1、第一章 緒論1 緒論：數(shù)值分析的研究內(nèi)容2 誤差的來源和分類3 誤差的表示4 誤差的傳播5 算法設計的若干原則一、誤差的分類（絕對誤差，相對誤差）例1-1 設 x*=2.18是由精確值x 經(jīng)過四舍五入得到的近似值。問 x的絕對誤差限和相對誤差限各是多少？解：因為 x=x * 0.005 ，所以絕對誤差限為=0.005相對誤差限為二、有效數(shù)字定義 設數(shù) x 的近似值可以表示為其中 m 是整數(shù),i (i=1,2, , n) 是0到9 中的一個數(shù)字，而1 0. 如果其絕對誤差限為則稱近似數(shù) x* 具有 n 位有效數(shù)字。結論：通過四舍五入原則求得的近似數(shù)，其有效數(shù)字就是從末尾到第一位非零數(shù)字之間的所有

2、數(shù)字。例1-2 下列近似數(shù)是通過四舍五入的方法得到的，試判定它們各有幾位有效數(shù)字：x1* =87540，x2*=875410, x3*=0.00345, x4*= 0.3450 10-2解：我們可以直接根據(jù)近似數(shù)來判斷有效數(shù)字的位數(shù)，也可以通過絕對誤差限來判斷。已知有5位有效數(shù)字。同理可以寫出可以得出 x2 , x3 , x4 各具有4、3、4 位有效數(shù)字。 例1-3 已知 e =2.718281828, 試判斷下面兩個近似數(shù)各有幾位有效數(shù)字？解：由于而而所以e1有7位有效數(shù)字。同理：e2 只有6位有效數(shù)字。三、算法設計的若干原則 1：兩個很接近的數(shù)字不做減法: 2: 不用很小得數(shù)做分母(不用

3、很大的數(shù)做分子)練習： 求方程 x2-56x+1=0 的兩個根，使它們至少具有四位有效數(shù)字 第二章 插值與擬合1、Lagrange插值多項式,Newton插值多項式的構造與插值余項估計，及證明過程。 2、 Hermite插值多項式的構造與插值余項估計， 帶導數(shù)條件的插值多項式的構造方法，基于承襲性的算法，基函數(shù)法， 重節(jié)點差商表的構造； 3、分段插值及三次樣條插值的構造4、最小二乘擬合 掌握Lagrange 插值多項式的構造方法及具體結構 掌握Lagrange插值多項式誤差分析方法和證明方法 掌握Newton插值多項式的形式及誤差 掌握差商表的構造過程關于離散數(shù)據(jù)：Newton插值多項式：例1

4、-3 已知f(x) 的五組數(shù)據(jù)(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求 N4 (x)。如果再增加一個節(jié)點(6,282),求出N5(x)，并計算 N4(1.5)、N5(1.5).解：先由前五組數(shù)據(jù)列差商表1 0 2 2 23 12 10 44 42 30 10 25 116 74 22 4 0.56 282 166 46 8 1 0.1如果，再增加一點(6, 282),就在上表中增加一行計算差商由Newton公式的遞推式得到：得到：1. 高次插值的Runge 現(xiàn)象，應如何避免？ 2.分段性插值有何優(yōu)缺點？誤差估計？（插值節(jié)點的選擇） 3. Hermite插值的構造,

5、 誤差估計4.三次樣條函數(shù)的定義、構造過程5.數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法（可化為直線擬合的非線性擬合的處理方法）二、典型例題分析 例1. 令x00， x11，寫出y(x)e-x的一次插值多項式L1(x) ,并估計插值誤差（P55,t14題）第三章數(shù)值積分 插值型積分公式 Newton-Cotes 型求積公式 復化求積公式 Romberg算法 Gauss 型求積公式 數(shù)值微分(1 ,2)需要掌握：各種積分公式的原理，構造方法,利用公式計算積分， （復化）梯形公式，(復化)Simpson公式的余項表達式，代數(shù)精度Romberg算法的實現(xiàn)原理，計算，外推加速技術；Gauss型求積公式的構造方法；數(shù)值微分公

6、式的構造方法一、確定數(shù)值積分公式或數(shù)值微分公式，并推出余項 根據(jù)代數(shù)精度的概念 對Guass型求積公式，可借助Guass點與求積系數(shù)的關系確定參數(shù) 推導余項時，可設 對于數(shù)值微分公式，可構造適當?shù)牟逯刀囗検交驊肨aylor展開式推導二、計算定積分和函數(shù)的導數(shù)的近似值 對于給定的被積函數(shù)與求導函數(shù)，應用指定的數(shù)值積分公式或數(shù)值微分公式計算，t9,t12,t13,t18,t19，t25，t26等明確積分公式與微分公式三、確定復化求積公式和數(shù)值微分公式的步長或節(jié)點數(shù)，使計算結果滿足所給精度要求 根據(jù)復化求積公式和數(shù)值微分公式的余項或截斷誤差表達式，對滿足精度要求解一個相應的不等式，即可確定所需的步長或節(jié)點數(shù)插值 求各種類型的插值多項式，被插值函數(shù)f(x)在某些點處的近似值，并估計誤差 已知類型的插值條件，如Largrange，Newton，Taylor等 所給條件與已知類型部分一致的插值條件的構造方法(類似于Hermite插值構造)