1、第第二二章章 質點動力學質點動力學1.1.伽利略的理想實驗伽利略的理想實驗2.2.牛頓第一定律：牛頓第一定律：經典表述：經典表述：任何物體都要保持靜止或勻速直任何物體都要保持靜止或勻速直線運動的狀態，直到其他物體作用的力迫使它線運動的狀態，直到其他物體作用的力迫使它改變這種狀態為止。改變這種狀態為止。現代表述：自由粒子永遠保持現代表述：自由粒子永遠保持靜止或勻速直靜止或勻速直線運動的狀態。線運動的狀態。慣性是物體慣性是物體的固有特性。的固有特性。一、牛頓第一定律（慣性定律）一、牛頓第一定律（慣性定律）2-1 2-1 牛頓運動定律牛頓運動定律牛頓第一定律包含了力的定性定義：力是質點牛頓第一定律包

2、含了力的定性定義：力是質點運動狀態改變的原因。運動狀態改變的原因。合外力為合外力為零零有兩種含義：物體不受外力作用；有兩種含義：物體不受外力作用；物體雖受外力作用，但這些外力的矢量和為物體雖受外力作用，但這些外力的矢量和為0 0。運動狀態是由速度來描述的，力是使物體產生運動狀態是由速度來描述的，力是使物體產生加速度的原因。這為力的定量定義做好了準備。加速度的原因。這為力的定量定義做好了準備。3.3.第一定律的意義：第一定律的意義：4.4.慣性系：慣性系：不與外界作用，完全孤立的粒子或系統。不與外界作用，完全孤立的粒子或系統。使慣性定律嚴格成立的參考系。使慣性定律嚴格成立的參考系。凡相對于某一已

3、知的慣性系作勻速直線運動的凡相對于某一已知的慣性系作勻速直線運動的參考系也是慣性系參考系也是慣性系。物體慣性不僅表現在合外力為物體慣性不僅表現在合外力為0 0、保持勻速運、保持勻速運動狀態和靜止狀態的性質上，還表現在受到外力動狀態和靜止狀態的性質上，還表現在受到外力作用時，物體運動狀態改變的難易程度上。物體作用時，物體運動狀態改變的難易程度上。物體慣性越大，越難改變運動狀態，獲得的加速度就慣性越大，越難改變運動狀態，獲得的加速度就越小；牛頓第一定律為質量的科學定義也作好了越小；牛頓第一定律為質量的科學定義也作好了準備。物體慣性大小用質量來量度。準備。物體慣性大小用質量來量度。2.2.力的定義：

4、力的定義：二、牛頓第二定律二、牛頓第二定律()dpd mvFdtdt1.1.動量：動量：pmv-牛頓第二定律牛頓第二定律( (質點運動微分方程）質點運動微分方程）dvFmmadt物體質量為常量時：物體質量為常量時：vc慣性演示實驗 當錘子敲擊在一大鐵塊上時，鐵塊下的手不會感到有強烈的沖擊；而當用一塊木頭取代鐵塊時，木塊下的手會感到明顯的撞擊。3.3.分量式：分量式：xxxxdpdvFmmadtdtyyyydpdvFmmadtdtzzzzdpdvFmmadtdt直角坐標系直角坐標系自然坐標系自然坐標系dvFmamdt2nnvFmamr三、牛頓第三定律：三、牛頓第三定律：21FF m1m2F2F1

5、* *作用力與反作用力在同一直線上，大小相等、作用力與反作用力在同一直線上，大小相等、方向相反，分別作用在兩個不同的物體上；方向相反，分別作用在兩個不同的物體上；* *作用力與反作用力沒有主從、先后之分，同時作用力與反作用力沒有主從、先后之分，同時產生、同時存在、同時消失，并且性質相同；產生、同時存在、同時消失，并且性質相同；* *作用力與反作用力僅描述兩個物體間的相互作作用力與反作用力僅描述兩個物體間的相互作用，不涉及物體運動，對任何參考系都成立。用，不涉及物體運動，對任何參考系都成立。2 SI單位和量綱單位和量綱 國際單位制（國際單位制（SI）的力學的力學基本量基本量和單位：和單位：質量質

6、量9 192 631 770 倍倍時間時間秒秒s138Cs原子原子某特征頻率光波周期的某特征頻率光波周期的長度長度米米m光在真空中在（光在真空中在（1/299 792 458）s內所經過的距離內所經過的距離量的量的名稱名稱單位單位符號符號單位單位名稱名稱單單 位位 的的 定定 義義千克千克kg保存在巴黎度量衡局的保存在巴黎度量衡局的“kg標準標準原器原器”的質量的質量習題習題 牛頓運動定律的應用牛頓運動定律的應用1.1.僅適用于僅適用于慣性系慣性系；一、牛頓運動定律的適用范圍：一、牛頓運動定律的適用范圍：2.2.僅適用于低速物體；僅適用于低速物體；3.3.一般僅適用于宏觀物體；一般僅適用于宏觀

7、物體；4.4.僅適用于實物，不完全適用于場。僅適用于實物，不完全適用于場。二、牛頓運動定律的應用：二、牛頓運動定律的應用：1.1.動力學問題：受力情況動力學問題：受力情況 運動情況運動情況2.2.基本步驟：基本步驟：隔離物體，分析受力情況；隔離物體，分析受力情況；適當選擇并建立坐標系（在適當選擇并建立坐標系（在慣性參考系慣性參考系上）；上）；根據給出坐標列出方程；根據給出坐標列出方程；求解方程得出結果。求解方程得出結果。例題例題1 1 質量為質量為m0的楔塊的楔塊A，置于光滑水平桌面上，置于光滑水平桌面上，質量為質量為m的物體的物體B沿楔的光滑斜面自由下滑，試沿楔的光滑斜面自由下滑，試求楔塊求

8、楔塊A相對于地面的加速度及相對于地面的加速度及物體物體B相對楔塊相對楔塊的加速度。的加速度。AB0sinNm a解：隔離兩物體，分別受力分析，解：隔離兩物體，分別受力分析，對對楔塊楔塊A0(cos)0FNm gsin(cos)B ANm aacos(sin0)B ANmgma聯立解得聯立解得02200()sincossin,sinsinB Ammmag agmmmmBmgNaB-AaA-地對物體對物體B（ ）B ABAaaa地地AB(m0 0gNFaA-地ABAm0gNFaBmgNa0sinNm a解：隔離兩物體，分別受力分析，解：隔離兩物體，分別受力分析，對對楔塊楔塊A0cosNm gFsi

9、n(cos)Nmaacos(sin )Nmgma物體物體B相對楔塊相對楔塊A以以a加速下滑加速下滑聯立解得聯立解得02200()sincossin, sinsinmmmag agmmmm例題例題2 2 質量為質量為m的快艇以速率的快艇以速率v0 0行駛，關閉發動行駛，關閉發動機后，受到的摩擦阻力的大小與速度的大小成機后，受到的摩擦阻力的大小與速度的大小成正比，比例系數為正比，比例系數為k，求關閉發動機后求關閉發動機后（1 1）快艇速率隨時間的變化規律；）快艇速率隨時間的變化規律；（2 2）快艇位置隨時間的變化規律）快艇位置隨時間的變化規律解：快艇受到的摩擦阻力為解：快艇受到的摩擦阻力為fkv

10、由牛頓第二定律列出方程由牛頓第二定律列出方程dvkvmdt00vtvdvkdtvm分離變量并積分分離變量并積分可得可得0ktmvv e0ktmdxvv edt對對 積分積分, ,得得0(1)ktmmxvek例題例題3 3 質量為質量為m 的子彈以速度的子彈以速度v0水平射入沙土中，水平射入沙土中，設子彈所受的阻力與速度反向，大小與速度成正設子彈所受的阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數為比，比例系數為k，忽略子彈的重力。求，忽略子彈的重力。求: :（1 1）子彈射入沙土后速度隨時間的函數關系；）子彈射入沙土后速度隨時間的函數關系；（2 2）子彈進入沙土的最大深度。）子彈進入沙土的最大深度

11、。voxoyvo解：忽略子彈的重力解：忽略子彈的重力, ,子彈將子彈將沿沿x軸運動，如圖所示。軸運動，如圖所示。dvfkvmdt 00vtvdvkdtvm積分：積分：0ktmvv e得得: :0000ktmmaxmvxvdtv edtkOyxv0例題例題4 4 一質量為一質量為m 的質點的質點t=0 0 時自坐標原點以時自坐標原點以初速初速 做平拋運動，運動中受到空氣阻做平拋運動，運動中受到空氣阻力力 ，求：，求：（1 1）t 時刻質點的速度；時刻質點的速度； （2 2）質點的運動方程。）質點的運動方程。00vv ifmkv amfgm解：任意時刻解：任意時刻t，對質點對質點m，有，有xxdv

12、mkvmdt水平方向水平方向積分積分 ，得，得00()xtvxvxdvk dtv0ktxvv e由由0ktxdxvv edt000 xtktdxv edt積分積分 ，得，得0(1)ktvxekyydvmgmkvmdt豎直方向豎直方向積分積分 ，得，得00()/ytvyydvk dtvg k(1)ktygvek由由(1)ktydygvedtk積分積分 ，得，得00(1)ytktgdyedtk2(1)ktggytekk例題例題6 6 一長度為一長度為l，質量為，質量為m的繩索，一端系在的繩索，一端系在軸上，另一端固結一質量為軸上，另一端固結一質量為M 的物體，它們在的物體，它們在光滑水平面上以均勻

13、的角速度光滑水平面上以均勻的角速度 轉動，求轉動，求: :繩中繩中距離軸心為距離軸心為r 處的張力處的張力T。oMlm 此題中繩的質量不能忽略，繩中各部分的速度、加速此題中繩的質量不能忽略，繩中各部分的速度、加速度都不相同，度都不相同，整個繩不能看成一個質點！整個繩不能看成一個質點！在繩的不同在繩的不同位置處，張力也不會相同。位置處，張力也不會相同。解：解：取距軸心取距軸心 r 處，處，長度為長度為 d r 的一段質的一段質元，其質量為元，其質量為oMlm drmdmdrldranTT+dTr 設設 r 處處的張力為的張力為T ，r + d r 處處的張力為的張力為T + dT ；由牛頓定律；

14、由牛頓定律 2TTdTdmr2d rdTmrl 積分：積分：2lTlTrd rd Tmrl可得：可得：lrlmlMT22222 2lTMl對繩子末端的小球：對繩子末端的小球：1.1.量綱量綱正確正確2.2.特例特例: : r = l 時，時，T = M 2l 正確正確 r 0 0 時，時， T = M 2l+ m 2l /2 ( (最大最大) )討論討論:例題例題5 5 質量為質量為m的小球在豎直平面內做圓周運動，的小球在豎直平面內做圓周運動，經過最低點的速度為經過最低點的速度為v0 0 ，繩長為，繩長為l, ,不計空氣阻不計空氣阻力及輕繩的形變力及輕繩的形變，求小球在任意位置（和豎直求小球在

15、任意位置（和豎直方向夾角為方向夾角為 ）的速率繩中張力。）的速率繩中張力。OmgTma解：任意位置小球解：任意位置小球m受力如圖受力如圖,有有OTmg202(cos1)vvgl sin dvmgmamdt切向切向sindvdv dgdtddt即即00(sin )vvvdvgdl積分積分20(3 cos2 )vTmggl法向法向2cosnvTmgmaml例題例題7 7 圖中圖中A為一固定于光滑水平桌面半圓形為一固定于光滑水平桌面半圓形軌道，質量為軌道，質量為m 物塊以物塊以 從從A點射入點射入, ,它與軌道間它與軌道間摩擦系數為摩擦系數為 ，求，求物塊從物塊從點滑出的速度。點滑出的速度。0vAB

16、0v解解: :選取自然坐標選取自然坐標, , 分析物塊在水平面內的受力分析物塊在水平面內的受力RvmNFn2NfdtdvmFAB0v即：即：2dvdv dsdvvvdtds dtdsR 00vRvdvdsvR積分：積分：vfNevv0可得：可得：2-3 2-3 動量定理與動量守恒定律動量定理與動量守恒定律一、沖量與動量一、沖量與動量1.1.定義：一段時間內力定義：一段時間內力 的沖量為的沖量為F21ttIFdt* *平均作用力：平均作用力：2121ttFdtFttFFto t2.2.動量：動量：pmv* *質點的動量：質點的動量：11nniiiiippmv* *質點系的動量：質點系的動量：二、

17、動量定理二、動量定理* *微分形式：微分形式：22112121tptpFdtdpppmvmv()Fdtdpd mv或：或：* *積分形式：積分形式：()dpd mvFdtdt1.1.單個質點的動量定理：單個質點的動量定理：2121txxxxtIF dtmvmv2121tyyyytIF dtmvmv2121tzzzztIF dtmvmvIp * *動量定理的沖量表示：動量定理的沖量表示：22112121tptpFdtdpppmvmv例題例題8 8 長度為長度為L的勻質柔繩的勻質柔繩, ,單位長度的質量為單位長度的質量為, ,上端懸掛上端懸掛, ,下端剛好和地面接觸下端剛好和地面接觸, ,現令繩自

18、由下落現令繩自由下落, ,求當繩落到地上的長度為求當繩落到地上的長度為l 時繩作用于地面的力。時繩作用于地面的力。y yL-L-lL Ly yL- L- lL L解：取豎直向下為正，當繩下落解：取豎直向下為正，當繩下落長度長度l 時時2vgl 在其后的一小段時間在其后的一小段時間dt內內,對對 的繩子的繩子,忽略重力忽略重力作用，由動量定理可知作用，由動量定理可知dmdlvdt0Fdtdm v22gdmFvvldt ()3gNmdm gFl例題例題9 9 有一條單位長度質量為有一條單位長度質量為的勻質柔繩，的勻質柔繩，開始時盤繞在光滑的水平桌面上端懸掛，試求開始時盤繞在光滑的水平桌面上端懸掛，

19、試求（1 1）若以恒定的加速度）若以恒定的加速度a 向上提起，當提起的向上提起，當提起的高度為高度為y 時作用于繩端的力；（時作用于繩端的力；（2 2）若以恒定的）若以恒定的速度速度v向上提起，當提起的高度為向上提起，當提起的高度為y 時作用于繩時作用于繩端的力。端的力。Fya 解解: :( (1)1)取豎直向上為正，當繩加速取豎直向上為正，當繩加速上升高度上升高度y 時時v2ay其后一小段時間其后一小段時間dtdt內內,被提起的繩被提起的繩子將增加子將增加 ，對提起，對提起的繩子，由動量定理的繩子，由動量定理dmdyvdt()d mvdmdvFygvydtdtdtg 3FyyaFya2()d

20、 mvdmFygvvdtdt2gFyvFyv(2)(2)當繩勻速上升高度當繩勻速上升高度y y時時 ，其，其后一小段時間后一小段時間dtdt內內,被提起的繩子將被提起的繩子將增加增加 ，對提起的繩子，對提起的繩子，由動量定理由動量定理dmdyvdtmy二、質點系動量定理二、質點系動量定理* *質點系：有相互作用的若干質點系：有相互作用的若干物體組成的整體。物體組成的整體。* *系統和外界系統和外界m12F21F1Fm212F1.1.質點系：質點系：* *內力和外力內力和外力對質點對質點m222122()()FFdtd m v對整個系統對整個系統: :iiPp對質點系中的質點對質點系中的質點m1

21、1121 1()()FFdtd m v2.2.質點系動量定理：質點系動量定理：m12F21F1Fm212F()(iijiiij idpdpFF dt外）iidpF dtF dt外外0ijij iF對內力：對內力：可見：可見：只有外力的沖量改變質點系的動量只有外力的沖量改變質點系的動量；系統；系統內各質點間相互作用內力的沖量對系統的總動量內各質點間相互作用內力的沖量對系統的總動量變化沒有貢獻，但可以改變某一質點的動量，實變化沒有貢獻，但可以改變某一質點的動量，實現動量在系統內部質點間傳遞。現動量在系統內部質點間傳遞。m12F21F1Fm212F-微分形式微分形式()(iijiiij idpdpF

22、F dt外）00tiiiitiiF dtmvmv外0iiIpp或：或：-積分形式積分形式iidpF dtF dt外外-微分形式微分形式三、質點系動量守恒定律三、質點系動量守恒定律 對質點系統而言，外力的矢量和為對質點系統而言，外力的矢量和為0 0時，該系統時，該系統的總動量守恒。的總動量守恒。0iiFF外外iiimv常矢量()0iiidmv即：即：iidpF dtF dt外外分量式：分量式：0,xixxixiiFFpp則常量0,yiyyiyiiFFpp則常量0,zizziziiFFpp則常量* *當當 時時, ,質點所受的有限外力可忽略質點所受的有限外力可忽略不計，質點系的動量守恒。不計，質點

23、系的動量守恒。FF外內基本步驟：基本步驟：分析受力情況，求出合外力；分析受力情況，求出合外力；建立坐標系，確定系統的初末狀態的動量（在建立坐標系，確定系統的初末狀態的動量（在慣性參考系慣性參考系上）；上）；根據動量定理或動量守恒定律列方程并求解。根據動量定理或動量守恒定律列方程并求解。確定研究對象（系統）；確定研究對象（系統）；例題例題10 10 一長為一長為l的質量為的的質量為的m小車，靜止在光滑小車，靜止在光滑的水平路軌上，今有一質量為的水平路軌上，今有一質量為M的人從小車的一的人從小車的一頭走向另一頭。求人和小車相對于地面的位移。頭走向另一頭。求人和小車相對于地面的位移。解：人和小車組成

24、的系統在水平方向不受力，解：人和小車組成的系統在水平方向不受力，系統動量守恒。系統動量守恒。對地面參考系，任意時刻有對地面參考系，任意時刻有0()mvMv兩邊對時間積分兩邊對時間積分0mvdtMv dt0msMs即：即：且有且有ssl聯立可得聯立可得, Mmsl slm Mm MF1.1.恒力的功恒力的功mr功是標量，定義為功是標量，定義為cosAFrFr0,02A,02A單位：焦耳（單位：焦耳（ ）mNJ11一、功和功率一、功和功率2-4 2-4 能量守恒能量守恒功的正負代表能量流向功的正負代表能量流向,02A2.2.變力的功變力的功將曲線軌道無限細分，并近似把每小段看成直將曲線軌道無限細分

25、，并近似把每小段看成直線段，每小段上的作用力視為恒力。線段，每小段上的作用力視為恒力。dAF dr( )ba lAF dr( )cosba lFdrFrdrabO功的大小與路徑有關，是一個功的大小與路徑有關，是一個過程量過程量。3.3.合力的功合力的功baAF drbababanrdFrdFrdF21nAAA2112()bnaFFFdr可知：合力的功等于各分力所做的可知：合力的功等于各分力所做的代數和代數和。* *在直角坐標系中在直角坐標系中: :baAF dr1() ()bxyzaF iF jF kdxidyjdzk()bxyzaF dx F dyF dz例題例題11 11 一質點在力一質點

26、在力 作用下由原點運作用下由原點運動到動到 。求：該力所做的功。求：該力所做的功。76Fij345rijk(ddd )xyzAF xF yF z34007d6d045xyJ 解：解：例題例題12 12 從從1010m深的井中提水深的井中提水,桶的質量為桶的質量為1 1kg，開始時桶中裝有開始時桶中裝有1010kg的水；由于水桶漏水，每的水；由于水桶漏水，每升高升高1 1m要漏去要漏去0.20.2kg的水。求：將桶勻速地提的水。求：將桶勻速地提到井口，人到井口，人所做的功。所做的功。100d(110.2 ) dAFrh g h100980gJ解：由于桶勻速運動，人解：由于桶勻速運動，人所做的功即

27、拉力克服所做的功即拉力克服重力所做的功重力所做的功例題例題13 13 質點在力質點在力 作用下沿圖示路徑作用下沿圖示路徑運動。則：力運動。則：力 在路徑在路徑oa上的功上的功Aoa= = ，在路徑在路徑ab上的功上的功Aab= = ，在路徑在路徑ob上的功上的功Aob= = ，在路徑在路徑ocbo上的功上的功Aocbo= = 。23FyixjFocb(3,23,2)ayx23xyFyixjF iF jF力力 在路徑在路徑oa上的功上的功在路徑在路徑ab上的功上的功aoaoAF dr20aoxj dxi0boaxyaAF dx F dy或：209018babxyaAF dx F dydyJ oc

28、b(3,23,2)ayx在路徑在路徑ob上的功上的功在路徑在路徑ocbo上的功上的功bobxyoAF dx F dy23bbooydxxdy2300322323ydyxdx15JccoocboobbAF drF drF dr3J ocb(3,23,2)ayx示功圖示功圖cosFSaSbSis2.2.功率功率力在單位時間內所做的功，表示作功的快慢。力在單位時間內所做的功，表示作功的快慢。00limlimttAPPt dtdAdrFF vdt表示運動物體具有的作功本領。表示運動物體具有的作功本領。表達式表達式212kEmv單位：焦耳單位：焦耳 ( J )1.1.動能動能三、三、 動能定理動能定理*

29、 *合外力對質點所做的功等于質點動能的增加合外力對質點所做的功等于質點動能的增加2.2.質點的動能定理質點的動能定理dAF drdvmdrdtmv dv2v vv 2dv vv dvvdv bbaaAdAmv dv-動能定理動能定理221122bbaamv dvmvmv1r2.2.質點系質點系的動能定理的動能定理1A1B2A2B2r1dr2dr12f21f兩質點兩質點 和和 組成的系統組成的系統1m2m始點始點末點末點1F2F1111112211121111122BBBAAAF drfdrm vm v2222222222212221122BBBAAAF drfdrm vm v121212121

30、212112212121222222121111()2222BBBBAAAABBAAF drF drfdrfdrmvm vmvm vkAkBEEAA內外* *內容表述：一個質點系總動能的增量，等于作內容表述：一個質點系總動能的增量，等于作用于質點系的全部內力和外力所做的功。用于質點系的全部內力和外力所做的功。eikBkAAAEE* *內力改變系統的動能內力改變系統的動能121212dAfdrfdr內121212120fdrdrfd rr1221ff 解題過程：解題過程：1.1.確定研究對象；確定研究對象；2.2.受力分析及各力做功情況；受力分析及各力做功情況；3.3.明確過程始末狀態和對應的動

31、能；明確過程始末狀態和對應的動能；4.4.列出動能定理及約束條件；列出動能定理及約束條件；5.5.解方程，求結果。解方程，求結果。例題例題15 15 設木板對釘子的阻力與進入木板的深度設木板對釘子的阻力與進入木板的深度成正比。第一次用鐵錘敲擊鐵釘，釘子能進入木成正比。第一次用鐵錘敲擊鐵釘，釘子能進入木板板1 1cm ，第二次同樣敲擊鐵釘，此次釘子進入木，第二次同樣敲擊鐵釘，此次釘子進入木板的深度是多少？板的深度是多少？解：兩次同樣敲擊鐵釘，可使它獲得相同的動能解：兩次同樣敲擊鐵釘，可使它獲得相同的動能kAE 則：則：0()d()ddxdkxxkxx( 2 1)( 2 1)xdcm 例題例題16

32、 16 一鏈條總長為一鏈條總長為l ，質量為，質量為m，放在桌面，放在桌面上，并使其下垂，下垂一端的長度為上，并使其下垂，下垂一端的長度為a，設鏈條，設鏈條與桌面之間的滑動摩擦系數為與桌面之間的滑動摩擦系數為，令鏈條由靜止，令鏈條由靜止開始運動，求：（開始運動，求：（1 1）到鏈條離開桌面的過程中，）到鏈條離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條作了多少功？（摩擦力對鏈條作了多少功？（2 2）鏈條離開桌面）鏈條離開桌面時的速率是多少？時的速率是多少？ al-axl-x解解：（：（1 1）設某一時刻垂在桌面設某一時刻垂在桌面下的鏈條長度為下的鏈條長度為x, , 留在桌面上留在桌面上的鏈條受到的摩擦力為的鏈

33、條受到的摩擦力為 ()fmg lx l作功為作功為 2()d()()2llfaamgmgAfxlx dxlall （2 2）以鏈條為對象，下落過程中重力也作功）以鏈條為對象，下落過程中重力也作功22()d2llpaamgmg laAp xxdxll由質點的動能定理由質點的動能定理2201122pfAAmvmv222()()gvlalal解得解得: : 三、保守力的功三、保守力的功1 1. .重力做功重力做功oxyzbaFmgk baAF dr* *重力做功與路徑無關，僅由始末位置決定。重力做功與路徑無關，僅由始末位置決定。即：質點下降，重力做正功；即：質點下降，重力做正功； 質點上升，重力做負

34、功。質點上升，重力做負功。() ()bamgkdxidyjdzk()()babamg dzmg zzoabarbrFrd2.2.萬有引力的功萬有引力的功3MmFGrr baAFdr3baMmGrdrr 2barrMmGdrr)11(abrrGMmorrdrrddr3 3、彈性力做功、彈性力做功x1x2x始點始點末點末點平衡位置平衡位置Fkxi 21xxAF dr此外：彈力做功不僅適用于直線運動，而且此外：彈力做功不僅適用于直線運動，而且適用任意曲線的運動。適用任意曲線的運動。可見：可見：從從O O出發出發，彈簧拉伸，彈力做，彈簧拉伸，彈力做負負功；功；彈簧壓縮，彈力做彈簧壓縮，彈力做負負功。功

35、。21221211()22xxkxidxikxkx 4 4、保守力和非保守力、保守力和非保守力)(21zzmgA重力)11(12rrGmMA萬有引力21222121kxkxA彈性力0)(dzmgA重力012drrGmMA萬有引力0)(dxkxA彈性力保守力作功特點：與路徑無關。保守力作功特點：與路徑無關。或：沿空間任意或：沿空間任意閉合路徑閉合路徑走一圈，作用在物體走一圈，作用在物體上的保守力對物體所做的功為零。上的保守力對物體所做的功為零。0AFdr保四、勢能四、勢能1.1.勢能和保守力作功的關系：勢能和保守力作功的關系： 保守力（沿任意路徑）的功等于勢能增量保守力（沿任意路徑）的功等于勢能增量的負值；即保守力作正功，勢能減少。的負值；即保守力作正功，勢能減少。abbPaAF drE保PdAF drdEbPaPbaAF drEE保或：或：2.2.幾種勢能：幾種勢能：重力勢能重力勢能（取某處，如地面（取某處，如地面EP=0=0）pEmgz萬有引力勢能萬有引力勢能( (取無窮遠處取無窮遠處EP=0=0）1pEGMmr 彈性勢能（彈性勢能（取彈簧原長取彈簧原