1、數列知識點及常用解題方法歸納總結一、 等差數列的定義與性質0的二次函數）項，即：二、等比數列的定義與性質三、求數列通項公式的常用方法 1、公式法2、；3、求差（商）法 解： ， ，練習 4、疊乘法 解： 5、等差型遞推公式練習 6、等比型遞推公式練習 7、倒數法 ， ， ，三、 求數列前n項和的常用方法1、公式法：等差、等比前n項和公式2、裂項法：把數列各項拆成兩項或多項之和，使之出現成對互為相反數的項。解：練習 3、錯位相減法： 4、倒序相加法：把數列的各項順序倒寫，再與原來順序的數列相加。練習例1設an是等差數列，若a2=3，a=13，則數列an前8項的和為（ ）A128 B80 C64

2、D56 （福建卷第3題） 略解： a2 +a= a+a=16，an前8項的和為64，故應選C例2 已知等比數列滿足，則（ ）A64B81C128D243 （全國卷第7題）答案：A例3 已知等差數列中，若，則數列的前5項和等于（ ）A30B45C90D186 （北京卷第7題）略解：a-a=3d=9， d=3，b=，b=a=30，的前5項和等于90，故答案是C例4 記等差數列的前項和為，若，則該數列的公差（ ）A2 B3 C6 D7 （廣東卷第4題）略解：,故選B.例5在數列中，,其中為常數，則 （安徽卷第15題）答案：1例6 在數列中， ，則（ ）A B C D（江西卷第5題）答案：A例7 設數

3、列中，則通項 _（四川卷第16題）此題重點考查由數列的遞推公式求數列的通項公式，抓住中系數相同是找到方法的突破口略解： ，將以上各式相加，得，故應填+1例8 若(x+)n的展開式中前三項的系數成等差數列，則展開式中x4項的系數為( )A6B7C8 D9 (重慶卷第10題)答案：B使用選擇題、填空題形式考查的文科數列試題，充分考慮到文、理科考生在能力上的差異，側重于基礎知識和基本方法的考查，命題設計時以教材中學習的等差數列、等比數列的公式應用為主，如，例4以前的例題例5考查考生對于等差數列作為自變量離散變化的一種特殊函數的理解；例6、例7考查由給出的一般數列的遞推公式求出數列的通項公式的能力；例

4、8則考查二項展開式系數、等差數列等概念的綜合運用重慶卷第1題，浙江卷第4題，陜西卷第4題，天津卷第4題，上海卷第14題，全國卷第19題等，都是關于數列的客觀題，可供大家作為練習例9 已知an是正數組成的數列，a1=1，且點（）（nN*）在函數y=x2+1的圖象上. ()求數列an的通項公式； ()若數列bn滿足b1=1，bn+1=bn+，求證：bn·bn+2b2n+1. （福建卷第20題）略解：（）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以數列an是以1為首項，公差為1的等差數列故an=1+(n-1)×1=n.()由（）知，an=n，從而bn+1-bn=2n，bn=(b

5、n-bn-1)+(bn-1-bn-2)+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1. bnbn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2= -2n0, bn·bn+2b對于第（）小題，我們也可以作如下的證明： b2=1,bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+12n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n -2n+1）=2n（bn-2n）=2n（b1-2）=-2n<0， bn-bn+2<b2n+1.例10 在數列中，（）設證

6、明：數列是等差數列；（）求數列的前項和（全國卷第19題）略解：（）=1，則為等差數列， ，（），兩式相減，得=對于例10第（）小題，基本的思路不外乎推出后項減前項差相等，即差是一個常數可以用迭代法，但不可由b2-b1=1，b-b=1等有限個的驗證歸納得到為等差數列的結論，犯“以偏蓋全”的錯誤第（）小題的“等比差數列”，在高考數列考題中出現的頻率很高，求和中運用的“錯項相減”的方法，在教材中求等比數列前n項和時給出，是“等比差數列”求和時最重要的方法一般地，數學學習中最為重要的內容常常并不在結論本身，而在于獲得這一結論的路徑給予人們的有益啟示例9、例10是高考數學試卷中數列試題的一種常見的重要題

7、型，類似的題目還有浙江卷第18題，江蘇卷第19題，遼寧卷第20題等，其共同特征就是以等差數列或等比數列為依托構造新的數列主要考查等差數列、等比數列等基本知識，考查轉化與化歸思想，考查推理與運算能力考慮到文、理科考生在能力上的差異，與理科試卷側重于理性思維，命題設計時以一般數列為主，以抽象思維和邏輯思維為主的特點不同；文科試卷則側重于基礎知識和基本方法的考查，以考查具體思維、演繹思維為主例11 等差數列的各項均為正數，前項和為，為等比數列, ，且()求與； ()求和：（江西卷第19題）略解：()設的公差為，的公比為，依題意有解之，得或(舍去，為什么？)故（）， “裂項相消”是一些特殊數列求和時常

8、用的方法使用解答題形式考查數列的試題，其內容還往往是一般數列的內容，其方法是研究數列通項及前n項和的一般方法，并且往往不單一考查數列，而是與其他內容相綜合，以體現出對解決綜合問題的考查力度數列綜合題對能力有較高的要求，有一定的難度，對合理區分較高能力的考生起到重要的作用例12 設數列的前項和為，（）求；（）證明： 是等比數列；（）求的通項公式（四川卷第21題）略解：（），所以由知， 得， ，（）由題設和式知， 是首項為2，公比為2的等比數列（）此題重點考查數列的遞推公式，利用遞推公式求數列的特定項，通項公式等推移腳標，兩式相減是解決含有的遞推公式的重要手段，使其轉化為不含的遞推公式，從而有針對

9、性地解決問題在由遞推公式求通項公式時，首項是否可以被吸收是易錯點同時，還應注意到題目設問的層層深入，前一問常為解決后一問的關鍵環節，為求解下一問指明方向例13 數列滿足（I）求，并求數列的通項公式；（II）設， ，求使的所有k的值，并說明理由（湖南卷第20題）略解：（I）一般地, 當時， 即所以數列是首項為0、公差為4的等差數列，因此當時，所以數列是首項為2、公比為2的等比數列，因此故數列的通項公式為（II）由（I）知，=于是，.下面證明: 當時，事實上, 當時， 即又所以當時，故滿足的所有k的值為3,4,5.數列知識點回顧第一部分：數列的基本概念1理解數列定義的四個要點數列中的數是按一定“次

10、序”排列的，在這里，只強調有“次序”，而不強調有“規律”因此，如果組成兩個數列的數相同而次序不同，那么它們就是不同的數列在數列中同一個數可以重復出現項a與項數n是兩個根本不同的概念數列可以看作一個定義域為正整數集(或它的有限子集)的函數當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值，但函數不一定是數列2數列的通項公式一個數列 a的第n項a與項數n之間的函數關系，如果用一個公式a=來表示，就把這個公式叫做數列 a的通項公式。若給出數列 a的通項公式，則這個數列是已知的。若數列 a的前n項和記為S，則S與a的關系是：a=。第二部分：等差數列1等差數列定義的幾個特點： 公差是從第一項起，每一項減去它前一

11、項的差(同一常數)，即d = aa(n2)或d = aa (nN)要證明一個數列是等差數列，必須對任意nN，aa= d (n2)或d = aa都成立一般采用的形式為： 當n2時，有aa= d (d為常數)當n時，有aa= d (d為常數)當n2時，有aa= aa成立若判斷數列 a不是等差數列，只需有aaaa即可2等差中項若a、A、b成等差數列，即A=，則A是a與b的等差中項；若A=，則a、A、b成等差數列，故A=是a、A、b成等差數列，的充要條件。由于a=，所以，等差數列的每一項都是它前一項與后一項的等差中項。3等差數列的基本性質公差為d的等差數列，各項同加一數所得數列仍是等差數列，其公差仍為

12、d公差為d的等差數列，各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列，其公差為kd若 a、 b為等差數列，則 a±b與kab(k、b為非零常數)也是等差數列對任何m、n，在等差數列 a中有：a= a+ (nm)d，特別地，當m = 1時，便得等差數列的通項公式，此式較等差數列的通項公式更具有一般性、一般地，如果l，k，p，m，n，r，皆為自然數，且l + k + p + = m + n + r + （兩邊的自然數個數相等），那么當a為等差數列時，有：a+ a+ a+ = a+ a+ a+ 公差為d的等差數列，從中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是等差數列，其公差為kd( k為取出項數之

13、差)如果 a是等差數列，公差為d，那么，a，a，a、a也是等差數列，其公差為d；在等差數列 a中，aa= aa= md (其中m、k、)在等差數列中，從第一項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它前后兩項的等差中項當公差d0時，等差數列中的數隨項數的增大而增大；當d0時，等差數列中的數隨項數的減少而減小；d0時，等差數列中的數等于一個常數設a，a，a為等差數列中的三項，且a與a，a與a的項距差之比=（1），則a=4等差數列前n項和公式S=與S= na的比較前n項和公式公式適用范圍相同點S=用于已知等差數列的首項和末項都是等差數列的前n項和公式S= na用于已知等差數列的首項和公差5等差數列前n項

14、和公式S的基本性質數列 a為等差數列的充要條件是：數列 a的前n項和S可以寫成S= an+ bn的形式(其中a、b為常數)在等差數列 a中，當項數為2n (nN)時，SS= nd，=；當項數為(2n1) (n)時，SS= a，=若數列 a為等差數列，則S，SS，SS，仍然成等差數列，公差為若兩個等差數列 a、 b的前n項和分別是S、T(n為奇數)，則=在等差數列 a中，S= a，S= b (nm)，則S=(ab)等差數列a中，是n的一次函數，且點（n，）均在直線y =x + (a)上記等差數列a的前n項和為S若a0，公差d0，則當a0且a0時，S最大；若a0 ，公差d0，則當a0且a0時，S最

15、小第三部分：等比數列1正確理解等比數列的含義q是指從第2項起每一項與前一項的比，順序不要錯，即q = (n)或q = (n2)由定義可知，等比數列的任意一項都不為0，因而公比q也不為0要證明一個數列是等比數列，必須對任意n，= q；或= q (n2)都成立2等比中項與等差中項的主要區別如果G是a與b的等比中項，那么=，即G= ab，G =±所以，只要兩個同號的數才有等比中項，而且等比中項有兩個，它們互為相反數；如果A是a與b的等差中項，那么等差中項A唯一地表示為A=，其中，a與b沒有同號的限制在這里，等差中項與等比中項既有數量上的差異，又有限制條件的不同3等比數列的基本性質公比為q的

16、等比數列，從中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是等比數列，其公比為q( m為等距離的項數之差)對任何m、n，在等比數列 a中有：a= a· q，特別地，當m = 1時，便得等比數列的通項公式，此式較等比數列的通項公式更具有普遍性一般地，如果t ，k，p，m，n，r，皆為自然數，且t + k，p，m + = m + n + r + (兩邊的自然數個數相等)，那么當a為等比數列時，有：aaa = aaa 若 a是公比為q的等比數列，則| a|、a、ka、也是等比數列，其公比分別為| q |、q、q、如果 a是等比數列，公比為q，那么，a，a，a，a，是以q為公比的等比數列如果 a

17、是等比數列，那么對任意在n，都有a·a= a·q0兩個等比數列各對應項的積組成的數列仍是等比數列，且公比等于這兩個數列的公比的積當q1且a0或0q1且a0時，等比數列為遞增數列；當a0且0q1或a0且q1時，等比數列為遞減數列；當q = 1時，等比數列為常數列；當q0時，等比數列為擺動數列4等比數列前n項和公式S的基本性質如果數列a是公比為q 的等比數列，那么，它的前n項和公式是S=也就是說，公比為q的等比數列的前n項和公式是q的分段函數的一系列函數值，分段的界限是在q = 1處因此，使用等比數列的前n項和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是必不等于1，如果q可能等于1，

18、則需分q = 1和q1進行討論當已知a，q，n時，用公式S=；當已知a，q，a時，用公式S=若S是以q為公比的等比數列，則有S= SqS若數列 a為等比數列，則S，SS，SS，仍然成等比數列若項數為3n的等比數列(q1)前n項和與前n項積分別為S與T，次n項和與次n項積分別為S與T，最后n項和與n項積分別為S與T，則S，S，S成等比數列，T，T，T亦成等比數列二、難點突破1并不是所有的數列都有通項公式，一個數列有通項公式在形式上也不一定唯一已知一個數列的前幾項，這個數列的通項公式更不是唯一的2等差(比)數列的定義中有兩個要點：一是“從第2項起”，二是“每一項與它前一項的差(比)等于同一個常數”

19、這里的“從第2項起”是為了使每一項與它前面一項都確實存在，而“同一個常數”則是保證至少含有3項所以，一個數列是等差(比)數列的必要非充分條件是這個數列至少含有3項3數列的表示方法應注意的兩個問題： a與a是不同的，前者表示數列a，a，a，而后者僅表示這個數列的第n項；數列a，a，a，與集合 a，a，a，不同，差別有兩點：數列是一列有序排布的數，而集合是一個有確定范圍的整體；數列的項有明確的順序性，而集合的元素間沒有順序性4注意設元的技巧時，等比數列的奇數個項與偶數個項有區別，即：對連續奇數個項的等比數列，若已知其積為S，則通常設，aq， aq， a，aq，aq，；對連續偶數個項同號的等比數列，

20、若已知其積為S，則通常設，aq， aq， aq，aq，5一個數列為等比數列的必要條件是該數列各項均不為0，因此，在研究等比數列時，要注意a0，因為當a= 0時，雖有a= a· a成立，但a不是等比數列，即“b= a · c”是a、b、 c成等比數列的必要非充分條件；對比等差數列a，“2b = a + c”是a、b、 c成等差數列的充要條件，這一點同學們要分清6由等比數列定義知，等比數列各項均不為0，因此，判斷一數列是否成等比數列，首先要注意特殊情況“0”等比數列的前n項和公式蘊含著分類討論思想，需分分q = 1和q1進行分類討論，在具體運用公式時，常常因考慮不周而出錯數列基

21、礎知識定時練習題 （滿分為100分+附加題20分，共120分；定時練習時間120分鐘）一、選擇題（本大題共15小題，每小題3分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1下列四個數中，哪一個是數列中的一項 （ ） （A）380 （B）39 （C）35 （D）232在等差數列中，公差，則的值為（ ） （A）40 （B）45 （C）50 （D）55 3一套共7冊的書計劃每2年出一冊，若各冊書的出版年份數之和為13979，則出齊這套書的年份是（ ） （A）1997 （B）1999 （C）2001 （D）2003 4一個項數是偶數的等比數列，它的偶數項的和是奇數項和的2倍，又它的

22、首項為1，且中間兩項的和為24，則此等比數列的項數為（ ） （A）12 （B）10 （C）8 （D）6 5已知1是與的等比中項，又是與的等差中項，則的值是（ ） （A）1或 （B）1或 （C）1或 （D）1或6首項為24的等差數列，從第10項開始為正，則公差的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）37如果-1，a,b,c,-9成等比數列，那么（ ）（A）b=3,ac=9(B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-98在等差數列a中，已知a=2,a+a=13，則a+a+a等于（ ）A.40 B.42 C.43 D.459已知某等差數列共有10項，其奇數項之

23、和為15，偶數項之和為30，則其公差為（ ）A.5 B.4 C. 3 D. 210若互不相等的實數成等差數列，成等比數列，且，則（ ）A4 B2 C2 D411在等比數列an中，a11，a103，則a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 = （ ）A. 81 B. 27 C. D. 24312 在等比數列中,前項和為,若數列也是等比數列,則等于（ ）(A) (B) (C) (D)【點評】本題考查了等比數列的定義和求和公式，著重考查了運算能力。13設是公差為正數的等差數列，若，則（ ）A B C D14設是等差數列的前項和，若，則（ ）A B C D15設Sn是等差數列an的前n項和，若

24、，則 （ ）（A） （B） （C） （D）二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分.把答案填在題中橫線上）1在數列中，且，則 2等比數列的前三項為，則 3 若數列滿足：，2，3.則. 4設為等差數列的前n項和，14，S1030，則S9.5在數列中，若，則該數列的通項 。三、解答題（本大題共4小題，每小題10分，共40分）1已知為等比數列，求的通項式。2設等比數列的前n項和為，3 已知正項數列an，其前n項和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數列，求數列an的通項an .4數列的前項和記為（）求的通項公式；（）等差數列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數列，

25、求本小題主要考察等差數列、等比數列的基礎知識，以及推理能力與運算能力。滿分12分。1. A 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.B 解：由等比數列的性質可得ac（1）×（9）9，b×b9且b與奇數項的符號相同，故b3，選B 8.B 解：在等差數列中，已知 d=3，a5=14，=3a5=42，選B.9.C 解：，故選C. 10. D 解：由互不相等的實數成等差數列可設abd，cbd，由可得b2，所以a2d，c2d，又成等比數列可得d6，所以a4，選D 11.A 解：因為數列an是等比數列，且a11，a103，所以a2a3a4a5a6a7a8a9（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）（a1a10）43481，故選A 12.C