1、 優(yōu)質(zhì)教育 回報(bào)家鄉(xiāng)金師教育內(nèi)部講義 金師教育高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)提高篇 金師教育理科教研組編制 愛(ài)護(hù)環(huán)境，從我做起，提倡使用電子講義重慶金師（金東方）教育：重慶金師教育總部在綦江，是一家?guī)熧Y雄厚，設(shè)施齊全，理念先進(jìn)的考試信息咨詢(xún)和學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)機(jī)構(gòu)。創(chuàng)始人以“優(yōu)質(zhì)教育、回報(bào)家鄉(xiāng)”為企業(yè)宗旨，得到綦江商界和教育界的大力支持。凝聚全國(guó)各地的優(yōu)秀人才，創(chuàng)建專(zhuān)業(yè)和權(quán)威的管理模式和指導(dǎo)體系。目前開(kāi)設(shè)小學(xué)作文，小學(xué)數(shù)學(xué)，小學(xué)英語(yǔ)，初高中同步，中高考各科學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)課程。金師教育以小升初、中考、高考名師聯(lián)合指導(dǎo)為基礎(chǔ)，他們參加各類(lèi)考試和比賽的評(píng)比工作，熟知教學(xué)知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)、易考點(diǎn)。了解學(xué)習(xí)動(dòng)

2、態(tài)，諳熟命題規(guī)律，準(zhǔn)確把握考試動(dòng)向，四兩撥千斤。“幫助學(xué)生，提高分?jǐn)?shù)，夢(mèng)圓名校”！金師教育個(gè)性化一對(duì)一學(xué)習(xí)中心以人為本，凝心聚力！ “課程規(guī)劃師，學(xué)習(xí)管理師，學(xué)科老師，學(xué)習(xí)助理，客服顧問(wèn)，心理輔導(dǎo)專(zhuān)家”六位一體的模式是最高效的學(xué)習(xí)模式。愛(ài)，賦予人們學(xué)習(xí)的靈感。強(qiáng)烈推薦每一位家長(zhǎng)和學(xué)員選擇一對(duì)一學(xué)習(xí)模式，成績(jī)提升，立竿見(jiàn)影。個(gè)性化學(xué)習(xí)簡(jiǎn)介：金師教育個(gè)性化學(xué)習(xí)中心根據(jù)學(xué)生性格、學(xué)習(xí)程度、學(xué)科薄弱點(diǎn)的不同有的放矢地進(jìn)行知識(shí)、方法、技巧等全方位輔導(dǎo)，旨在全面提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科成績(jī)，以及通過(guò)優(yōu)秀教師的身教潛移默化地夯實(shí)學(xué)生成長(zhǎng)中的人格。選擇個(gè)性化1對(duì)1學(xué)習(xí)的學(xué)員：1.頭腦聰明， 但自制力

3、差。2.學(xué)校學(xué)習(xí)，跟不上進(jìn)度。3.欠債太多， 但面臨考試。4.努力用功， 但缺乏方法。5.轉(zhuǎn)學(xué)等外因，課程銜接不上。6.屢考屢敗型，學(xué)習(xí)信心不足。7.藝術(shù)類(lèi)考生，文化課需急訓(xùn)。8.成績(jī)優(yōu)異型，準(zhǔn)備沖擊名校。地址1：文龍醫(yī)院對(duì)面正宏花園2樓（綦江城東路55號(hào)） 地址2：綦江川劇團(tuán)建設(shè)銀行背后（藝術(shù)文化幼兒園旁）2012年金師教育函數(shù)專(zhuān)題之抽象函數(shù)篇【綜合訓(xùn)練】1. 定義在R上的函數(shù)y=f(x)，f(0)0，當(dāng)x0時(shí)，f(x)1，且對(duì)任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求證：f(0)=1；（2） 求證：對(duì)任意的xR，恒有f(x)0；（3）證明：f(x)是R上的增函數(shù)；（4）若

4、f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范圍。2. 已知函數(shù),在R上有定義，對(duì)任意的有 且（1）求證：為奇函數(shù)（2）若， 求的值3. 已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有且當(dāng)x0，(1)判斷的奇偶性；(2)求在區(qū)間3,3上的最大值；(3)解關(guān)于的不等式4. 已知f(x)在(1，1)上有定義，f()1，且滿(mǎn)足x，y(1，1)有f(x)f(y)f()證明：f(x)在(1，1)上為奇函數(shù)；對(duì)數(shù)列x1，xn1，求f(xn);求證5.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋彝瑫r(shí)滿(mǎn)足：(1)對(duì)任意，總有；(2)(3)若且，則有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.求證：. 6. 對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果同

5、時(shí)滿(mǎn)足以下三條：對(duì)任意的，總有；若，都有成立，則稱(chēng)函數(shù)為理想函數(shù)(1) 若函數(shù)為理想函數(shù)，求的值；(2)判斷函數(shù)是否為理想函數(shù)，并予以證明；(3) 若函數(shù)為理想函數(shù)，假定，使得，且，求證7.已知定義在R上的單調(diào)函數(shù),存在實(shí)數(shù),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù),總有恒成立。()求的值；()若,且對(duì)任意正整數(shù),有, ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； ()若數(shù)列bn滿(mǎn)足，將數(shù)列bn的項(xiàng)重新組合成新數(shù)列，具體法則如下：，求證：。8.設(shè)函數(shù)是定義域在上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)于任意正數(shù)有，已知.（1）求的值；（2）一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足：，其中是數(shù)列的前n項(xiàng)的和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）在（2）的條件下,是否存在正數(shù)使 對(duì)一切成立

6、？若存在,求出M的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.9. 設(shè)函數(shù)f（x）定義在R上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m、n，恒有，且當(dāng)x0時(shí)，0f（x）1。（1）求證：f（0）=1，且當(dāng)x1；（2）求證：f（x）在R上單調(diào)遞減；（3）設(shè)集合，若，求a的取值范圍。10.定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b都有f（a+b）+ f（ab）=2 f（a）f（b）成立，且。（1）求f（0）的值；（2）試判斷f（x）的奇偶性；（3）若存在常數(shù)c0使，試問(wèn)f（x）是否為周期函數(shù)？若是，指出它的一個(gè)周期；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。11.設(shè)定義在上的函數(shù)對(duì)于任意都有成立，且，當(dāng)時(shí)，。（1）判斷f(x)的奇偶性，并加以證明；（2）試問(wèn)：當(dāng)

7、-20032003時(shí)，是否有最值？如果有，求出最值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由；（3）解關(guān)于的不等式，其中.12.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：（1）值域?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，；（2）對(duì)于定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)，均滿(mǎn)足：試回答下列問(wèn)題：（）試求的值；（）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（）若函數(shù)存在反函數(shù)，求證：13.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槿wR，當(dāng)xbc1,且a、b、c成等差數(shù)列，求證：；（3）（本小題只理科做）若f(x) 單調(diào)遞增，且mn0時(shí)，有，求證：15. 設(shè)是定義域在上的奇函數(shù)，且其圖象上任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率均小于零.（l）求證在上是減函數(shù)；（ll）如果，的定義域的交集為空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（lll）證明若，則，存在公共的

8、定義域，并求這個(gè)公共的空義域.16.定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且當(dāng)x0時(shí)f(x)0恒成立.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(2)證明f(x)為減函數(shù)；若函數(shù)f(x)在-3，3）上總有f(x)6成立，試確定f(1)應(yīng)滿(mǎn)足的條件；17.己知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且滿(mǎn)足以下三條件：當(dāng)是定義域中的數(shù)時(shí)，有；f（a）1（a0，a是定義域中的一個(gè)數(shù)）；當(dāng)0x2a時(shí)，f（x）0。試問(wèn)：（1）f（x）的奇偶性如何？說(shuō)明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的單調(diào)性如何？說(shuō)明理由。參考答案1.解 （1）令a=b=0，則

9、f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1 （2）令a=x，b=-x則 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0時(shí)，f(x)10，當(dāng)x0，f(-x)0又x=0時(shí)，f(0)=10對(duì)任意xR，f(x)0 (3)任取x2x1，則f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函數(shù)（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上遞增由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 0x2時(shí)，4.()證明：令xy0，2f(0)f(0)，f(0)0令yx，則f(x)f(x)f(0)0f(x)f(x)0 f(x)f(x)f(

10、x)為奇函數(shù) ()解：f(x1)f()1，f(xn1)f()f()f(xn)f(xn)2f(xn)2即f(xn)是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列f(xn)2n1()解： 而 5.解：（I）令，由(3),則由對(duì)任意，總有 （II）任意且，則 (III) ，即。 故即原式成立。 6.解：（1）取可得又由條件，故（2）顯然在0，1滿(mǎn)足條件；-也滿(mǎn)足條件 若，則 ，即滿(mǎn)足條件， 故理想函數(shù) （3）由條件知，任給、0，1，當(dāng)時(shí)，由知0，1，若，則，前后矛盾；若，則，前后矛盾故 7.解：()令，得，令，得，由、得，又因?yàn)闉閱握{(diào)函數(shù)，()由（1）得，()由Cn的構(gòu)成法則可知，Cn應(yīng)等于bn中的n項(xiàng)之和，其第

11、一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為1+2+(n1)+1=+1，即這一項(xiàng)為2+11=n(n1)+1Cn=n(n1)+1+n(n1)+3+n(n1)+2n1=n2(n1)+=n3 當(dāng)時(shí)，解法2：8.解：（1），令，有，.再令，有， （2）,又是定義域上單調(diào)函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)， 由，得，化簡(jiǎn)，得，即，數(shù)列為等差數(shù)列. ，公差.，故. （3），令,而. ，數(shù)列為單調(diào)遞增函數(shù),由題意恒成立,則只需，, ，存在正數(shù)，使所給定的不等式恒成立，的取值范圍為.9.解：（1）令m=1，n=0，得f（1）= f（1）f（0）又當(dāng)x0時(shí)，0 f（x）1，所以f（0）=1設(shè)x0令m= x，n= x，則f（0）= f（x）f（x）所以

12、f（x）f（x）=1又0 f（x）0恒成立所以所以所以f（x2） f（x1），故f（x）在R上是單調(diào)遞減的。（3）由得：因?yàn)閒（x）在R上單調(diào)遞減所以，即A表示圓的內(nèi)部由f（axy+2）=1= f（0）得：axy+2=0所以B表示直線(xiàn)axy+2=0所以，所以直線(xiàn)與圓相切或相離，即解得：10.解：（1）令a=b=0則f（0）+ f（0）=2 f（0）f（0）所以2 f（0）f（0）1=0又因?yàn)椋詅（0）=1（2）令a=0，b=x，則f（x）+ f（x）=2 f（0）f（x）由f（0）=1可得f（x）= f（x）所以f（x）是R上的偶函數(shù)。（3）令，則因?yàn)樗詅（x+c）+ f（x）=0所以f

13、（x+c）= f（x）所以f（x+2c）= f（x+c）= f（x）= f（x）所以f（x）是以2c為周期的周期函數(shù)。11.分析與解：令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x，則f(0)=f(x)+f(x)，f(x)= f(x)，f(x)為奇函數(shù)設(shè)3x1x23，y=x1，x=x2則f(x2x1)=f(x2)+f(x1)=f(x2)f(x1)，因?yàn)閤0時(shí)，f(x)0，故f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)0。f(x2)f(x1)、f(x)在區(qū)間2003、2003上單調(diào)遞減x=2003時(shí)，f(x)有最大值f(2003)=f(2003)=f(2002+1)=f(2002)+f(1)=f(2001

14、)+f(1)+f(1)=2003f(1)=4006。x=2003時(shí)，f(x)有最小值為f(2003)= 4006。由原不等式，得f(bx2) f(b2x)f(x) f(b)。即f(bx2)+f(b2x)2f(x)+f(b)f(bx2b2x)2 f(xb)，即fbx(xb)f(xb)+f(xb)fbx(xb)f2 f(xb)由f(x)在xR上單調(diào)遞減，所以bx(xb)2(xb)，(xb)(bx2) 0b22, b或b當(dāng)b時(shí)，b，不等式的解集為當(dāng)b時(shí)，b，不等式的解集為當(dāng)b=時(shí)，不等式的解集為當(dāng)b=時(shí)，不等式解集為12.分析與解：（）在中，令，則有即：也即：由于函數(shù)的值域?yàn)椋裕裕ǎ┖瘮?shù)的單

15、調(diào)性必然涉及到，于是，由已知，我們可以聯(lián)想到：是否有？（）這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是：是否成立？為此，我們首先考慮函數(shù)的奇偶性，也即的關(guān)系由于，所以，在中，令，得所以，函數(shù)為奇函數(shù)故（）式成立所以，任取，且，則，故且所以，所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞減（）由于函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)必存在反函數(shù)，由原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系可知：也為奇函數(shù)；在上單調(diào)遞減；且當(dāng)時(shí)，為了證明本題，需要考慮的關(guān)系式在（）式的兩端，同時(shí)用作用，得：，令，則，則上式可改寫(xiě)為：不難驗(yàn)證：對(duì)于任意的，上式都成立（根據(jù)一一對(duì)應(yīng)）這樣，我們就得到了的關(guān)系式這個(gè)式子給我們以提示：即可以將寫(xiě)成的形式，則可通過(guò)裂項(xiàng)相消的方法化簡(jiǎn)求證式的左端事實(shí)上，

16、由于，所以，所以，點(diǎn)評(píng)：一般來(lái)說(shuō)，涉及函數(shù)奇偶性的問(wèn)題，首先應(yīng)該確定的值13.解析：（）令，得，由題意知，所以，故 當(dāng)時(shí)，進(jìn)而得 設(shè)且，則，即，所以是R上的減函數(shù) （）由得 ，所以因?yàn)槭荝上的減函數(shù)，所以，即， 進(jìn)而，所以是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列所以， 所以（）由對(duì)一切nN*均成立知對(duì)一切nN*均成立 設(shè)，知且 又故為關(guān)于n的單調(diào)增函數(shù)，所以，k的最大值為14.解：(1)取x=1,q=2,有若存在另一個(gè)實(shí)根，使得（2），則0，又a+c=2b,ac-b=即acb(3)又令m=b,n=,b且q則f(m)+f(n)=(qf(b)=f(mn)=0且即4m=,由0n1得，15.解：（1）奇函數(shù)的

17、圖像上任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率均為負(fù) 對(duì)于任意且有從而與異號(hào)在上是減函數(shù)（2） 的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?上述兩個(gè)定義域的交集為空集 則有： 或解得：或故c的取值范圍為或（3） 恒成立 由(2)知：當(dāng)時(shí) 當(dāng)或時(shí)且 此時(shí)的交集為當(dāng) 且 此時(shí)的交集為故時(shí)，存在公共定義域，且當(dāng)或時(shí)，公共定義域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，公共定義域?yàn)?16.解:（1）由已知對(duì)于任意xR，yR，f（x+y）=f（x）+ f（y）恒成立令x=y=0，得f（0+0）= f（0）+ f（0），f（0）=0令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0對(duì)于任意x，都有f(-x)= - f(x)f(x)是奇函數(shù).（2）設(shè)任意x1，x2R且x1x

18、2，則x2-x10，由已知f（x2-x1）0（1）又f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f（x2）- f（x1）（2）由（1）（2）得f(x1)f(x2),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知f(x0在(-，+)上是減函數(shù).f(x)在-3，3上的最大值為f(-3).要使f(x)6恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(-3)6，又f（-3）= - f（3）= - f（2+1）=- f（2）+ f（1）= - f（1）+ f（1）+ f（1）= -3 f（1），f（1）-2.（3） f（ax2）- f（x） f（a2x）- f（a）f（ax2）- f（a2x）nf（x）- f（a）f（ax2-a2x）nf（x-a）（10分）由已知得：fn（x-a）=nf（x-a）f（ax2-a2x）fn（x-a）f（x）在（-，+）上是減函數(shù)ax2-a2xn（x-a）.即（x-a）（ax-n）0，a0，（x-a）（x-）0，（11分）討論：（1）當(dāng)a0，即a-時(shí)，原不等式解集為x | x或xa；（2）當(dāng)a=0即a=-時(shí)，原不等式的解集為；（3）當(dāng)a0時(shí)，即-a0時(shí)，原不等式的解集為x | xa或x17.解：（1）f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且是定義域中的數(shù)時(shí)有，在定義域中。