1、117.2 勾股定理的逆定理(1)【教學(xué)目標(biāo)】1.知識(shí)與技能(1) 理解勾股定理的逆定理。(2) 了解逆命題的概念，知道原命題為真命題，它的逆命題不一定為真命題。2.過(guò)程與方法經(jīng)歷“觀察-測(cè)量-猜想-論證”的定理探究的過(guò)程，體會(huì)“構(gòu)造法”證明數(shù)學(xué)命題的基本思想。3.情感態(tài)度和價(jià)值觀通過(guò)師生共同活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中培養(yǎng)良好的情感，合作交流，主動(dòng)參與的意識(shí)。【教學(xué)重點(diǎn)】重點(diǎn)：探索并證明勾股定理的逆定理。難點(diǎn)：應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題。【教學(xué)方法】自學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法。【教學(xué)過(guò)程】一、情景導(dǎo)入【過(guò)渡】我們大家都認(rèn)識(shí)直角三角形吧。我們知道，直角三角形是有一個(gè)角為直角的。根據(jù)直

2、角三 角形的定義呢，我們能夠簡(jiǎn)單的判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形。(學(xué)生回答如何判斷)【過(guò)渡】根據(jù)定義，主要就是看這個(gè)三角形有沒(méi)有一個(gè)角滿足90,有90的角則為直角三角形。但是如果遇到?jīng)]辦法準(zhǔn)確判斷角的大小的時(shí)候，我們又該通過(guò)什么樣的方法來(lái)判斷呢？能否結(jié)合勾股定理的 知識(shí)，從邊長(zhǎng)的角度入手呢？今天我們就來(lái)探究一下，如果將勾股定理反過(guò)來(lái)使用，是否同樣成立呢？二、新課教學(xué)1勾股定理的逆定理【過(guò)渡】據(jù)說(shuō)，古埃及人曾用下面的方法畫(huà)直角：把一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后以3個(gè)結(jié)間距，4個(gè)結(jié)間距、5個(gè)結(jié)間距的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角。你認(rèn)為 結(jié)論正確嗎？【過(guò)渡】由實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)

3、化，這個(gè)問(wèn)題就變?yōu)槿绻切蔚娜呴L(zhǎng)為3、4、5,它們滿足32+42=52，那么這個(gè)三角形就是直角三角形。那么這個(gè)結(jié)論到底正確不正確呢？我們來(lái)自己動(dòng)手，畫(huà)出三邊長(zhǎng)為以下兩組2數(shù)據(jù)的三角形吧。2.5,6,6.5;6,8,10。【過(guò)渡】首先看這兩組數(shù)據(jù)，大家思考一下，這兩組數(shù)據(jù)都滿足a2+b2=c2嗎？(學(xué)生回答)【過(guò)渡】計(jì)算表明，這兩組數(shù)據(jù)均是滿足這樣一個(gè)等式的。現(xiàn)在，大家就將其作為三角形的三邊成， 來(lái)畫(huà)一下三角形吧。(學(xué)生動(dòng)手)【過(guò)渡】我看大家都已經(jīng)畫(huà)完了，大家用眼睛看過(guò)去，這兩個(gè)三角形像是直角三角形嗎？當(dāng)然，在數(shù) 學(xué)上，我們需要保持嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度。大家再動(dòng)手，用量角器分別測(cè)量上述各三角形的最大角

4、的度數(shù)。【過(guò)渡】從動(dòng)手結(jié)果上來(lái)看，這兩個(gè)三角形同樣是直角三角形。因此，我們就有如下一個(gè)猜想：命題2:如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2那么這個(gè)三角形是直角三角形。【過(guò)渡】大家能夠證明這個(gè)結(jié)論嗎？課件展示證明過(guò)程。【過(guò)渡】通過(guò)剛剛的證明，我們知道這個(gè)結(jié)論是正確的，因此，我們把它稱(chēng)之為勾股定理的逆定理。 我們通常用這個(gè)定律作為直角三角形的判定定理。【練習(xí)】判斷下列數(shù)據(jù)中能否作為直角三角形的三邊長(zhǎng)？A.1、1、 一 ；B. 5、12、13；C. 3、5、7；D. 6、8、10在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的 平方和與最大邊的平方之

5、間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷。【過(guò)渡】從剛剛的命題中，我們能夠看出，這個(gè)命題與勾股定理是完全相反的，在數(shù)學(xué)中，我們就稱(chēng) 這樣的兩個(gè)命題為互逆命題。如果兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，那么這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。【過(guò)渡】那么我們?cè)鯓拥玫揭粋€(gè)命題的逆命題？我們以勾股定理為例。不難發(fā)現(xiàn)，勾股定理的題設(shè)是 直角三角形，結(jié)論是a2+b2=c2,而其逆定理卻剛好相反， 它的題設(shè)是a2+b2=c2,結(jié)論則為直角三角形。 我們可以得到這樣一種方法：把一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論交換一下，即可得到它的逆命題。【練習(xí)】說(shuō)出下列命題的逆命題。這些命題的逆命題是真命題嗎？(1)

6、 如果ab,那么a2b2;(2) 如果a2=b2，那么a=b;(3) 等腰三角形的兩底角相等兩端點(diǎn)的距離相等。【過(guò)渡】勾股定理的逆定理主要用來(lái)判定是否為直角三角形，我們通過(guò)例題來(lái)感受一下吧。因此,3課件展示課本例1、2.【典題精講】例1：判斷由線段a,b，c組成的三角形是不是直角三角形？(1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14分析：根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩條較少邊長(zhǎng)的平方和是否等 于最大邊長(zhǎng)的平方解：(1)最大邊為17 152+82=225+64 =289,172=289 152+82=17 2,以15, 8, 17為邊長(zhǎng)

7、的三角形是直角三角形最大邊為15/132142=169+196=365,152=225,132142 152以13, 15, 14為邊長(zhǎng)的三角形不是直角三角形例2:4.如圖，在厶ABC中，ADL BC于點(diǎn)D,若AD=4, BD=2 CD=8那么ABC是直角三角形嗎？為什么?【答案】是，理由見(jiàn)解析.【解析】ABC是直角三角形，理由如下：/ AD丄BC, AD=4, BD=2AB2=AE2+BD2=20,又ADLBC CD=8 AD=4,222AC=CD+AD=80,/ BC=CD+BD=1,0BC=100,AC?+A=100=BC,4ABC是直角三角形.1例3:在正方形ABCD中,E是BC的中點(diǎn)

8、，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，且CF CD，試判斷厶AEF是否是直角三角4形？試說(shuō)明理由.DF C1B【答案】AEF是是直角三角形【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,1 E是BC的中點(diǎn)，CF CD,4CF=a, DF=3a, CE=BE=2a.由勾股定理得：AF2=AC5+DF2=16a2+9a2=25a2,Eh=cE+cF=4a2+a2=5a2,A=AB?+BE2=16a2+4a2=20a2,AF=EF+AE, AEF為直角三角形.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,下列條件：/A=ZB-ZC;/A：ZB：ZC=3:4:5;a=(b+c)(bc):a:b:c=5：12：13,其中能判定ABC是直角

9、三角形的有()A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【答案】C【解析】中，/A=ZBZC,ZA+ZB+ZC=180,ZB=90, ABC是直角三角形；中，由ZA:ZB:ZC=3:4:5得厶ABC中最大角、52 2 2 2 2 2-C =18075，則ABC為銳角三角形；中，a=(b+c)(bc)=bc，即a+c=b，所以12. _ 2 2 2ABC是直角三角形；中，因?yàn)閍:b:c=5:12:13，所以a+b=c,故厶ABC是直角三角形，故選C.52.下列定理中，沒(méi)有逆定理的是（）A.直角三角形的兩銳角互余B.若三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a+b=c，則該三角形是直角三角形C.全等三角形的對(duì)應(yīng)角

10、相等D.互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0【答案】C【解析】A的逆命題是：兩銳角互余的三角形是直角三角形，是真命題.B的逆命題是：若三角形是直角三角形，則三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,是真命題.D的逆命題是：若兩數(shù)之和為0，則這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，是真命題.C中對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等，所以C的逆命題是假命題，則它沒(méi)有逆定理.3.若一塊三角形鐵皮余料的三邊長(zhǎng)為12cm, 16cm 20cm,則這塊三角形鐵皮余料的面積為 _ .【答案】96鬲【解析】由122+162=202，知此三角形是直角三角形，且長(zhǎng)為20cm的邊是斜邊，所以此三角形的面積為1212 16 =96(cm).24.已知兩條線段的長(zhǎng)為3cm和4cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段的長(zhǎng)為時(shí)，這三條線段能組成一個(gè)直角三角形。【答案】5或-【解析】由于“兩邊長(zhǎng)分別為3和5,要使這個(gè)三角形