1、第四章第四章隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征第一節第一節 數學期望數學期望第二節第二節 方差方差第三節第三節 協方差與相關系數協方差與相關系數第四節第四節 矩、協方差矩陣矩、協方差矩陣本章主要內容 在前面的課程中，我們討論了隨機變量在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的概率分的概率分布，那么布，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了. 然而，在實際問題中，概率分布一般然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的是較難確定的. 而在一些實際應用中，人而在一些實際應用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質，們并不需要知

2、道隨機變量的一切概率性質，只要知道它的某些數字特征就夠了只要知道它的某些數字特征就夠了. 因此，在對隨機變量的研究中，確定因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數字特征是重要的某些數字特征是重要的 .我們先介紹隨機變量的數學期望我們先介紹隨機變量的數學期望.在這些數字特征中，最常用的是在這些數字特征中，最常用的是期望期望和和方差方差 分賭本問題(產生背景) A, B 兩人賭技相同, 各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝, 取得全部 200 元.由于出現意外情況 ,在 A 勝 2 局 B 勝1 局時,不得不終止賭博, 如果要分賭金,該如何分配才算公平?A 勝 2 局 B 勝 1 局前三局:后二局

3、:把已賭過的三局(A 勝2局B 勝1局)與上述結果相結合,即 A、B 賭完五局,A AA B B AB BA 勝B 勝假設繼續賭兩局,則結果有以下四種情況:A AA B B AB BA勝B負 A勝B負 A勝B負 B勝A負 B勝A負 A勝B負 B勝A負 B勝A負 因此, A 能“期望”得到的賭金應為 41043200 ),(150 元而B 能“期望”得到的賭金, 則為43041200).(50 元故有, 在賭技相同的情況下, A, B 最終獲勝的可能性大小之比為3:1,即A 應獲得賭金的 而 B 只能獲得賭金的,43.41因而A 期望所得的賭金即為X 的 “期望”值,等于X 的可能值與其概率之積

4、的累加.).即為設隨機變量 X 表示 “在 A 勝2局B 勝1局的前提下,繼續賭下去 A 最終所得的賭金” .則X 所取可能值為:2000其概率分別為:4341:1定義kkkkkkpxpx 11絕絕對對收收斂斂，則則稱稱級級數數若若級級數數為隨機變量為隨機變量X的數學期望，簡稱期望，記為的數學期望，簡稱期望，記為E(X)，即即 kkkpxXE 1)(.21 X ，的的分分布布律律為為設設離離散散型型隨隨機機變變量量 kpxPXkk說明說明v“絕對收斂絕對收斂”保證期望存在及唯一；保證期望存在及唯一；v數學期望實際上就是數學期望實際上就是以概率為權數的加權平均；以概率為

5、權數的加權平均；vr.v.r.v.X的期望也就是它服從的分布的期望的期望也就是它服從的分布的期望。注：并非所有的隨機變量都存在數學期望。注：并非所有的隨機變量都存在數學期望。試問哪個射手技術較好? 誰的技術比較好?乙射手甲射手擊擊中中環環數數概率1 . 06 . 010983 . 0擊中環數概率10982 . 05 . 03 . 0故甲射手的技術比較好.為為他他們們射射擊擊的的分分布布律律分分別別乙乙兩兩個個射射手手、甲甲,.,21XX數數分分別別為為設設甲甲、乙乙射射手手擊擊中中的的環環),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1環環 XE),( 1 . 93 . 0105

6、. 092 . 08)(2環環 XE( ),( )d,( )d,().()( )d .Xf xx f xxx f xxXE XE Xx f xx設連續型隨機變量的概率密度為若積分絕對收斂 則稱積分的值為隨機變量的數學期望 記為即 E(X)是一個實數，形式上是是一個實數，形式上是X的可能值的加權平均的可能值的加權平均數，實質上它體現了數，實質上它體現了X取值的真正平均。又稱取值的真正平均。又稱E(X)為為X的平均值，簡稱均值。它完全由的平均值，簡稱均值。它完全由X的分布所決的分布所決定，又稱為分布的均值定，又稱為分布的均值.xxfxXEd)()(xxxde5150).(5 分鐘因此, 顧客平均等

7、待5分鐘就可得到服務. 顧客平均等待多長時間? 設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間 X(以分計)服從指數分布,其概率密度為試求顧客等待服務的平均時間?. 0, 0, 0,e51)(5xxxfx例例2：設：設X的密度函數如下，求的密度函數如下，求EX其他021210)(xxxxxfdxxxfEX)(解：1)2.(.2110dxxxxdxx 1. 問題的提出：問題的提出： 設已知隨機變量設已知隨機變量X的分布，我們需要計的分布，我們需要計算的不是算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某個函數的期的某個函數的期望，比如說望，比如說g(X)的期望的期望. 那么應該如何計算那么應該如何計算呢？呢？隨機變

8、量函數的數學期望隨機變量函數的數學期望如何計算隨機變量函數的數學期望如何計算隨機變量函數的數學期望? 一種方法是，因為一種方法是，因為g(X)也是隨機變量，也是隨機變量，故應有概率分布，它的分布可以由已知的故應有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來的分布求出來. 一旦我們知道了一旦我們知道了g(X)的分布，的分布，就可以按照期望的定義把就可以按照期望的定義把Eg(X)計算出來計算出來. 使用這種方法必須先求出隨機變量函數使用這種方法必須先求出隨機變量函數g(X)的分布，一般是比較復雜的的分布，一般是比較復雜的 . 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只的分布而只根據根據

9、X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？kxX kkpxXP 21011p2p3p4p).(,)(2YEXXgY求若的分布律先求2XY 2XY p4102p31pp 4p設隨機變量 X 的分布律為則有)()()(2XEXgEYE43124)(10pppp423212221) 1(0pppp.)(41kkkxXPxg因此離散型隨機變量函數的數學期望為若 Y=g(X), 且, 2, 1,kpxXPkk則有.)()(1kkkpxgXgE定理定理1: 設設Y是隨機變量是隨機變量X的函數，即的函數，即Y=g(X),g(x)是是連續函數。連續函數。.21 )1(，分布律為分布律為是離散型隨機變量，且是離散

10、型隨機變量，且設設， kpxXPXkkkkkpxgXgEYE 1)()()(絕對收斂，則有絕對收斂，則有若若kkkpxg 1)()()2(xfX概概率率密密度度是是連連續續型型隨隨機機變變量量，有有設設絕絕對對收收斂斂，則則有有若若dxxfxg)()( dxxfxgxgEYE)()()()(推廣：推廣： 設設Z是隨機向量（是隨機向量（X,Y）的函數，即）的函數，即Z=g(X,Y) （g(x,y)是連續函數）是連續函數）.21 ),()1(，分分布布律律為為是是離離散散型型隨隨機機向向量量，且且若若， jipyYxXPYXijji時時，有有則則當當， ijjijipyxg11)(ijjijipy

11、xgYXgEZE 11)(),()(，有有概概率率密密度度為為連連續續型型隨隨機機向向量量且且具具若若),(),()2(yxfYX 時時，），（），（則則當當dxdyyxfyxg dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(有有： 該定理的重要性在于該定理的重要性在于: 當我們求當我們求Eg(X)時時, 不必知道不必知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的的分布就可以了分布就可以了. 這給求隨機變量函數的期這給求隨機變量函數的期望帶來很大方便望帶來很大方便.即：如求連續型隨機變量函數的數學期望即：如求連續型隨機變量函數的數學期望并不要求知道其密度函數，只需知道作為并不要求

12、知道其密度函數，只需知道作為自變量的隨機變量的密度函數即可。自變量的隨機變量的密度函數即可。例4的的分分布布律律為為設設隨隨機機變變量量 X的的數數學學期期望望求求隨隨機機變變量量函函數數2XY 解解kkkpxXEYE 22)()(30. 210. 0315. 0220. 01222 25. 0020. 0)1(10. 0)2(222 例例5：設：設XN(0,1)，求，求EX2dxexEXx222221解：)21(22xexddxeexxx)21(| 21.22221例例6： 設二維隨機變量設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為的概率密度為f (x,y)=x + y0 0 x 1 1 ,0 y

13、1 10其它其它試求試求XY的數學期望的數學期望.解：解： dxdyyxfyxYXE(),() 1 10 01 1 0 0 dxdyyx(x + y)13 -?某地中秋節月餅需求量X在4 6t之間服從均勻分布，食品廠每銷出1t獲利1萬元，若積壓1t，則損失4千元，為使工廠所獲利潤的數學期望最大，問該廠應生產多少t月餅為宜 ,at設生產:YX則獲利是的函數104(),()10 ,.XaXXaYh XaXa若若64( )( )dh x f xx27-38562aa146,( )20,.xf x， 其他( ) ()( ) ( )dE YE h Xh x fxx64111104()d10d222aax

14、axxax38=( )7aE Y 最大。習題習題8： 設圓的直徑設圓的直徑XU(a,b)，求圓的面積的期望。，求圓的面積的期望。，則則設設圓圓的的面面積積為為解解24:XAA 式式有有則則由由定定理理1 其其他他）（的的概概率率密密度度為為 01bxaabxfXX）（222212 14)4()(aabbdxabxXEAEba 定理定理2： 設隨機變量設隨機變量X,Y的數學期望的數學期望 E(X), E(Y)存在存在.；為為常常數數，則則設設ccEc )(；)()(XcEcXE 三、三、 數學期望的性質數學期望的性質kkkkkkx py p()( ).E XE Y4. 設設 X, Y 是相互獨立

15、的隨機變量是相互獨立的隨機變量, 則有則有).()()(YEXEXYE 3. 設設 X, Y 是兩個隨機變量是兩個隨機變量, 則有則有).()()(YEXEYXE 證明證明()()kkkkE XYxyp說明說明 用連續型隨機變量用連續型隨機變量 X 的數學期望的定義可類的數學期望的定義可類似證明。可利用期望的性質求似證明。可利用期望的性質求r.v.（函數）的期望。（函數）的期望。niiniiXEXE11)(:推廣（Xi獨立時）獨立時）niiniiXEXE11)(:推廣 由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出 X,Y獨立獨立11:()nniiiiEC XC E X更一般地推廣注

16、：注：1)1)性質（性質（3 3）和（）和（4 4）可推廣到個隨機）可推廣到個隨機變量的情形變量的情形例例8：設一次試驗中事件：設一次試驗中事件A發生的概率為，則在次發生的概率為，則在次這樣的獨立重復試驗中事件這樣的獨立重復試驗中事件A發生的次數發生的次數XB（，），求（，），求E(X).解解 ： X的分布律為的分布律為qqnkqpCkXPknkkn 1.10 ，01iX記：第次試驗中第次試驗中A發生發生第次試驗中第次試驗中A不發生不發生則則Xi(1 i n )是服從是服從0-1分布的隨機變量且有分布的隨機變量且有niinXXXXX121.又又 E Xi=p (1 i n)npEXXEEXni

17、inii11)(從而1.數學期望是一個實數, 而非變量,它是一種加權平均, 與一般的平均值不同,它從本質上體現了隨機變量 X 取可能值的真正的平均值.2.數學期望的性質).()()(,);()()();()(;)(YEXEXYEYXYEXEYXEXCECXECCE獨立例例1： 設設X服從參數為服從參數為p的（的（0-1）分布，求）分布，求E(X)。解：解： X的分布律為的分布律為0p1,q=1-pppqXE 10）（則則幾種常用分布的期望幾種常用分布的期望例例2： 設設Xb(n，p)，求，求E(X)。解解 ： X的分布律為的分布律為qqnkqpCkXPknkkn 1.10 ，則：則：0=1nk

18、kn knknkn kkE XkCp qnkp qknk（ ）！（）！knknkqpknknnp 1111）！）！（）！（npqpnpqpCnpnknknkkn 11111）（。的泊松分布，求服從參數為設例)(:3XEX: 0 1 . kXeP Xkkk解的分布律為， ，！則0() kkeE Xkk！11 1kkek（）！ee01kkek（）！例例4 設設XU(a，b)，求，求E(X)。 其其他他的的概概率率密密度度為為解解 01)(:bxaabxfX()E X12baabxdxba).()(:52XENX，求，設例dxexXEx22221)(: ）（解解 dtetXEtxt 2221)(）（

19、，得得換換元元， dtedttett2222221 例如，某零件的真實長度為例如，某零件的真實長度為a，現用甲、，現用甲、乙兩臺儀器各測量乙兩臺儀器各測量10次，將測量結果次，將測量結果X用坐用坐標上的點表示如圖：標上的點表示如圖： 若讓你就上述結果評價一下兩臺儀器的優若讓你就上述結果評價一下兩臺儀器的優劣，你認為哪臺儀器好一些呢？劣，你認為哪臺儀器好一些呢？a 乙儀器測量結果乙儀器測量結果 a甲儀器測量結果甲儀器測量結果較好較好測量結果的測量結果的均值都是均值都是 a因為乙儀器的測量結果集中在均值附近因為乙儀器的測量結果集中在均值附近第二節第二節 方差方差 為此需要引進另一個數字特征為此需要

20、引進另一個數字特征,用它用它來度量隨機變量取值在其中心附近的離來度量隨機變量取值在其中心附近的離散程度散程度.這個數字特征就是我們這一節要介紹的這個數字特征就是我們這一節要介紹的方差方差:1定定義義).()(2)()( )()(,2)(2)( XXXDXEXEXDxVarXDXXEXEXEXEX方差，記為的標準差或均為隨機變量稱，即或記為的方差為則稱存在，為隨機變量，若設 方差是隨機變量方差是隨機變量X與其與其“中心中心”E(X)的偏的偏差平方的平均。方差刻劃了隨機變量的取值對差平方的平均。方差刻劃了隨機變量的取值對于其數學期望的離散于其數學期望的離散(偏離偏離)程度程度 .為為離離散散型型隨

21、隨機機變變量量，則則若若 X)(xfX率率密密度度為為為為連連續續型型隨隨機機變變量量且且概概若若kkkpXExXD 12)()(的的分分布布律律為為，其其中中XkpxXPkk.21 dxxfXExXD)()()(:2 則則的的數數學學期期望望的的函函數數是是隨隨機機變變量量方方差差2)()()(XEXXgXXD 較較大大。取取值值比比較較分分散散，則則若若較較小小，取取值值比比較較集集中中，則則若若)()(XDXXDX計算方差的一個簡化公式計算方差的一個簡化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展開展開證：證：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(

22、X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性質性質）。（的的方方差差求求其其它它）（的的密密度度函函數數為為設設隨隨機機變變量量例例XDXxxxxxfX: 010 101- 1:1 dxxxfXE）（）（解解：dxxfxXE）（）（ 2261:22 ）（）（）（所所以以XEXEXD6111102012 dxxxdxxx）（）（ 0110011dxxxdxxx）（）（證明證明22)()()(CECECD (1) 設設 C 是常數是常數, 則有則有. 0)( CD22CC . 0 (2) 設設 X 是一個隨機變量是一個隨機變量, C 是常數是常數, 則有則有).()(2XDCCXD

23、 證明證明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE ).()()(YDXDYXD (3) 設設 X, Y 相互獨立相互獨立, D(X), D(Y) 存在存在, 則則證明證明)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE 22()( )2 ()( )E XE XE YE YEXE XYE Y ).()(YDXD 推廣推廣).()()()(2121nnXDXDXDXXXD 則則有有相相互互獨獨立立若若,21nXXX幾種重要隨機變量的方差幾種重要隨機變量的方差分分布布10. 1 分分布布，分分布布律律為為的的服服從從參參數數為為設設10 pXX 0 1P 1-p

24、p).1()(,)(ppXDpXE 二二項項分分布布. 2的的二二項項分分布布，分分布布律律為為服服從從參參數數為為設設pnX,).1()(,)(pnpXDnpXE 10 , 1 , 0 )1( pnkppCkXPknkkn設設XB(n,p), 則則X表示表示n重貝努里試驗中的重貝努里試驗中的“成功成功” 次數次數 . 若設若設10iiXi如第 次試驗成功如第 次試驗失敗i=1,2，n 故故 D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2E(Xi)=P(Xi=1)= p,E(Xi2)= p, 則則 是是n次試驗中次試驗中“成功成功” 的次數的次數niiXX1= p- p2= p(1- p)利用方差性

25、質：利用方差性質：于是于是i=1,2，n D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2 = p- p2= p(1- p)由于由于X1,X2,Xn相互獨立相互獨立niiXDXD1)()(= np(1- p)泊泊松松分分布布. 3的的泊泊松松分分布布，分分布布律律為為服服從從參參數數為為設設 X eekekekXEkkkk010)!1(!)( 0, 2 , 1 , 0! kkekXPk2220222()(1)(1)() (1)!(2)! +kkkkE XE X XXE X XE Xek kekkee 2222)()()(XEXEXD 其其他他 01)(bxaabxf21)(badxabxXEba 均均

26、勻勻分分布布. 4密密度度為為服服從從均均勻勻分分布布，其其概概率率，在在區區間間設設baX12)(21 )()()(22222abbadxabxXEXEXDba 1)()( dxxxfXE5.指數分布度為的指數分布，其概率密服從參數為設X22222112)()()( XEXEXD0)0(00)( xxexfx 2222)()( dxxfxXEdxexXEx22221)( ）（ ，得得令令tx dtedttett22222216.正態分布度度為為的的正正態態分分布布，其其概概率率密密，服服從從參參數數為為設設 X xexfx, 021)(222)( dtetXEt 22)(21)( dxexX

27、Dx222221)()( ）（ ，得得令令tx 2222222()2()2ttD Xtedttde2222()2ttteedt2212tedt注：正態隨機變量的概率密度中的兩個參數分別就注：正態隨機變量的概率密度中的兩個參數分別就是該隨機變量的數學期望和方差，故正態隨機變量是該隨機變量的數學期望和方差，故正態隨機變量的分布完全由它的數學期望和方差所確定。的分布完全由它的數學期望和方差所確定。隨機變量的分布完全可由它的數學期望和方差來確隨機變量的分布完全可由它的數學期望和方差來確定。定。2(,),1,2, ,iiiXNin 若且它們相互獨立則22112211(,)nnnniiiiiiC XC X

28、C XNCC10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 1 21 分布分布參數參數數學期望數學期望方差方差兩點分布兩點分布二項分布二項分布泊松分布泊松分布均勻分布均勻分布指數分布指數分布正態分布正態分布0, 2思考：思考： 設隨機變量設隨機變量X和和Y相互獨立且相互獨立且XN(1,2),YN(0,1). 試求試求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度. 故故X和和Y的聯合分布為正態分布，的聯合分布為正態分布，X和和Y的的任意線性組合是正態分布任意線性組合是正態分布.解解: XN(1,2),YN(0,1)，且，且X與與Y獨立獨立,D(Z)=4D

29、(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即即 ZN(E(Z), D(Z)ZN(5, 32)故故Z的概率密度是的概率密度是,231)(18)5(2zZezf z契比雪夫不等式契比雪夫不等式.,)(,)(222成成立立不不等等式式則則對對于于任任意意正正數數方方差差具具有有數數學學期期望望設設隨隨機機變變量量定定理理XPXDXEX 切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式也可以寫成切比雪夫不等式也可以寫成22(|)1PX 22.P X xxfxd)()(122.122 xxfxxd)(22 得得XP xxxfd)(證明證明取連續型隨機變量的情況來證明取連續型隨

30、機變量的情況來證明.則則有有的的概概率率密密度度為為設設),(xfX22(|)1PX 例例2 把一枚均勻硬幣拋擲把一枚均勻硬幣拋擲1000次，試利用切比次，試利用切比雪夫不等式估計，在雪夫不等式估計，在1000次拋擲中正面出現次拋擲中正面出現的次數在的次數在400-600之間的概率。之間的概率。解解:若設若設111000,0iiXii如第 次出現正面，如第 次出現反面，E(Xi)=P(Xi=1)= 1/2, D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2 =1/4由于由于X1,X2,Xn相互獨立相互獨立1()500,()()=250niiE XD XD X2400600 10050010025050

31、010010.975100PXPXP X 前面我們介紹了隨機變量的數學期望前面我們介紹了隨機變量的數學期望和方差，對于多維隨機變量，反映分量之和方差，對于多維隨機變量，反映分量之間關系的數字特征中，最重要的，就是本間關系的數字特征中，最重要的，就是本節要討論的節要討論的協方差和相關系數協方差和相關系數第四節第四節 協方差與相關系數協方差與相關系數1. 問題的提出問題的提出 那那么么相相互互獨獨立立和和若若隨隨機機變變量量,YX()()( ).D XYD XD Y不相互獨立不相互獨立和和若隨機變量若隨機變量YX()?D XY2()()()D XYEXYE XY2()( )EXE XYE Y2 (

32、)( )E XE XYE Y22()( )E XE XE YE Y()( )2 ()( ).D XD YE XE XYE Y協方差協方差()( )EXE XYE YXY稱為隨機變量 與 的cov(,)()( )X YEXE XYE YXY對于任意兩個隨機變量 和cov()()( )2(,)D XYD XD YX Ycov(, )X Y記為，即協方差.2. 定義定義若若(X,Y)為二維離散型隨機變量，其聯合分布律為為二維離散型隨機變量，其聯合分布律為 PX=xi，Y=yj=pij， i,j=1,2, ijijiipYEyXExYX)()(),(Cov若若(X,Y)為二維連續型隨機變量，其概率密度

33、為為二維連續型隨機變量，其概率密度為f(x,y) dxdyyxfYEyXExYX),()()(),(Cov3. 協方差的計算公式協方差的計算公式Cov(,)()() ( )X YE XYE X E Y證明證明:Cov(,)()()X YEXE XYE Y)()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE cov1.(,)()X XD Xcovcov2.(,)( ,)X YY X為任意常數baYXabbYaX,),(cov),(cov. 3為任意常數CXC, 0),(cov. 4covcovcov12125.(,)(,)(,)X

34、X YX YX Y0),(cov,. 6YXYX則相互獨立與如果4. 性質性質 ，反之未必成立。，反之未必成立。例例1：設一壇中裝有個紅球，個黑球，隨機的：設一壇中裝有個紅球，個黑球，隨機的取出一個球觀察后放回，同時再放入個與所取球取出一個球觀察后放回，同時再放入個與所取球同色的球，設同色的球，設01iX在第次取紅球在第次取紅球在第次取黑球在第次取黑球（i=1,2）求：求：cov(X1,X2).解：先求解：先求(X1,X2）的聯合分布，易知）的聯合分布，易知0|000, 012121XXPXPXXP)()(crsrscsscrsrrssXXP., 021crssrsrXXP.0,21crscr

35、rsrXXP.,21則則(X1,X2）的邊緣分布分布為：）的邊緣分布分布為：srrXPsrsXPX10:111srrXPsrsXPX10:222srrEXEX211, 111000)(2121XXPXXE)()(csrsrcrr212121)()cov(EXEXXXEXX)()(2csrsrrsc例例2 設設 (X, Y)的概率密度函數為的概率密度函數為 f ( x, y) ,求求 Cov(X,Y). 其其他他,010 , 10,),(yxyxyxf101(),01,( )20,Xxy dyxxfx解：由于其他101(),01,( )20,Yxy dxyyfy其他1017()(),212E X

36、x xdx,127)21()(10 dyyyYE,31)()(10102101021010 dxdyxydxdyyxdxdyyxxyXYE144112712731)()()(),( YEXEXYEYXCov例例* 設設 (X, Y)的分布律如圖所示的分布律如圖所示, 0 p 1, 求求 Cov(X,Y)。,1pXP 解解：,10pXP )1()(,)(ppXDpXE )1()(,)(ppYDpYE )1()()()(),(2ppppYEXEXYEYXCov ,X Y設隨機變量的數學期望 方差都存在 稱)()(),(covYDXDYXDYEYYDXEXXEXYXY為隨機變量 與 的相關系數.XY

37、注意：無量綱1. 定義定義1.1.XY2. 性質性質 利用利用Cauchy-Schwarz 不等式證明：不等式證明：222 ()E UVEUEV22)(),(EYYEXXEYXCOV22)()(EYYEEXXEDYDX121.1XY0,XYXY3.當稱 與 不相關.2. 性質性質 2.1XY()1(0)P YaXbaX與與Y之間呈線性相關關系，即之間呈線性相關關系，即即即X與與Y之間無線性相關關系，之間無線性相關關系，（但可能存在非線性關系）（但可能存在非線性關系）.(1) 不相關與相互獨立的關系不相關與相互獨立的關系3. 注意注意相互獨立相互獨立不相關不相關(2) 不相關的充要條件不相關的充

38、要條件; 0,1o XYYX不不相相關關; 0),Cov(,2o YXYX不不相相關關).()()(,3oYEXEXYEYX 不不相相關關2222(, )1/1( , )01X Yxyf x yxyXY例1：設服從單位上的均勻分布，即密度函數為：若若判斷 和 的相關性和獨立性1|01|12)(,2xxxxgYX邊緣密度均為：解：所以所以 X與與 Y不相關不相關,2210cov(, )(, ).10 xyEXEYX YE X YEX EYxydxdy因為因為f(xy) g(x)g(y),所以所以X與與Y不獨立不獨立.0說明說明: (1)不能由不相關性推出獨立性不能由不相關性推出獨立性(2)即使即

39、使X與與Y不相關，它們之間還是可能存在不相關，它們之間還是可能存在函數關系，相關系數只是函數關系，相關系數只是X與與Y之間線性關系之間線性關系 程度的一種量度。程度的一種量度。但對下述情形，獨立與不相關等價但對下述情形，獨立與不相關等價若若(X,Y)服從二維正態分布，則服從二維正態分布，則X與與Y獨立獨立X與與Y不相關不相關例例* 設設 (X, Y)的分布律如圖所示的分布律如圖所示, 0 p 1, 求求 Cov(X,Y)和和XY,1pXP 解解：,10pXP )1()(,)(ppXDpXE )1()(,)(ppYDpYE )1()()()(),(2ppppYEXEXYEYXCov 1)1()1

40、()1()()(),( ppppppYDXDYXCovXY 第五節第五節 矩、協方差矩陣矩、協方差矩陣:4定義階階中中心心矩矩。的的稱稱它它為為存存在在，）（若若kXkXEXEk,.2 , 1, 階混合原點矩。階混合原點矩。的的和和稱它為稱它為存在，存在，若若lkYXlkYXElk ,.2 , 1,),(.階階混混合合中中心心矩矩的的和和稱稱它它為為存存在在，）（）（若若lkYXYEXXEXElk 階階矩矩。階階原原點點矩矩，簡簡稱稱的的稱稱它它為為存存在在若若為為隨隨機機變變量量設設kkXkXEYXk,.2 , 1),(, 設設n維隨機變量維隨機變量(X1,X2,Xn) 的的1+1階混合中心

41、矩階混合中心矩 nnnnnn 212222111211.為為n維隨機變量維隨機變量(X1,X2,Xn)的協方差矩陣。的協方差矩陣。都存在，則稱矩陣都存在，則稱矩陣Cov(,) () (),1,2,.,ijijiijjX YEXE XYE Yi jn*協方差矩陣為對稱矩陣。協方差矩陣為對稱矩陣。協方差協方差Cov(x,y)是是x和和y的的1+1階混合中心矩階混合中心矩2例1：設X服從N a,求X的三階中心矩及四階中心矩。 ，解：aEXdteaxxEXEax222)(33)(21)()(22332axtdtett0dteaxxEXEax222)(44)(21)()(22442axtdtettdte

42、tett224222343：維維正正態態隨隨機機變變量量的的性性質質n服服從從一一維維正正態態分分布布。的的任任意意的的線線性性組組合合的的充充要要條條件件是是維維正正態態分分布布服服從從維維隨隨機機變變量量nnnnXlXlXlXXXnXXXn 22112121 ,),(. 1維維正正態態分分布布。服服從從則則的的線線性性函函數數，是是設設維維正正態態分分布布，服服從從若若KYYYXXXYYYnXXXknkn),(,),(. 221212121兩兩兩兩不不相相關關。相相互互獨獨立立的的充充要要條條件件是是則則維維正正態態分分布布，服服從從設設nnnXXXXXXnXXX,),(. 3212121一、重點與難點一、重點與難點二、主要內容二、主要內容 1.重點重點數學期望的性質和計算數學期望的性質和計算2.難點難點數字特征的計算數字特征的計算方差的性質和計算方差的性質和計算協方差和相關系數的性質和計算協方差和相關系數的性質和計算數學期望數學期望方方 差差離散型離散型連續型連續型性性 質質協方差與相關系數協方差與相關系數二維隨機變量的數