1、第七講第七講 弗賴登塔爾的數學教育理論弗賴登塔爾的數學教育理論西華師范大學數學與信息學院西華師范大學數學與信息學院楊孝斌楊孝斌1. 生平及貢獻生平及貢獻Hans Freudenthal（1905-1990年）年）,荷蘭數學家和數學教育家荷蘭數學家和數學教育家,生于德國生于德國.1930年獲柏林大學數學博士學位；年獲柏林大學數學博士學位；1946年起任荷蘭年起任荷蘭Utrecht 大學教授；大學教授；1951年起為荷蘭皇家科學院院士；年起為荷蘭皇家科學院院士；1967年當選為國際數學教育委員會主席；年當選為國際數學教育委員會主席；1971-1976年任數學教育研究所所長；年任數學教育研究所所長；

2、1987年年12月應邀來上海華東師范大學講學，并先后三次來中國。月應邀來上海華東師范大學講學，并先后三次來中國。弗賴登塔爾是著名數學家布勞威爾的學生，早年從事純粹數學研弗賴登塔爾是著名數學家布勞威爾的學生，早年從事純粹數學研究，以代數拓撲學和李群研究方面的杰出工作進入國際著名究，以代數拓撲學和李群研究方面的杰出工作進入國際著名數學家的行列，曾任荷蘭數學會的兩屆主席數學家的行列，曾任荷蘭數學會的兩屆主席 弗賴登塔爾被稱為弗賴登塔爾被稱為“二十世紀數學教育之父二十世紀數學教育之父” “對于數學教育，本世紀的上半葉對于數學教育，本世紀的上半葉Felix Klein做出了不朽的功績；本世紀的下半葉做出

3、了不朽的功績；本世紀的下半葉Hans Freudenthal做出了巨大的貢獻。做出了巨大的貢獻。” 加亨加亨(Kahane)教教授授主要工作：主要工作：v1967年當選為國際數學教育委員會主席；v 單獨舉行國際數學教育大會（ICME1，1969法國里昂）；v提倡數學教育的科學研究；v創辦ICME的理論刊物Educational Studies in Mathematics（數學教育研究）主要數學教育論著：v作為教育任務的數學； v除草與播種數學教育學的序言；v數學結構的教學法現象； v數學教育再探在中國的三次講學2. 弗賴登塔爾的數學教育觀弗賴登塔爾的數學教育觀v情境問題是教學的平臺情境問題是

4、教學的平臺v數學化是數學教育的目標數學化是數學教育的目標v學生通過自己努力得到的結論和創造是學生通過自己努力得到的結論和創造是教育內容的一部分教育內容的一部分v“互動互動”是主要的學習方式是主要的學習方式v學科交織是數學教育內容的呈現方式學科交織是數學教育內容的呈現方式概括為：現實、數學化、再創造現實、數學化、再創造(1) 何謂數學教育中的何謂數學教育中的“現實現實”？v數學教育中的現實數學來源于現實，存在于現實，應用于現實，而且每個學生有各自不同的“數學現實”.v數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實.弗賴登塔爾堅持主張：數學教育體系的內容應弗賴登塔爾堅持

5、主張：數學教育體系的內容應該是與現實密切聯系的數學，能夠在實際中該是與現實密切聯系的數學，能夠在實際中得到應用的數學，即得到應用的數學，即“現實的數學現實的數學”。如果過于強調了數學的抽象形式，忽視了生動如果過于強調了數學的抽象形式，忽視了生動的具體模型，過于集中于內在的邏輯聯系，的具體模型，過于集中于內在的邏輯聯系，割斷了與外部現實的密切關系割斷了與外部現實的密切關系，那必然會給，那必然會給數學教育帶來極大的損害。數學教育帶來極大的損害。“新數新數”運動的運動的失敗就是個明證。失敗就是個明證。 v如何理解如何理解“現實現實”？v不同的社會需要是否就是不同的社會需要是否就是“現實現實”？v每個

6、人的每個人的“數學現實數學現實”是一樣的嗎？是一樣的嗎？數學教育應為不同的人提供不同的數學修養，數學教育應為不同的人提供不同的數學修養，從而為每個人培養適合于他所從事的不同專從而為每個人培養適合于他所從事的不同專業所必需的數學態勢，使其能順利地處理有業所必需的數學態勢，使其能順利地處理有關的各種數學問題。為此，弗賴登塔爾的一關的各種數學問題。為此，弗賴登塔爾的一個基本結論是：每個人都有自己生活、工作個基本結論是：每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數學概念、它的運算方法、規律世界的各種數學概念、它的運算方法、規律和有關的

7、數學知識結構。和有關的數學知識結構。這就是說，這就是說，每個人都有自己的一套每個人都有自己的一套“數學現數學現實實”。 從這個意義上說，所謂從這個意義上說，所謂“現實現實”不一定限于具體的不一定限于具體的事物，作為屬于這個現實世界的數學本身，也是事物，作為屬于這個現實世界的數學本身，也是“現實現實”的一部分，或者可以說，每個人也都有的一部分，或者可以說，每個人也都有自己所接觸到的特定的自己所接觸到的特定的“數學現實數學現實”。大多數人的數學現實世界可能只限于數和簡單的幾大多數人的數學現實世界可能只限于數和簡單的幾何形狀以及它們的運算，另一些人可能需要熟悉何形狀以及它們的運算，另一些人可能需要熟

8、悉某些簡單的函數與比較復雜的幾何，至于一個數某些簡單的函數與比較復雜的幾何，至于一個數學家的數學現實可能就要包含學家的數學現實可能就要包含Hilbert空間的算，空間的算，子、拓撲學以及纖維叢等等。子、拓撲學以及纖維叢等等。 數學教育的任務就在于，隨著學生們所接觸的客觀數學教育的任務就在于，隨著學生們所接觸的客觀世界越來越廣泛，應該確定各類學生在不同階段世界越來越廣泛，應該確定各類學生在不同階段必須達到的必須達到的“數學現實數學現實”，并且根據學生所實際，并且根據學生所實際擁有的擁有的“數學現實數學現實”，采取相應的方法予以豐富，采取相應的方法予以豐富，予以擴展，從而使學生逐步提高所具有的予以

9、擴展，從而使學生逐步提高所具有的“數學數學現實現實”的程度并擴充其范圍。的程度并擴充其范圍。數學教學的本質就是培養學生數學教學的本質就是培養學生從已有的從已有的“數學現實數學現實”發展到更高層次的發展到更高層次的“數學現實數學現實”一些具體的例子如下：通過公共汽車上下車人數的變化引一些具體的例子如下：通過公共汽車上下車人數的變化引入整數的加減法，并找出運算規律；借助學生上學乘汽入整數的加減法，并找出運算規律；借助學生上學乘汽車、騎自行車或步行等多種交通工具以及途中出現的各車、騎自行車或步行等多種交通工具以及途中出現的各種情況，介紹各種類型的圖象表示、解析表示，進一步種情況，介紹各種類型的圖象表

10、示、解析表示，進一步可介紹變化率以及斜率等概念及有關性質；還可以從商可介紹變化率以及斜率等概念及有關性質；還可以從商店出售各種不同牌子、不同規格的商品所獲得的利潤計店出售各種不同牌子、不同規格的商品所獲得的利潤計算，引進矩陣的乘法概念，以及它的運算法則；以及根算，引進矩陣的乘法概念，以及它的運算法則；以及根據血壓的變化介紹一般周期函數的概念，再進到更有規據血壓的變化介紹一般周期函數的概念，再進到更有規律的正弦函數及其性質；或者從物質的生長率引進指數律的正弦函數及其性質；或者從物質的生長率引進指數函數概念，從而導出對數函數等。函數概念，從而導出對數函數等。 由于人們對數學需求不盡相同，各人在不同

11、階段又有特定的數學現實，弗賴登塔爾認為，在現實背景材料的使用上有下述三種不同的水平： 第一級是在實際問題中直接包含著有關的數學第一級是在實際問題中直接包含著有關的數學運算運算，只要通過簡單的變換或過渡，就可以從實際問題求得相應的數學問題。在這里，具體的現實問題起著核心作用。 ( (數學知識的簡單應用數學知識的簡單應用) ) 第二級是提出了某個現實問題，希望學生能夠第二級是提出了某個現實問題，希望學生能夠找出與之有關的數學，加以組織，建立結構，從而找出與之有關的數學，加以組織，建立結構，從而解決問題。解決問題。這里需要運用數學作為工具來組織現實問題并予以解決，因而具體的實際問題是起著實質性的作用

12、。 ( (生活數學的數學化生活數學的數學化) ) 第三級則是指出某個數學概念或是描述第三級則是指出某個數學概念或是描述了某個數學過程的特征，由此引進新的數學了某個數學過程的特征，由此引進新的數學概念或是構造新的數學模型概念或是構造新的數學模型，在這兒所提供的現實背景材料已經從通常的具體客觀世界中抽象出來。 ( (數學問題的模型化數學問題的模型化) ) 綜上所述，弗賴登塔爾提的弗賴登塔爾提的“數學現實數學現實”原則，和我們通常所說的理論聯系實際有原原則，和我們通常所說的理論聯系實際有原則的區別則的區別，有其獨特的含義和理論深度，值得我們借鑒。 (2) 什么是什么是“數學化數學化”？弗賴登塔爾的名

13、言是：與其說是學習數學，還不如說是學習“數學化”；與其說是學習公理系統，還不如說是學習“公理化”；與其說是學習形式體系，還不如說是學習“形式化” 。 人們運用數學的方法觀察現實世界，分析研究各種具體現象，并加以整理組織，這個過程就是數學化。簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化。 數學化，是一個由淺入深，具有不同層次、不斷發展的數學化，是一個由淺入深，具有不同層次、不斷發展的過程。過程。數學化的對象：水平數學化數學化的對象：水平數學化生活數學的數學化生活數學的數學化 垂直數學化垂直數學化數學問題的進一步抽象數學問題的進一步抽象水平數學化，形成數學概念、運算法則、規律、定理，水平數學化，形

14、成數學概念、運算法則、規律、定理，以及為解決實際問題而構造的數學模型；垂直數學化，以及為解決實際問題而構造的數學模型；垂直數學化，形成數學概念、運算法則、規律、定理，以及不同層形成數學概念、運算法則、規律、定理，以及不同層次的公理體系和形式體系。次的公理體系和形式體系。現實數學教育的數學化有兩種形式：現實數學教育的數學化有兩種形式：v一是實際問題轉化為數學問題的數學化，即一是實際問題轉化為數學問題的數學化，即發現實際問題中的數學成分，并對這些成分發現實際問題中的數學成分，并對這些成分作符號化處理；作符號化處理；v二是從符號到概念的數學化，即在數學范疇二是從符號到概念的數學化，即在數學范疇之內對

15、已經符號化了的問題作進一步抽象化之內對已經符號化了的問題作進一步抽象化處理。處理。實際問題轉化為數學問題的基本流程是：實際問題轉化為數學問題的基本流程是：v確定一個具體問題中包含的數學成分；確定一個具體問題中包含的數學成分；v建立這些數學成分與學生已知的數學模型之間的聯建立這些數學成分與學生已知的數學模型之間的聯系；系；v通過不同方法使這些數學成分形象化、符號化和公通過不同方法使這些數學成分形象化、符號化和公式化；式化；v找出蘊含其中的關系和規則；找出蘊含其中的關系和規則；v考慮相同數學成分在其他數學知識領域方面的體現；考慮相同數學成分在其他數學知識領域方面的體現；v作出形式化表述。作出形式化

16、表述。從符號到概念的數學化的基本流程是：從符號到概念的數學化的基本流程是：v用數學公式表示關系；用數學公式表示關系；v對有關規則作出證明；對有關規則作出證明；v嘗試建立和使用不同的數學模型；嘗試建立和使用不同的數學模型；v對得出的數學模型進行調整和加工；對得出的數學模型進行調整和加工；v綜合不同數學模型的共性，形成功能更強的新模型；綜合不同數學模型的共性，形成功能更強的新模型；v用已知數學公式和語言盡量準確地描述得到的新概用已知數學公式和語言盡量準確地描述得到的新概念和新方法；念和新方法；v作一般化的處理、推廣。作一般化的處理、推廣。(3) 什么是什么是“再創造再創造”？弗賴登塔爾認為存在兩種

17、數學，一種是現成的或已完成的數學，另一種是活動的或者創新的數學。完成的數學在人們面前以形式演繹的面目出現，完成的數學在人們面前以形式演繹的面目出現，它完全顛倒了數學的思維過程和實際創造過程，它完全顛倒了數學的思維過程和實際創造過程，給予人們的是思維的結果；活動的數學則是數活動的數學則是數學家發現和創造數學的過程的真實體現，它表學家發現和創造數學的過程的真實體現，它表明了數學是一種艱難曲折又生動有趣的活動過明了數學是一種艱難曲折又生動有趣的活動過程。程。 v弗賴登塔爾所說的弗賴登塔爾所說的“再創造再創造”，其核心，其核心是數學過程再現。是數學過程再現。v學生學生“再創造再創造”學習數學的過程實際

18、上學習數學的過程實際上就是一個就是一個“做數學做數學”的過程。的過程。v教師的任務是引導和幫助學生去進行這教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造的工作。種再創造的工作。日常生活中，象日常生活中，象“狗狗”、“椅子椅子”等概念，都等概念，都不需要事先給以嚴格的定義，兒童通過實際不需要事先給以嚴格的定義，兒童通過實際接觸，自然地形成了概念。接觸，自然地形成了概念。數學中的一些東西，同樣來自現實，也可以通數學中的一些東西，同樣來自現實，也可以通過學生的實際感受而形成概念。過學生的實際感受而形成概念。以學習平行四邊形概念為例，教師可以出示一系列的平行以學習平行四邊形概念為例，教師可以出示一系列的平

19、行四邊形的圖形或是實際例子，告訴學生這些就是四邊形的圖形或是實際例子，告訴學生這些就是“平行平行四邊形四邊形”，讓學生自己進行比較、分析、研究。，讓學生自己進行比較、分析、研究。在經過反復的觀察與思考后，他們就會發現在經過反復的觀察與思考后，他們就會發現“平行四邊形平行四邊形”的許多共同性質，的許多共同性質，如：對邊平行、對角相等、鄰角互補、如：對邊平行、對角相等、鄰角互補、對角線互相平分等等，接著就會進而發現這些性質之間對角線互相平分等等，接著就會進而發現這些性質之間的聯系，可以由一個性質出發推出其它的性質，在教師的聯系，可以由一個性質出發推出其它的性質，在教師的引導與學生間相互討論的基礎上

20、，學生就不僅掌握了的引導與學生間相互討論的基礎上，學生就不僅掌握了平行四邊形的概念，同時也理解了形式定義的含義以及平行四邊形的概念，同時也理解了形式定義的含義以及各種相關性與等價定義的概念各種相關性與等價定義的概念. 也就是說，學生也就是說，學生通過自己的實踐活動學會了怎通過自己的實踐活動學會了怎樣定義一個數學的概念樣定義一個數學的概念，對于定義的必要性，對于定義的必要性與作用都會有更深的體會，通過這樣的與作用都會有更深的體會，通過這樣的“再再創造創造”方式進行的概念教學，顯然比將一個方式進行的概念教學，顯然比將一個現成的定義強加給學生要有效得多現成的定義強加給學生要有效得多.偉大的教育家夸美

21、紐斯有一句名言偉大的教育家夸美紐斯有一句名言：“教一個活動的教一個活動的最好方法是演示。最好方法是演示。”他主張要打開學生的各種感覺他主張要打開學生的各種感覺器官，那就不僅是被動地通過語言依賴聽覺來吸收器官，那就不僅是被動地通過語言依賴聽覺來吸收知識，也包括眼睛看甚至手的觸摸及動作。知識，也包括眼睛看甚至手的觸摸及動作。弗賴登塔爾將這一思想進一步發展成為弗賴登塔爾將這一思想進一步發展成為“學一個活動學一個活動的最好方法是實踐的最好方法是實踐”，這樣提法的目的是這樣提法的目的是將強調的將強調的重點從教轉向學，從教師的行為轉到學生的活動，重點從教轉向學，從教師的行為轉到學生的活動，并且從感覺的效應

22、轉為運動的效應。并且從感覺的效應轉為運動的效應。就象游泳本身就象游泳本身也有理論，學游泳的人也需要觀摩教練的示范動作，也有理論，學游泳的人也需要觀摩教練的示范動作，但更重要的是他必須下水去實地練習，老是站在陸但更重要的是他必須下水去實地練習，老是站在陸地上是永遠也學不會游泳的。地上是永遠也學不會游泳的。 提倡按提倡按“再創造再創造”原則來進行數學教育，就是基于以原則來進行數學教育，就是基于以上原理，弗賴登塔爾認為可以從教育學的角度來找上原理，弗賴登塔爾認為可以從教育學的角度來找到這一做法的合理根據，至少可以提出以下三到這一做法的合理根據，至少可以提出以下三點：點： (1)(1)通過自身活動所得

23、到的知識與能力比由旁人通過自身活動所得到的知識與能力比由旁人硬塞的理解得透徹，掌握得快，同時也善于應用，硬塞的理解得透徹，掌握得快，同時也善于應用，一般來說還可以保持較長久的記憶。一般來說還可以保持較長久的記憶。 (2)(2)發現是一種樂趣，通過發現是一種樂趣，通過“再創造再創造”來進行學來進行學習能夠引起學生的興趣，并激發其學習動力。習能夠引起學生的興趣，并激發其學習動力。 (3)(3)通過通過“再創造再創造”方式，可以進一步促進人們方式，可以進一步促進人們形成數學教育是一種人類活動的看法。形成數學教育是一種人類活動的看法。 小 結弗賴登塔爾的數學教育理論不是弗賴登塔爾的數學教育理論不是“教

24、育學教育學+數數學例子學例子”式的論述，而是抓住數學教育的特式的論述，而是抓住數學教育的特征，緊扣數學教育的特殊過程，因而有征，緊扣數學教育的特殊過程，因而有“數數學現實學現實”、“數學化數學化”、“數學反思數學反思”、“再創造再創造”、“思辨數學思辨數學”等諸多特有的概等諸多特有的概念念.每一個概念以及他的每一個想法，都值得我們每一個概念以及他的每一個想法，都值得我們去思考、去領悟、去實踐去思考、去領悟、去實踐3.3.弗賴登塔爾數學教育思想對中學數學教育的啟示弗賴登塔爾數學教育思想對中學數學教育的啟示(1)(1)數學教學要立足于數學現實，著眼于超越現實數學教學要立足于數學現實，著眼于超越現實

25、按照數學源于現實，也必須寓于現實，并且用按照數學源于現實，也必須寓于現實，并且用于現實的弗賴登塔爾于現實的弗賴登塔爾“數學現實數學現實”思想，數思想，數學教學必須緊密聯系實際。學教學必須緊密聯系實際。 數學教學必須聯系實際，而且要應用于實際。為了達數學教學必須聯系實際，而且要應用于實際。為了達到這個目的，教師可以從幾個方面努力：破除思維到這個目的，教師可以從幾個方面努力：破除思維定勢，主動樹立聯系實際的意識，并且要落到實處；定勢，主動樹立聯系實際的意識，并且要落到實處；作為老師，要加強數學史的學習，數學史是數學和作為老師，要加強數學史的學習，數學史是數學和現實結合的歷史，從這出發能更好的把握數

26、學的邏現實結合的歷史，從這出發能更好的把握數學的邏輯；輯；引入生活中的新鮮例子，這就要求老師要關心引入生活中的新鮮例子，這就要求老師要關心周圍的事物，了解他學科知識背景，并能從中抽象周圍的事物，了解他學科知識背景，并能從中抽象數學問題。數學問題。數學教學要聯系學生的實際，這個實際數學教學要聯系學生的實際，這個實際要立足于學生要立足于學生現有的水平，并以超越學生現有水平為目的現有的水平，并以超越學生現有水平為目的，使學，使學生感覺到數學的有用之處，這才是數學教學中運用生感覺到數學的有用之處，這才是數學教學中運用“數學現實數學現實”的關鍵點。的關鍵點。(2)(2)注重學生的數學化過程，提倡探究教學

27、注重學生的數學化過程，提倡探究教學 學生學生“數學化數學化”的過程，就是將學生的數學現實進一的過程，就是將學生的數學現實進一步提高、組織、抽象的過程。步提高、組織、抽象的過程。它可以分為五個水平：直觀階段、分析階段、抽象階它可以分為五個水平：直觀階段、分析階段、抽象階段、演繹階段和嚴謹階段。這一思維水平是根據兒段、演繹階段和嚴謹階段。這一思維水平是根據兒童思維發展與學習過程提出的，故而不是要求每個童思維發展與學習過程提出的，故而不是要求每個學生都要一次完成所有階段。數學教學中不能過分學生都要一次完成所有階段。數學教學中不能過分強調公理化的演繹和形式化的證明，而應符合學生強調公理化的演繹和形式化的證明，而應符合學生的年齡特征的年齡特征 。根據弗賴登塔爾提出的應該讓每個人在學習數根據弗賴登塔爾提出的應該讓每個人在學習數學的過程中，根據自己的體驗，用自己的思學的過程中，根據自己的體驗，用自己的思維方式，重新創造有關的數學知識的觀點。維方式，重