1、學科：奧數教學內容：第14講 雞兔同籠問題知識網絡雞兔同籠問題是我國古代數學著作孫子算經中的一個流傳甚廣的數學趣題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各有幾何？翻譯成現代漢語語言為：今有雞兔共居一籠，已知雞頭與兔頭共35個，雞腳與兔腳共94只。問雞、兔各有幾只？這一古老的數學問題在現實生活中普遍存在，解法也多種多樣，但一般采用的是假設法。在解答應用題時，有時要采用“假設”的思想來分析，以找到解題途徑。用假設思想解應用題，首先要根據題意去正確地判斷應該怎樣假設，并根據所做的假設，注意數量關系發生的變化，從所給的條件與變化了的數量關系的比較中做出適當的調整，來找到正確答案。重點難點運

2、用假設法是求解這類可以轉化為雞兔同籠問題的應用題的關鍵。學法指導用假設法解應用題的步驟：一是要根據題意正確地判斷怎樣“假設”，二是依據假設，按照題目所給的數量關系進行推算，所得結果與題中對應的數量不符時，要能夠正確地運用別的已知量加以調整，三是進而得出正確的答案。經典例題例1一個農夫有若干只雞和兔，它們共有50個頭和140只腳，問雞、兔各有多少？思路剖析雞兔同籠問題適用的基本方法是假設法。假設這籠里全是雞，那么雞腳的總數應為：502=100（只），與實際相比較，腳減少的數為140100=40（只）。腳減少的原因是每把一只兔當作一只雞時，要少42=2（只）腳。所以實際的兔數是40（42）=20（

3、只），若先假設的全是雞，則先求出的是兔數。解答解法一：設全是雞，那么相應的雞腳數：502=100（只）與實際相比，腳減少的數：140100=40（只）兔腳與雞腳的差42=2（只）實際兔數為402=20（只）那么實際的雞數：5020=30（只）答：有雞30只，有兔20只。解法二：利用方程求解：設農夫有雞x只，那么有免（50x）只。那么雞有腳2x只，兔有腳4（50x）只。列方程為2x+4（5x）=140解方程2x+2004x=1402x=60 x=3050x=5030=20則雞有30只，兔有20只。解法三：（不拘于傳統的解法，讓我們的思維發散，更具有創造性。）農夫想知道雞、兔分別有多少只，他做了一

4、個有趣的設想，就是假設每只兔子又長出一個頭來，把它劈開，變成“一頭兩腳”的兩只“半兔”，半免和雞都有兩只腳，因而共有1402=70（只）頭，從而多出了7050=20（只）頭，這就是兔子的數目，雞的只數就是5020=30（只）。解法四：兔有4只腳，而雞有2只腳，不過雞有2只翅膀，如果把翅膀也當作腳，則雞、兔都有4只腳，于是腳有504=200（只），但題中翅膀不算腳，因而有翅膀200140=60（只），每只雞有兩只翅膀，則雞數為602=30（只），兔有5030=20（只）。解法五：農夫驚訝地看到雞、兔們非凡的表演：每只雞都用一只腳站立著，每只兔都用兩只后腿站立起來。這種情況下，地上的總腿數是原來的

5、一半，即70只腿，雞的腳數與頭數相同，而兔的腳數是頭數的兩倍，因此從70里減去總的頭數，剩下來的就是兔的頭數：7050=20（只），即有20只兔，那么有雞30只。解法六：我們還可以想像雞、兔們經過專門訓練后具有一些“特殊技能”，當它們聽到哨音后，雞飛起來，兔立即雙腳站立起來。這時立在地上的應該都是兔，它的腳數：140502=40（只）。因此有免：402=20（只），雞有：5020=30（只）。例2現有2分和5分的硬幣共40枚，共值125分，問兩種硬幣各多少放？思路剖析利用假設法，假設40枚硬幣全是2分的，則面值為80分，與實際相比減少了12580=45（分），是由于把每個5分硬幣少算了52=3

6、（分）造成的，則可知有5分硬幣453=15（枚）。解答設全為2分的，則共值240=80（分）與實際相比少12580=45（分）由于假設造成的差值52=3（分）則有5分硬幣453=15（枚），2分硬幣4015=25（枚）。答：有5分硬幣15枚，2分硬幣25枚。點津由假設造成的與實際的差值45分，是與把5分硬幣當作2分硬幣產生的差值相關的，而不是僅與5分硬幣有關。例3某次的小學數學奧林匹克競賽，共有20道題，評分標準是：每做對一題得5分，每做錯或不做一題扣3分。小貝貝參加了這次競賽，得了68分，問：小貝貝做對了幾道題？思路剖析假設小貝貝20道題全做對了，他應該得205=100（分），比實際上多了1

7、0068=32（分），產生這一差異的原因是把做錯或沒做的題也算作做對的了，需要注意的是，做錯或不做一題比做對一題應少得5+3=8（分），因此小貝貝做錯或不做的題數：328=4（道）。解答20（52068）（5+3）=20328=204=16（道）答：小貝貝做對了16道題。點津由于做錯和不做的題不但不得分，還要扣掉分數，那么與做對一道題相比，就不是簡單相減的關系，而應該求和得出。類似于零上5與零下3相差是8，而不是2。例4農場工人上山植樹造林，綠化祖國，晴天時每人每天植樹20棵，雨天時每人每天植樹12棵，工人張寧接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：張寧植樹這些天共有幾個雨天？思路剖析

8、題目中雖然沒有問張寧工作了幾天，但總共做了多少天是一個關鍵量，須先求出來。天數=總量平均數=11214=8（天）。要求有多少個雨天，可假設每天都是晴天，那么應植208=160（棵），與實際相比，多植160112=48（棵），是把雨天植樹量當作20棵造成的，2012=8（棵）是實際植樹量與假設的差值。因此有雨天：488=6（天）。解答20（11214）112（2012）=（160112）8=488=6（天）答：張寧植樹這些天總共有6個雨天。例5“和尚分饅頭”題，記載于我國明代算法統宗。現代文譯文：大和尚與小和尚共100名，分配100個饅頭，大和尚每位給3個，小和尚3個人給1個，問大、小和尚各有多

9、少人？思路剖析假設都是小和尚。因為小和尚3個人給1個饅頭，分配100個饅頭，應該有小和尚3l00=300（人），比實際多了300100=200（人）。是由于把大和尚看做小和尚造成的，由于大和尚每位給3個饅頭，相當于給9位小和尚的量。由于假設出現的差值即為9l=8（人），那么大和尚的人數2208=25（人）。解答（3100100）（331）=（300100）8=2008=25（人）10025=75（人）答：大和尚有25人，小和尚有75人。點津本題中給出的條件“大和尚每位給3個，小和尚3個人給1個”，無法直接求出大、小和尚在人數或在饅頭數上的差值，需通過條件中給出的比例關系求得。例6四年級某班有學

10、生68人，為了更好地學習，同學們自愿結成了14個學習小組。這些小組有的3人，有的5人，有的7人。而且3人組與5人組的組數相同。問三種學習小組各有幾組？思路剖析前面的例題中，總體中的數量總是“非此即彼”只有兩種，而本題中出現了3種，似乎有些復雜。但題目中有個很重要的條件“而且3人組與5人組的組數相同”，是否可以利用這個條件將此題也轉化成我們熟悉的雞兔同籠題呢？我們將“3人組與5人組組數相同”這個條件，轉化為將他們組成4人組，那么組數應為這兩組的組數和，因為4是3和5的平均數。那么分組情況可以看做是兩類：4人組和7人組。假設都是4人組，那么應有人數：414=56（人），與實際人數的差值：6856=

11、12（人），由于假設出現的差值：74=3（人），則7人組的組數：123=4（組）。解答（68414）（74）=（6856）3=123=4（組）那么3人組與5人組的組數（144）2=5（組）答：學習小組中3人組和5人組各有5組，7人組有4組。例7有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿，蜻蜓6條腿、兩對翅膀，蟬6條腿、一對翅膀），問蜻蜒有多少只？思路剖析依照例6的思路，我們應當將三種昆蟲分成兩類，從而將題目轉化成與雞兔同籠結構相同的題。分析題中的已知條件，找到可以歸成一類的突破口。三種昆蟲有兩種有翅膀，一種沒翅膀，顯然不能按此劃分。三種昆蟲都有腿，而且其中兩種腿數

12、相同，與例6思路相同，將三種昆蟲按腿數分成兩類：8腿蟲和6腿蟲。假設18只昆蟲都是8腿蟲，則有腿818=144（條），與實際腿數的差值144118=26（條），由于假設造成的差值86=2（條），那么有6腿蟲：262=13（只），知道了6腿蟲的總數，就可以按翅膀對數再將它們分成兩類：2對翅膀和1對翅膀。則又轉化成一道雞兔同籠結構的題目。假設13只昆蟲都有2對翅膀，則有213=26（對），與實際翅膀數的差值2620=6（對），由于假設造成的差值21=1（對），那么蟬（一對翅膀）有：61=6（只）。解答（818118）（86）=（144118）2=262=13（只）6腿蟲數（21320）（21）=（

13、2620）1=6（只）1對翅膀蟲數136=7（只）2對翅膀蟲數答：蜻蜓有7只。點津恰當地把多組事物根據其特點劃分成兩類，轉化成雞兔同籠結構的題目是解題的關鍵。當組數大于2時，有時需要在同一題中解決多于1次的雞兔同籠結構的題目，才能求得最終結果。發散思維訓練1動物園里有一群鴕鳥和大象，它們共有36只眼睛和52只腳，問鴕鳥和大象各有多少？2養殖場共養雞、兔180只，已知雞腳總數比兔腳總數多180只。問養的雞、兔各多少只？3學校有象棋、跳棋共20副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供60個學生進行活動。問象棋與跳棋各有多少副？4雞、兔共有腳140只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳160只。問

14、原有雞、兔各幾只？5老師教同學們練跳繩，若一次能連續跳8個，老師獎給同學4塊巧克力；若跳不夠8個，則退給老師2塊。王芳同學一共練了10次，得到28塊巧克力。問王芳有幾次沒跳夠8個？6有6個謎語，讓50人猜，共猜對了202個。已知每人至少猜對2個，且猜對2個的有5人，猜對4個的有9人，猜對3個和5個的人數一樣多，那么，6個全猜對的有多少人？7現有大、小水桶共50個，每個大桶可裝水6千克，每個小桶可裝水3千克，大桶比小桶總共多裝水30千克。問大、小桶各多少個？8小張是車工，平均每天車某種零件50個，每車好一個正品，可為企業創造財富14元，但車壞一個要損失96元。某天，他為企業創造了480元的財寶，

15、這一天他車出的正品是多少個？9模擬考試已舉行了24次，共出了試題426道，每次出的試題數不同，或者25題，或者16題，或者20題，那么，其中有25道試題的有多少次？10傳說九頭鳥有九頭一尾，九尾鳥有九尾一頭。今有頭510個，尾590個，問：兩種鳥各有多少個？參考答案發散思維訓練1解：由于每只動物有兩只眼睛，由題意可知動物園里鴕鳥和大象的總數為：362=18（只），假設鴕鳥和大象一樣也有4只腳，那么腳總數為：184=72（只），與實際的差值為：7252=20（只），由假設引起的差值：42=2（只），則鴕鳥數：202=10（只），大象數：1810=8（頭）。答：鴕鳥有10只，大象有8頭。2解：假設

16、180只全是雞，則兔腳數為0，則雞腳數比兔腳數多：2180=360（只），與實際相比：360180=180（只），由假設造成的差值：2+4=6（只）。那么實際的兔數是：1806=30（只）雞數為：18030=150（只）答：養的雞為150只，兔為30只。3解：假設象棋也可供6個人下，則可供620=120（人）學生進行活動。與實際相比，12060=60（人），由假設造成的差值：62=4（人）。那么實際的象棋數為604=15（副）跳棋數為2015=5（副）答：象棋有15副，跳棋有5副。4解：由于雞換成兔，兔換成雞，腳的只數增加了20只。故原來的兔比雞少202=10（只），減去這10只雞，則雞、兔一

17、樣多，并且共有腳：140210=120（只）。假設雞、兔各有3只腳（雞、兔腳數的平均數），那么雞、兔共有120340（只），雞、兔各有402=20（只），實際的雞數為：20+10=30（只）。答：原有雞30只、兔20只。5解：假設王芳10次都跳夠8個，則應得巧克力410=40（塊）。與實際相比，4028=12（塊）。由于跳不夠，不但沒得到巧克力，還要返還2塊。那么由假設造成的差值為4+2=6（塊）。王芳沒有跳夠的次數：126=2（次）。答：沒跳夠8個的次數為2次。6解：猜謎情況總共有5種，其中已知猜對2個的有5人、猜對4個的有9人，則猜對3、5、6個的人數：5059=36（人），共猜對的題數：

18、2022549156（個）。由于猜對3個和5個的人數一樣多，可以把他們看作為猜對4個的人。假設36個人都猜對了6個，那么共猜對的題數為636216（個），與實際相比，216156=60（個），由假設造成的差值64=2（個），則猜對4個的人數：602=30（人），那么猜對6個的人數：3630=6（人）。答：有6人全猜對。7解：假設50個桶都是大桶，則共裝水650=300（千克），而此時小桶裝水為0，與實際相比，相差30030=270（千克）。若將大桶換成小桶，則每換一個，大桶裝的水就減少6千克，小桶裝的水增加3千克，大桶比小桶多裝的重量就減少：6+3=9（千克），那么小桶的個數：270930（個）大桶的個數：5030=20（個）答：大桶有20個，小桶有30個。8解：假設小張這天車出的零件全部是正品，那么應創造的財富為：1450=700（元），可實際只有480元，其差額是700480=220（元）。根據題意：如果車壞一個零件要減少14+96=110（元），那么車壞零件的個數：220l102（個），零件正品個數：502=48（個）。答：他車出的正品是48個。9解：假設24次考試，每次都是16題，則并考