能級體系，在電偶極近似下，可以推導得到所謂的光學Bloch方程，這組方程是研究相干瞬態光學過程的基礎。本文詳細推導了光學Bloch方程

2、，并建立了其解折解和數值解的求解方法，編寫了相關的計算程序，并與已有文獻結果進行了比較，為進一步研究相關課題建立基礎。求解結果，普適于闡釋相干瞬態光學過程。2. 二能級體系在單光場作用下的光學Bloch方程2.1 密度矩陣的運動方程二能級體系在單束超短脈沖作用下，沿軸方向傳播光場的形式可以寫為： (2.1)式中為光的中心頻率，為波矢，如果光場的振幅為實振幅，則有 (2.2)為實振幅。如果脈沖形狀為高斯形1，則有：。是決定脈沖包絡形狀的參數，或，為高斯脈沖的半高寬。高斯脈沖的積分的歸一化系數為：從薛定諤方程出發2， (2.3a) (2.3b)式中，波函數或態矢量為： (2.4)式中，和是二能級體

3、系的基矢，和分別是原子處于和的幾率。由密度矩陣的狄拉克形式，可以得到密度矩陣的運動方程如下， (2.5)稱為純系綜劉維(Liouvilee)方程。從上式可直接寫出密度矩陣元的方程如下， (2.6)圖1 光與二能級體系相互作用模型對于如圖1所示的光與二能級體系的相互作用模型，為上能級，為下能級。根據(2.6)式，我們有： (2.7a) (2.7b) (2.7c) (2.7d)在光場作用下體系總哈密頓量(Hamilton)為： (2.8)式中，是原子輻射場相互作用的哈密頓3，考慮電偶極子近似，并根據標量場假定，應為， (2.9)因激光波長遠大于原子線度，故矩陣元 (2.10) 適當選取波函數的位相

4、可使矩陣元為實數，記為， (2.11)相應地有 (2.12)將(2.8)式應用到(2.7)式，可得， (2.13a) (2.13b) (2.13c) (2.13d)2.2 衰減過程2 方程(2.13)還沒能計及能級衰減，考慮各種因素造成的能級衰減，則密度矩陣運動方程還應進行適當的修改。令上、下能級的衰減分別為，則衰減過程的影響是， (2.14)由于，可以從形式上考查和，并且注意和都是實數，則有 ； ； ； (2.15)這樣，非對角元的衰減為 (2.16)式中，這樣，由于原子的衰減，也會導致原子的電偶極矩的衰減，這種衰減會使輻射的譜線有一定的線寬。另外，粒子之間的彈性碰撞，雖不引起能級衰減，但卻

5、可以引起本征態的相位分布的混亂，因而可能引起相干性的衰減，這種衰減使宏觀極化強度減小，因此這種衰減過程通常稱為“退相”。所以，非對角元的衰減因子還應增加彈性碰撞的衰減因子，這時，便得到所謂的橫向弛豫速率 (2.17)這樣，橫向弛豫時間。 體系在激光的作用下，將會使有一部分的粒子的能級被激發到態，假設單位體積內態的激勵速率分別為，寫成矩陣的形式即為激發矩陣 (2.18)把能級的衰減也寫成衰減矩陣的形式 (2.19)這樣，考慮到衰減過程，再加入對原子的泵浦或激發過程，得到粒子數矩陣的運動方程 (2.20)將上式寫成矩陣元形式即為 (2.21a) (2.21b) (2.21c) (2.21d)其中代

6、表泵浦過程。定態時，當光場為零時，由方程(2.21c)，(2.21d)得到定態解的上能級粒子數與下能級粒子之差(反轉粒子數)： (2.22)光場與體系的作用使上能級粒子數與下能級粒子數之差偏離平衡值，而弛豫過程則使趨向，當考慮泵浦過程和衰減過程，并假定縱向弛豫速率為：(縱向弛豫時間)，方程(2.21)便可寫為如下形式 (2.23a) (2.23b) (2.23c) (2.23d)體系與光場相互作用的哈密頓量為： (2.24a) (2.24b)將(2.24)式代入(2.23)，可以得到： (2.25a) (2.25b) (2.25c) (2.25d)式中，為密度矩陣的對角元，為上、下能級的粒子布居，為熱平衡時的初始布居。，為共振頻率，分別為上、下能級的本征能；為縱向弛豫時間(粒子的馳豫時間)，是橫向弛豫時間(退相時間)。原子在光場作用下按振蕩，在慢變近似下，有 (2.26) (2.27)式中，和為分別是原子偶極矩的正頻部分與負頻部分的慢變振幅。將(2.26)和(2.27)代入(2.25)，我們有：略去高頻項(旋轉波近似)，則密度矩陣運動方程變換為 對的實振幅，我們有 (2.28)稱為Rabi頻率4，這樣，有： (2.29a) (2.29b) (2.29c) (2.29d)或簡寫為： (2.29a) (2.29b) (