1、小學數學奧數基礎教程(五年級) -第15講本教程共30講孫子問題與逐步約束法在古書孫子算經中有一道題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”意思是：有一堆物品，三個三個數剩兩個，五個五個數剩三個，七個七個數剩兩個。求這堆物品的個數。我們稱這類問題為孫子問題。例1 一個數除以3余2，除以5余3，除以7余2。求滿足條件的最小自然數。分析與解：這道例題就是孫子算經中的問題。這個問題有三個條件，一下子不好解答。那么，我們能不能通過先求出滿足其中一個條件的數，然后再逐步增加條件，達到最終解決問題的目的呢？我們試試看。滿足“除以3余2”的數，有2，5，8，11，14，17

2、，在上面的數中再找滿足“除以5余3”的數，可以找到8，8是同時滿足“除以3余2”、“除以5余3”兩個條件的數，容易知道，8再加上3與5的公倍數，仍然滿足這兩個條件，所以滿足這兩個條件的數有8，23，38，53，68，在上面的數中再找滿足“除以7余2”的數，可以找到23，23是同時滿足“除以3余2”、“除以5余3”、“除以7余2”三個條件的數。23再加上或減去3，5，7的公倍數，仍然滿足這三個條件，3，5，7=105，因為23105，所以滿足這三個條件的最小自然數是23。在例1中，若找到的數大于3，5，7，則應當用找到的數減去3，5，7的倍數，使得差小于3，5，7，這個差即為所求的最小自然數。例

3、2 求滿足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然數。分析與解：與例1類似，先求出滿足“除以5余1”的數，有6，11，16，21，26，31，36，在上面的數中，再找滿足“除以7余3”的數，可以找到31。同時滿足“除以5余1”、“除以7余3”的數，彼此之間相差5×7=35的倍數，有31，66，101，136，171，206，在上面的數中，再找滿足“除以8余5”的數，可以找到101。因為1015，7，8=280，所以所求的最小自然數是101。在例1、例2中，各有三個約束條件，我們先解除兩個約束條件，求只滿足一個約束條件的數，然后再逐步加上第二個、第三個約束條件，最終求出了滿足全部

4、三個約束條件的數。這種先放寬條件，再逐步增加條件的解題方法，叫做逐步約束法。例3 在10000以內，除以3余2，除以7余3，除以11余4的數有幾個？解：滿足“除以3余2”的數有5，8，11，14，17，20，23，再滿足“除以7余3”的數有17，38，59，80，101，再滿足“除以11余4”的數有59。因為陽3，7，11=231，所以符合題意的數是以59為首項，公差是231的等差數列。（10000-59）÷231=438，所以在10000以內符合題意的數共有44個。例4 求滿足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然數。分析與解：如果給所求的自然數加3，所得數能同時被6，8，9

5、整除，所以這個自然數是6，8，9-3=72-3=69。例5學校要安排66名新生住宿，小房間可以住4人，大房間可以住7人，需要多少間大、小房間，才能正好將66名新生安排下？分析與解：設需要大房間x間，小房間y間，則有7x+4y=66。這個方程有兩個未知數，我們沒有學過它的解法，但由4y和66都是偶數，推知7x也是偶數，從而x是偶數。當x=2時，由7×2+4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一個解。因為當x增大4，y減小7時，7x增大28，4y減小28，所以對于方程的一個解x=2，y=13，當x增大4，y減小7時，仍然是方程的解，即x=2+4=6，y=13-7=6也是一個解。所

6、以本題安排2個大房間、13個小房間或6個大房間、6個小房間都可以。就是說，方程7x+4y=66有無數個解。由于這類方程的解的不確定性，所以稱這類方程為不定方程。根據實際問題列出的不定方程，往往需要求整數解或自然數解，這時的解有時有無限個，有時有有限個，有時可能是唯一的，甚至無解。例如：x-y=1有無限個解，因為只要x比y大1就是解；3x+2y=5只有x=1，y=1一個解；3x+2y=1沒有解。例6 求不定方程5x+3y=68的所有整數解。解：容易看出，當y=1時，x=（68-3×1）÷5=13，即x=13，y=1是一個解。因為x=13，y=1是一個解，當x減小3，y增大5時

7、，5x減少15，3y增大15，方程仍然成立，所以對于x=13，y=1，x每減小3，y每增大5，仍然是解。方程的所有整數解有5個：由例5、例6看出，只要找到不定方程的一個解，其余解可通過對這個解的加、減一定數值得到。限于我們學到的知識，尋找第一個解的方法更多的要依賴“拼湊”。  練習15 1.一個數除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小自然數。2.有一堆蘋果，3個3個數余1個，5個5個數余2個，6個6個數余4個。這堆蘋果至少有多少個？3.在小于1000的自然數中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然數是幾？4.在5000以內，除以3余1，除以5余2，除以7余3

8、的自然數有多少個？5.有一個兩位數，除以2與除以3都余1，除以4與除以5都余3，求這個數。6.用100元錢去買3元一個和7元一個的兩種商品，錢正好用完，共有幾種買法？7.五年級一班的43名同學去劃船，大船可坐7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少條？ 練習151.299。解：滿足除以5余4的數有4，9，14，19，24，再滿足除以8余3的數有19，59，99，139，179，219，259，299，339，再滿足除以11余2的最小自然數是299。2.82個。3.907。提示：滿足除以4余3，除以5余2，除以7余4的最小自然數是67。4，5，7=140，67+140×6=907。4.48個。提示：滿足除以3余1，除以5余2，除以7余3的最小自然數是52。3，5，7=105，（5000-52