1、第三章微分中值定理與導數(shù)應用第一節(jié)微分中值定理教學目的：理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。教學重點：羅爾定理、拉格朗日中值定理。教學難點：羅爾定理、拉格朗日中值定理的應用。教學內(nèi)容：一、羅爾定理1.羅爾定理幾何意義：對于在a,b上每一點都有不垂直于X軸的切線，且兩端點的連線與X軸平行的不間斷的曲線 f(X)來說，至少存在一點 C,使得其切線平行于 X軸。矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡A從圖中可以看出：符合條件的點出現(xiàn)在最大值和最小值點，由此得到啟發(fā)證明羅爾定理。為應用方便，先介紹費馬(Fermat)引理聞創(chuàng)溝燴鐺險愛氌譴凈。費馬引理設函數(shù)f(X)在點Xo的某鄰域U(x

2、0)內(nèi)有定義.并且在 焉處可導.如果對任 意 X U(Xo).有 f(X)-f(X)(或 f(x)亠f(Xo).那么 f(Xo) =0證明：不妨設X U(Xd)時，f(x)空f(xo)(若f(X) - f(X0)，可以類似地證明)f(Xo岡-壯人)0；而當.：x ：0 時,f(Xo：x)-f(x°)_o；0xLX根據(jù)函數(shù)f(x)在 焉處可導及極限的保號性的得3+ixf'(Xo)，4X)=limf(Xo 為區(qū))_0所以f'(xo) =0,證畢.定義導數(shù)等于零的點稱為函數(shù)的駐點(或穩(wěn)定點，臨界點).羅爾定理如果函數(shù)f(R滿足：(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù).(2)在開區(qū)間(a

3、,b)內(nèi)可導(3)在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f (a) = f(b).那么在(a,b)內(nèi)至少在一點 <a ：: b)使得函數(shù)fg在該點的導數(shù)等于零，即f')=o 殘騖樓諍錈瀨濟溆塹籟。證明：由于f(x)在a,b上連續(xù)，因此必有最大值M和最小值m，于是有兩種可能的情形：(1) M =m，此時f(x)在a,b上必然取相同的數(shù)值M，即f(x)二M.由此得f (x) =0.因此，任取：(a,b)，有f ( ) =0.(2) Mm,由于f(a)二f(b)，所以M和m至少與一個不等于 f (x)在區(qū)間a,b端點處 的函數(shù)值.不妨設M=f(a)(若m"(a),可類似證明),則必定在

4、(a,t)有一點使f( )=M.因 此任取x，a,b有f(x)乞f(J,從而由費馬引理有 f ( J=0.證畢釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。例1驗證羅爾定理對f(x) =X2 -2x-3在區(qū)間-1,3上的正確性2解 顯然f(x)=x -2x-3 =(x-3)(x，1)在-1,3上連續(xù)，在 (-1,3)上可導，且 f(T) =f(3) =0,又 f (x) =2(x-1),取 =1,(1(T,3),有 f ( )=0.說明：1若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足，其結論可能不成立；2使得定理成立的可能多于一個，也可能只有一個.例如y = x,x-2,2在-221上除f (0)不存在外，滿足羅爾定理的一切條

5、件，但例如 yuJXXN01除了 x=0點不連續(xù)外，在0,1上滿足羅爾定理的一切條0, x =0件，但在區(qū)間0,1上不存在使得f)= 0的點例如y = X, X 0,1.除了 f(0)= f (I)外，在0,1上滿足羅爾定理的一切條件，但在區(qū)間0,1上不存在使得f)= 0的點又例如y =cosx, ，-滿足定理的一切條件，而=0,-2 22.羅爾定理的應用羅爾定理1 )可用于討論方程只有一個根；2)可用于證明等式.例2證明方程x5 -5x 1 = 0有且僅有一個小于 1的正實根證明：設 f(x)=x5-5x 1，則 f(x)在0,1上連續(xù)，且 f(0)-1,f(1)3.由介值定理存在Xo (0

6、,1)使f(x°) =0,即人為方程的小于1的正實根.設另有x< (0,1),X1 =Xo,使f(x,)=0.因為f(x)在x0,x1之間滿足羅爾定理 的條件，所以至少存在一個(在x0,x1之間)使得f ( ) =0.但f (x) =5(x4 -1) ：0,(x (0,1),矛盾,所以X0為方程的唯一實根.拉格朗日中值定理的證明就是羅爾定理證明等式的一個例子(見后面)二、拉格朗日(Lagrange )中值定理1.拉格朗日中值定理在實際應用中，由于羅爾定理的條件(3)有時不能滿足，使得其應用受到一定限制。如果將條件(3)去掉，就是下面要介紹的拉格朗日中值定理彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡。

7、拉格朗日中值定理如果函數(shù)f (x)滿足(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù).(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導.那么在(a,b)內(nèi)至少有一點( :：: b).使得等式謀養(yǎng)摶篋飆鐸懟類蔣薔。f(b) - f (a) = f'( )(b - a)成立幾何意義：上述等式可變形為f ( r)，等式右端為弦 AB的斜率，于是在區(qū)間a, b上b a不間斷且其上每一點都有不垂直于X軸切線的曲線上，至少存在一點C,使得過C點的切線平行于弦 AB.當f(a) = f(b)時，羅爾定理變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ恚戳_爾定理是拉格 朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，下面用羅爾定理證明拉格朗日中值定理廈礴懇

8、蹣駢時盡繼價騷。一、f (b) - f (a) /、. .分析與證明：弦ab的方程為 y- f (a)(x-a).曲線f(x)減去弦b _aAB，所得曲線AB兩端點的函數(shù)值相等作輔助函數(shù)F(x) = f(x)-f(a)f(b) -f(a)b a(x-a)于是f(x)滿足羅爾定理的條件，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得f)=o.又卩二廠-口血，所以f ()二丄血b -ab - a即在(a,b)內(nèi)至少有一點 (a：: b)，使得 f (b) - f (a) = f'( )(b-a).證畢說明：1. f (b) - f(a)二f'( J(b - a)又稱為拉格朗日中值公式(簡稱拉氏

9、公式)，此公式對于b : a也成立；2拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關系；當設 f(x)在a,b|上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導時，若Xo,(a, b),則有 f(X。：x) - f(X。)= f(X。n ：x) ：x (0： 1)煢楨廣鰳鯡選塊網(wǎng)羈淚。當 y = f(x)時，也可寫成：y = f (x0 k：x) ：x (0 ：二：1)試與微分dy = f (x)比較：dy = f (x)是函數(shù)增量 y的近似表達式.而y = f (x0 v x)x (0 ： v : 1)是函數(shù)增量 紹的精確表達式，所以拉格朗日中值公式又稱為有限增量公式，拉格朗日中值

10、定理又稱有限增量定理鵝婭盡損鶴慘歷蘢鴛賴。推論 若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上導數(shù)恒為零，則f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù)2.拉格朗日中值定理的應用拉格朗日中值定理 1)可用于證明等式；2)可用于證明不等式例 3 證明 arcsinx arccosx(-1 空 x 空 1)2證明：設 f (x)二 arcsin x arccosx, x -1,1由于 f (x) = . 1+()=0 ,所以 f (x)三C, x匕一1,1斗1 _x2_x2JqrTT又 f(0) =arcsin0 arccos0 =0，即 C .222故 arcs in x arccosx .2x例4證明當x 0時，In(V x) ：

11、 x1 +x證明：設f(x)=ln(1 x)，則f (x)在0, x上滿足拉氏定理的條件于是 f(x) f(0) = f ( )(x 0),(0 ：x)1x又 f (00, f (x) 一，于是 ln(1 x) 1 +x11 1而 0 ： ： x,所以 1 d： 1 x,故11+x 1+©從而亠：:亠:x,即xln(1 X) ： x1+x1+r1+x三、柯西中值定理柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,且f (b) -f(a) _ f ()成立籟叢媽羥為贍債蟶練淨 F(b)F(a) _F'()幾何解釋：設曲線弧C由參數(shù)方程=F(

12、x)(a EX蘭b)表示.其中x為參數(shù)，如果曲線CJ = f (x)上除端點外處處具有不垂直于橫軸的切線.那么在曲線 C上必有一點X =.使曲線上該點的切線平行于連結曲線端點的弦AB .曲線C上點X二'處的切線的斜率為空二LU 弦 abdX F 徨)'的斜率為gf(b)-f(a)F(b)-F(a)f ()F()即在曲線弧AB上至少有一點C(F( ), f()，在該點處的切線平行于弦 AB.預頌圣鉉儐歲齦訝驊糴。yJX =F(x)N:XBoF(a)厝)F(x)FG)F(b) X證明：作輔助函數(shù)(x) = f (x) - f (a)f(b)-f(a) F(b)-F(a)F(x)-F

13、(a)則(x)滿足羅爾定理的條件， 于是在(a, b)內(nèi)至少存在一點，使得)=0,即°,所以如他=亠.證畢 baF(b) F(a) F (勺特別地 當 F(x)二 x時,F(b) - F(a)二 b - a, F (x) = 1由 f (b) - f (a) _ f ()有 f (b) _ f (a) = f( j F(b) -F(a) F ( )b - a即f (b) - f(a)二f)(b-a),故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣例5設函數(shù)f (x)在0,1上連續(xù)，在 (0,1)內(nèi)可導證明：至少存在一點匕丘(0)1)，使f ( )=2

14、f(1)-f(0)證明與分析：結論可變形為f(1)-f(0)= f 徉)(x)i_o _ 2©x£2設g(x) = x ,則f (x), g(x)在0,1上滿足柯西中值定理的條件于是至少存在一點甘屆 f(1) f (0)f 化)(0,1)，使1-0 2所以至少存在一點f(1) - f (0) f ()(01)，使=V21-0 2即 f ( )=2 f(1)-f(0)四、小結羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例， 而拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣 ；拉格朗 日中值定理是柯西中值定理的特例， 而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣 滲釤嗆儼勻諤 鱉調(diào)硯錦。注意中值定理成立的條件五

15、、作業(yè)作業(yè)卡:P24P27第二節(jié)洛必達法則教學目的：理解洛必達法則，掌握用洛必達法則求2型和二型以及0:型0O0未定式的極限的方法；了解0°1：,：0型極限的求法教學重點：洛必達法則教學難點：理解洛必達法則失效的情況，0 ：,：-：:型的極限的求法.教學內(nèi)容：一. 0型和匸型未定式的解：法洛必達法則0 :定義：若當Xr a (或Xr -，)時，函數(shù)f (x)和f(x)都趨于零(或無窮大)，則極限Hm f (x) 令 F(x)可能存在、也可能不存在，通常稱為0型和二型未定式.例如lim 啞，(0 型)；x 0 x 0limx 0In sin axIn sin bx,型).QO定理：設(

16、1)當x > 0時，函數(shù)f (x)和F(x)都趨于零；在a點的某去心鄰域內(nèi),f (x)和F (x)都存在且F (x) = 0 ；(3) |im f(X)存在(或無窮大),xx JF(x)則 lim f(x) =lim f(x)x_aF(x) JF(x)定義：這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則證明：定義輔助函數(shù)forf (x),0,F(x),在U(a,6)內(nèi)任取一點x,在以a和x為端點的區(qū)間上函數(shù) £(x)和r(x)滿足柯西中值定理的條件，則有f(x) =f(x)_f(a) =4,(在 a與 x之間)F(x) F(x)F(a) F (

17、)當x > 0時,有.> a,所以當血竺二A,有iimH2 _axT F x)J F故lim丄色=lim丄Q =A證畢x a F (x) a F ()說明：1如果lim匸兇 仍屬于 乞型,且f (x)和F (x)滿足洛必達法則的條件,可繼續(xù)使用洛 T F x)0必達法則，即 lim =lim=lim f (x)=;t F(x) TF(x) TF”(x)2. 當Xr 時，該法則仍然成立，有l(wèi)im f （X）=jm f （X）；3對x a （或x-'）時的未定式蘭，也有相應的洛必達法則Q04. 洛必達法則是充分條件；5. 如果數(shù)列極限也屬于未定式的極限問題，需先將其轉(zhuǎn)換為函數(shù)極

18、限，然后使用洛必達法則，從而求出數(shù)列極限.例1求lim坦蟲,（0型）X_px 0解原式=limxT(tanx) =lim(x) x Q2sec x1X3 - 3x 2例2求叫/沙12解原式=36xlimx 16x 22n-arctanx0 42, ( 0 型)11X22XT=1 X0解原式=x=Ximc1 + 2X例 4 求 limln沁，型).Tlnsinbx 00解原式=acosax sinbx= lim°SbX=1 x°bcosbxsin axx cosax例5求lim衛(wèi)竺，（型）x 2tan3x原式=lim SeC2Xx 尹sec 3x_ lim 沁 _x fsin

19、2x6cos6x limcos2x21 cos 3x _ 1-6cos3xsin 3x-lim 2 _一 lim3x_； cos x 3x，黒-2 cosxsinx注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結合使用，效果更好例6求limx_0tan x -xx2 tan x解原式_lim竺戶x 0 x2 2sec x11 tan x 1lim2_ lim丁 _x 0 3x 3 x x 3二.0 R嚴-°°,00,1",°°0型未定式的求法關鍵：將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型0型和竺型0 :1. o=：型未定式的求法

20、11步驟：0 :-,或 0 ：= 0 O007 求 lim x2ex-x .2.ex原式 _ lim 2 _ limx卄xx ：2x=limxi： 2=+oC1 1-n0丄).x0-0例8求lim ( xt> sinxx si nx 解原式_ limx 0 x sinx（:-：）型lim cosx =0.x0 sin x xcosxli3. 00,1步驟:00嚴QO°取對數(shù)0 l n 0：In 1= ° ：.0 ln :xirm xx.(00 )型Inxxlnx解原式=叫elim x In xex 0'lim x 010e =i.例 10 求 lim一（仁）型

21、原式pme丄lnx1 _xlim巴 =ex 制-xlim eU0(:11 求 lim (cot x)lnxx 0 由于(cot x)lnx = e1ln(cot x) ln x而 lim ln(cot x) |imx 0 | n xx QcotxsinXlimxp cosx sin x所以原式=e 注意：洛必達法則的使用條件.例 12 求 lim x cosxX h x解原式nxmpmsinx）.極限不存在（洛必達法條件不滿足的情況）正確解法為原式=lim （1 丄cosx） -1.n兀 2n 二2n)2)x例 13 求朝tan (7+；)f (x) =tanx(2)，貝V f(n) =tan

22、4 x因為 Jimf(X)=expJmxlntan(4jrln tan(+ 2)x2 二sec (=exp!m：-+ 2)(- 7)4x x = e兀tan(4+2)X從而 原式=lim.f( n) = lim=f (x) = e三小結1. 洛必達法則是求 0型和二型未定式極限的有效方法，但是非未定式極限卻不能使0 :用。因此在實際運算時，每使用一次洛必達法，必須判斷一次條件。擁締鳳襪備訊顎輪爛薔。2. 將等價無窮小代換等求極限的方法與洛必達法則結合起來使用，可簡化計算。3. 洛必達法則是充分條件，當條件不滿足時，未定式的極限需要用其他方法求，但不能說此未定式的極限不存在。4. 如果數(shù)列極限也

23、屬于未定式的極限問題，需先將其轉(zhuǎn)換為函數(shù)極限，然后使用洛必達法則，從而求出數(shù)列極限四.作業(yè)作業(yè)卡：P28P30第三節(jié)泰勒公式教學目的：理解泰勒中值定理，掌握常見泰勒公式。教學重點：泰勒中值定理。教學難點：泰勒中值定理和泰勒中值定理的應用。教學內(nèi)容：一、泰勒(Taylor)中值定理的引入對于一些較復雜的函數(shù) .為了便于研究.往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達 ，由于 用多項式表示的函數(shù).只要對自變量進行有限次加、減、乘三種運算 .便能求出它的函數(shù)值. 因此我們經(jīng)常用多項式來近似表達函數(shù) .贓熱俁閫歲匱閶鄴鎵騷。在微分的應用中已經(jīng)知道 .當X很小時.有如下的近似等式：xe 1x.| n(1 x)

24、x這些都是用一次多項式來近似表達函數(shù)的例子，但是這種近似表達式還存在著不足之處：首先是精確度不高.這所產(chǎn)生的誤差僅是關于 x的高階無窮小其次是用它來作近似計 算時.不能具體估算出誤差大小 .因此.對于精確度要求較高且需要估計誤差時候.就必須用怡高次多項式來近似表達函數(shù) .同時給出誤差公式.壇搏鄉(xiāng)囂懺蔞鍥鈴氈淚。設函數(shù)f(x)在含有的開區(qū)間內(nèi)具有直到n 7階導數(shù).現(xiàn)在我們希望做的是：找出一個關于x _ x。的n次多項式R(x)二a。ax-x。)a2(x-xo)2an(x-x°)n來近似表達 f (x).要求p (x)與f(x)之差是比(xXo)n高階的無窮小.并給出誤差|R(x)| =

25、|f (x) - P(x)| 的具體表達式-我們自然希望pn(x)與f (x)在x。的各階導數(shù)(直到n 1階導數(shù))相等.這樣就有Pn(x) =a° ai(x-x。) a2(x-x。)2an(x-x°)nP(x)二 ai 2a2(x - x。)nan(x - x。)"R(x) =2a2 3 2 a3(x x。) n(n1)an(xx。)"Pn(x)=3! a3 4 3 2a4(x-x°)n(n - 1)(n - 2)a.(x - x。)-，P：n)(x) = n!a.于 是 Pn(Xo)=ao，Pn(Xo)=ai，Pn(x°)=2!a2

26、，Pn(Xo)=3!a3pJ(Xo) = n!an 按要求有 f（X。）= Pn（x。）=a。. f（X。）= Pn（x°） =3 .f（X。）= Pn（x。）=2a? f (x。)= Pn(x。)=3!a3f(n)(x。)= p：n)(x。)= n!a從而有 a。二 f （x。） . a 二 f （x。）.比二可彳（X。）.a3=3!f"(Xo).耳=訂 f(n)(x。),即 ak二訂 f (k)(xo) (k 二 1,2/ ,n).于是就有Pn（X）=f（X。）f（X°）（X-X。）1 f（X）（X-X。） -込 f 5認）&-X°）n .2

27、 n!二、泰勒中值定理泰勒中值定理 如果函數(shù)f （x）在含有x。的某個開區(qū)間（a,b）內(nèi)具有直到n + 1階導 數(shù).則當X在（a,b）內(nèi)時.f（x）可以表示為x_x。的一個n次多項式與一個余項 Rn（x）之 和，即卩蠟變黲癟報倀鉉錨鈰贅。11f（X）二 f（X。） f （x°）（x-x。） 1 f（X°）（X-X。）2V f（%。）&-怡）“ Rn（x）2!n!f（n41）化）其中Rn（x）帚韋（X-XD）n1介于X。與X之間）.證明：由假設，Rn（x）在（a,b）內(nèi)具有直到（n，1）階導數(shù)，且兩函數(shù)R（x）及（X-X。）"1在以Xo及X為端點的區(qū)間上滿足

28、柯西中值定理的條件，得(x-x。)(X-X。)-。- (n . 1)(R：G）（ E介于Xo與X之間）nRn( 1)(n 1)( i -xo)nRn( 1)-Rn(x。)(n 1)( 1 Xo)n 一0 =兩函數(shù) 尺(x)及(n 1)(x-Xo)n在以X。及1為端點的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件Rn"(：2)(匕介于xo與x之間),n(n 1)( I -Xo)n丄此下去,經(jīng)過(n 1)次后，得Rf) =0,所以RnUx)二f (n1)(x)則由上式得R (x) _ f 2( ) (x x)n1介于xo與x之間).證畢 n - (n +1!(說明：1.這里多項式R(x) = f (Xo

29、)f(Xo)(x Xo) f Xo)亠 亠 f_(x 一 Xo)"'2!n!稱為函數(shù)f (x)按xx°的幕展開的n次近似多項式公式2 f(xrf(xo) f(xo)(xxo)2fggx。)2存叭砒切"稱為f (x)按x x的幕展開的n階泰勒公式.而Rn(x)的表達式f (n旳心3. Rn(x)(1)7(xo)n 1介于xo與x之間)稱為拉格朗日型余項4當n二o時.泰勒公式變成f(x)二f(xo) - f'( J(x-Xo)( 介于xo與x之間)一拉格朗日中值公式，因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，買鯛鴯譖曇膚遙閆擷凄。5.如果對于某個固定的

30、n .當x在區(qū)間(a,b)內(nèi)變動時.f(n+)(x)總不超過一個常數(shù) m.f(n(E)m則有估計式| Rn(x)円(X -xo)n半代 |X -Xo |n 1及l(fā)im- =oxrXo(x_Xo)n可見.當x y a時.誤差R(x)是比(x_x。)-高階的無窮小.即Rn(x) =O(X -X)n)，該余項稱為皮亞諾形式的余項，6. 在不需要余項的精確表達式時.n階泰勒公式也可寫成1 2 1 n n nf(X)二 f (Xo)f (Xo)(X - Xo)f (Xo)(XXo) A < f ")(Xo)(X - Xo)" o(x - Xo)")2!n!7. 當X。

31、= 0時的泰勒公式稱為麥克勞林(Maclaurin)公式就是f (x)二 f(0) f (0)x 丄_0x2 2!f(n)(0)晉 xn W)xn o(xn) n!f (n制化) 其中Rn(x)=_F評xn1&由此得近似計算公式f(x) ： f (0) f (0)xf(n)(0)xn誤差估計式變?yōu)镮RmUIxin1三、簡單的應用例1求f (x) =ex的n階麥克勞林公式解 由于 f (x)二 f(X)二 二 f (n)(x)(n)所以 f (0) = f (0) = f (0)=f (n)(0) =1而f(n 1)xe"代入公式，得2nex=1 xxx2!n!(n 1)!xn

32、 1 (O u : 1).由公式可知2nex : 1 x n!2!估計誤差設(X 0)尺(x)en*x (n +1)!(n 1)廣(0_ °取 x=1,e 1112!.1 ,其誤差n!Rn ： ()!3<(n 1)!例2.求f (x)=sin x的n階麥克勞林公式.解：因為 f (n)(x)二sin(x nn -1,2,或 f(x)= f(0) f (0)x f°2x2叫°)所以 f(0) =0, f (0) =1, f (0) =0, f (0) =T, f(4) (00,是刑*評尹冊“ gx).當m =1,2,3時.有近似公式sin x x, sinx：

33、 X#x31 3 1 5sin x：x x3 x53!5!例3計算X4X2e 2cosx -3 limX 0解由于ex21x2 才 o(x4)24 x x ,5、 c o x = 1o(x )2!4!所以e1+ 24!)x4+o(x4)712744故原式=r石x+o(x)四、常用函數(shù)的麥克勞林公式3X sin x = x 3!(-1)2n 1X/ 2n2、+ o(x )(2n 1)!2 xcosx =1 -x4ln(1 - x)丄=11 -x(1 x)m五、小結Taylor六、作業(yè)2!4!6X + 6!(-1)2nn(ho(x2n)23x 丄X=X 23n卅(-1)nX o(xn1)n +1o

34、(xn)=1 mx x2 m(m)(mn1)xn o(xn)n!2!公式在近似計算中具有非常重要的應用第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性教學目的：理解函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性的判定定理，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 和曲線的凹凸區(qū)間。教學重點：掌握用一階導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和利用二階導數(shù)判斷曲線的凹凸性的方法。教學難點：導數(shù)不存在的連續(xù)點、也可能是單調(diào)區(qū)間和曲線的凹凸區(qū)間的分界點。 教學內(nèi)容：一、函數(shù)單調(diào)性的判定法如果函數(shù)y = f (x)在a,b上單調(diào)增加(單調(diào)減少).那么它的圖形是一條沿 X軸正向上升(下降)的曲線，這時曲線的各點處的切線斜率是非負的(是非正的).即y 二f(x) 一 0 (或/ =

35、 f x)< 0)由此可見.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的符號有著密切的關 系,綾鏑鯛駕櫬鶘蹤韋轔糴。反過來.能否用導數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調(diào)性呢？定理1 (函數(shù)單調(diào)性的判定法)設函數(shù)y=f(x)在a,b上連續(xù).在(a,b)內(nèi)可導“(1)如果在(a,b)內(nèi)f "(x) a 0 .那么函數(shù)y = f (x)在a,b上單調(diào)增加；如果在(a,b)內(nèi)f "(x) c o .那么函數(shù)y = f(x)在a,b上單調(diào)減少，證明 只證(1) (2)可類似證得)在a,b上任取兩點x15 x2 (X < x2).應用拉格朗日中值定理得到f(X2)- f (xj 二 f ( )(X2 - xj

36、 (Xi :：: X2)由于在上式中x X10 .因此.如果在(a, b)內(nèi)導數(shù)f(X)保持正號.即f (x) 0 -那么也有f) 0，于是f(X2)- f (Xi) = f ( )(X2 - Xi) 0從而f(xj Vf(x2)，因此函數(shù)y= f (X)在a,b上單調(diào)增加，證畢注：判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間例1判定函數(shù)y = xsinx在0,2兀上的單調(diào)性解 因為在（0,2：）內(nèi)y = 1 - cosx 0所以由判定法可知函數(shù) y = x - sinx在0,2兀上單調(diào)增加，例2討論函數(shù)y = ex - x -1的單調(diào)性，解 由于y' = ex1且函數(shù)y = ex_x_1的定義

37、域為（珀盧立）令 y"=o,得 x=0,因為在（-°o,0）內(nèi) y" cO .所以函數(shù) y = ex - x -1 在（一 °°,0 上單調(diào)減少；又在（0, +辺）內(nèi)/>0 .所以函數(shù)y = ex - x -1在0,+閃）上單調(diào)增加例3 .討論函數(shù)鳥仝.x2的單調(diào)性，解：顯然函數(shù)的定義域為（乂，*跡），而函數(shù)的導數(shù)為丫"=3 （x式0）所以函數(shù)在x二0處不可導又因為x ： 0時y - 0 .所以函數(shù)在（-：,0上單調(diào)減少因為x 0時.y> 0,所以函數(shù)在0,+處）上單調(diào)增加，說明：如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù) .除去有限個導數(shù)

38、不存在的點外導數(shù)存在且連續(xù).那么只要用方程f（x）= 0的根及導數(shù)不存在的點來劃分函數(shù) f（x）的定義區(qū)間.就能保證f（x） 在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號.因而函數(shù)f（x）在每個部分區(qū)間上單調(diào) .驅(qū)躓髏彥浹綏譎飴憂錦。例4 .確定函數(shù)f（x） =2x3-9x2 12x-3的單調(diào)區(qū)間，解該函數(shù)的定義域為（-°0,+辺）.而 f （x） =6X2 -18x 12=6（x-1）（x-2），令 f （x）=0,得兒=1,x2 二 2列表x(嚴11,22嚴)f（X）+f(x)/函數(shù)f（x）在區(qū)間（-°°,1和2,+處）內(nèi)單調(diào)增加.在區(qū)間 1,2 上單調(diào)減少3例5.討論函數(shù)

39、y = x的單調(diào)性，解函數(shù)的定義域為函數(shù)的導數(shù)為：y = 3x2,除x= 0時.y'O外.在其余各點處均有 y . 0因 此函數(shù)y = x3在區(qū)間（-二,0上單調(diào)減少.因為當xo時.yo,所以函數(shù)在0,+°°）及0,+辺）上都是單調(diào)增加的 從而在整個定義域（：，：）內(nèi)y = x3是單調(diào)增加的.其在x= 0處曲線有一水 平切線.貓蠆驢繪燈鮒誅髏貺廡。說明：一般地.如果f （x）在某區(qū)間內(nèi)的有限個點處為零.在其余各點處均為正（或負）時那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的 .鍬籟饗逕瑣筆襖鷗婭薔。例6,證明：當x 1時.2、x-丄,x111證明：令 f（x

40、）=2、x-（3-丄）則 f（x）22（x、x-1）xVx x2 x2因為當x 1時.f (X) 0 因此f(x)在1/ :)上單調(diào)增加.從而當x 1時f(x) f(1)又由于 f(1)=0 故 f(x) f(1) = 0即2仮（3丄）0 .也就是2低3-丄,（x a 1）,xx二、曲線的凹凸與拐點1.凹凸性的概念：定義 設f (x)在區(qū)間I上連續(xù).如果對I上任意兩點x1, x2 .恒有x1 x22f (Xi) f(X2)2那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧)如果恒有f(Xi X2) f(Xi) f(X2)(2廠 2 那么稱f(X)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧).則則稱定義

41、.設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù).如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點的切線的上方, 稱該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點的切線的下方， 該曲線在區(qū)間I上是凸的2.曲線凹凸性的判定定理 設f (x)在a b上連續(xù).在(a -b)內(nèi)具有一階和二階導數(shù).那么(i)若在(a,b)內(nèi)f (x) 0.則f(x)在a,b上的圖形是凹的若在(a,b)內(nèi)f (x) 0 .則f(x)在a,b上的圖形是凸的，證明 只證(i)(2)的證明類似)，設 x1, x< a,b ,(x ： x2) 記 乂。/1?%2由拉格朗日中值公式.得f (Xi) - f (Xo) = f ( 1)(X1 -Xo)

42、= f ( i)為-x22X ： x0X2 一為X2 Xi2f (X2)- f (Xo) = f ( 2)(X2 - Xo) = f ( 2)兩式相加并應用拉格朗日中值公式得f(Xi) f(X2)-2f(Xo)=f ( 2)-f ( 1) ( )(2一1)寧0.1：2即f(xi)2f(x2) f(Xi2X2)所以f(力在qb上的圖形是凹的拐點：連續(xù)曲線y=f(力上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點確定曲線y = f(x)的凹凸區(qū)間和拐點的步驟：(1) 確定函數(shù)y = f(x)的定義域(2) 求出在二階導數(shù) f(x)(3) 求使二階導數(shù)為零的點和使二階導數(shù)不存在的點(4) 判斷或列表判斷.確定出

43、曲線凹凸區(qū)間和拐點注：根據(jù)具體情況(1)、( 3)步有時省略“例V 判斷曲線y = In x的凹凸性.解：y =x y 一羽因為在函數(shù)y=| nx的定義域(0/ :)內(nèi).y'： 0 .所以曲線y=l nx是凸的3例2.判斷曲線y二x的凹凸性，解：因為 y#3x2 . y” = 6x 令y Jo 得 X = 0當X£0時.y“c0 所以曲線在(一00 ,0內(nèi)為凸的；當x 0時y" 0 .所以曲線在0, * )內(nèi)為凹的例3 .求曲線y =2x3 3x2 -12x 14的拐點解：y'： =6x2 6x-12 y =12x 6 = 6(2x 1)'令 y =

44、 0 .得.因為當x < -2時y " ： 0 - 當 x -2時.y 0 .所以點(-舟-20寸)是曲線的拐點例4 .求曲線y = 3x4 4x3亠1的拐點及凹、凸的區(qū)間，解：函數(shù)y=3x44x3+1的定義域為(一°%+°0)；y =12x3 _12x2 丫，36x2 "xPexd-f)(4)列表判斷：堯側閆繭絳闕絢勵蜆瓚。（皿、0）0(0 . 2/3)2/3(2/3 gf “（X）+00+f(x)31C11/27在區(qū)間（比，0和2乜上曲線是凹的.在區(qū)間o 2上曲線是凸的，點（0,1）和，3，吐），3，(i，m3 27是曲線的拐點，例5問曲線y

45、= x4是否有拐點?32解 y" = 4x y = 12x .當x式o時.y>o .在區(qū)間（旳,+臨）內(nèi)曲線是凹的.因此曲線無拐點,例6 ,求曲線y =3的拐點,解函數(shù)的定義域為（-*）* 1y"2"皆-一9 ；（3）函數(shù)無二階導數(shù)為零的點，二階導數(shù)不存在的點為X = 0 判斷：當X0時./ o - 當 x 0時.y :：: 0因此點（0,0） 是 曲線的拐點三、小結曲線的彎曲方向曲線的凹凸性；凹凸性的判定改變彎曲方向的點一一拐點；拐點的求法1,2.四、作業(yè)作業(yè)卡：P31P33第五節(jié)函數(shù)極值與最大值最小值教學目的：理解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值和最大值、最

46、小值的求法及其簡 單應用教學重點：函數(shù)的極值概念、函數(shù)極值的判斷方法和求法教學難點：函數(shù)極值的概念教學內(nèi)容：一、函數(shù)的極值及其求法定義設函數(shù)f(x)在X。的某一鄰域U(Xo)內(nèi)有定義.如果對于去心鄰域 U(Xo)內(nèi)的任一 X，有f(x) :： f(Xo)(或f(x) f(Xo).則稱f(x。)是函數(shù)f(x)的一個極大值(或極小值)識饒鎂錕縊灩筧嚌儼淒。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.說明：函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的，如果f(x。)是函數(shù)f (X)的一個極大值那只是就X0附近的一個局部范圍來說.f(Xo)是f (X)的一個最大值如果就f(x)的整個定義

47、域來說.f(X。)不一定是最大值，對于極小值情況類似.凍鈹鋨勞臘錯癇婦脛糴。極值與水平切線的關系：在函數(shù)取得極值處.曲線上的切線是水平的.但曲線上有水平切線的地方.函數(shù)不一定取得極值，恥諤銪滅縈歡煬鞏鶩錦。由費馬引理可得定理1 (必要條件)設函數(shù)f (X)在點X。處可導.且在X。處取得極值.那么函數(shù)在X。處的導數(shù)為零.即f(X。)=0 .定理1可敘述為：可導函數(shù)f(x)的極值點必定是函數(shù)的駐點但是反過來.函數(shù)f (X)的駐點卻不一定是極值點 考察函數(shù)f(x)=x3在x=0處的情況.顯然x=0是函數(shù)f(x)=x3的駐點，但x = 0卻不是函數(shù)f (x) = x3的極值點.定理2 (第一種充分條件

48、)設函數(shù)f (x)在點X。處連續(xù).在X。的某去心鄰域U(x。廠)內(nèi)可導 若 X (X。-、；，Xo)時，f(X) 0 .而 X (Xo ,Xo，)時，(x) ：: 0 .則函數(shù) f (x) 在Xo處取得極大值 若 X (Xo -、，Xo)時，f(X)：: 0 .而 X (Xo, Xo、)時，f (x) 0 .函數(shù) f (x)在x0處取得極小值如果X，U(Xo.)時，f(X)不改變符號.則函數(shù)f (X)在x0處沒有極值.定理2(第一種充分條件)設函數(shù)f (X)在含Xo的區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù).在(a,Xo)及(Xo, b)內(nèi)可導(1)如果在(a,Xo)內(nèi)f'(x) 0 .在 (Xo，b)內(nèi)

49、f'(x) ：0 .那么函數(shù)f (x)在x處取得極 大值-如果在(a,Xo)內(nèi)f'(x) : 0 .在(xo,b)內(nèi)f'(x)0 .那么函數(shù)f (x)在x處取得極小值如果在(a,Xo)及(xo,b)內(nèi)f'(x)的符號相同.那么函數(shù)f (x)在Xo處沒有極值.定理2也可簡單地敘述為：當X在Xo的鄰近漸增地經(jīng)過 Xo時.如果f'(x)的符號由負變 正.那么f(x)在Xo處取得極大值如果f'(x)的符號由正變負.那么f (X)在Xo處取得極 小值如果f'(x)的符號并不改變.那么f(x)在x0處沒有極值.鯊腎鑰詘漣鉀溈懼統(tǒng)庫。確定極值點和極值的

50、步驟 ：(1) 求出導數(shù)f'(x)(2) 求出f(x)的全部駐點和不可導點列表判斷(考察f'(x)的符號在每個駐點和不可導點的左右鄰近的情況.以便確定該點是否是極值點.如果是極值點.還要按定理2確定對應的函數(shù)值是極大值還是極小值)碩癘鄴頏謅攆檸攜驤蘞。(4)確定出函數(shù)的所有極值點和極值.例1求出函數(shù)f(X)二x -3x2 -9x 5的極值解 f (x) =3x2 6x 9 =3(x 1)(x-3)令f (x)二0,得駐點X - - 1,X2 = 3.列表討論X(r-1)-1(-1,3)3(3,咼)f (X)+00+f (X)極大值1極小值所以極大值f (-1) =10,極小值f

51、 (3) - -22 - -22.函數(shù)f(x) =x3 -3x2 -9x 5的圖形如下y例2求函數(shù)f (x) =(x -4)3 (x 1)2的極值解 顯然函數(shù)f(x)在(：，：)內(nèi)連續(xù).除x = -1外處處可導.且f (x)丄筍2令f '(X).得駐點X =1 , X = 1為f(x)的不可導點 3縱燈(3)列表判斷X(-°°,T)7(-1,1)1(1,p)f'(x)+不可導0+f(x)/0/所以極大值為f (-1) = 0 .極小值為f=33、4 .如果f (x)存在二階導數(shù)且在駐點處的二階導數(shù)不為零則有定理3 (第二種充分條件)設函數(shù)f(x)在點X。處具

52、有二階導數(shù)且 f'(x°)=O(X。)=0 .那么(1)當f ”(x0) ： 0時.函數(shù)f (x)在x0處取得極大值(1)當f ”(x°) 0時.函數(shù)f(x)在x0處取得極小值證明 對情形.由于f “(X。)：:： 0 .由二階導數(shù)的定義有f (X0)= lim f(x) f (X0)ox0X X0根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性.當X在x0的足夠小的去心鄰域內(nèi)時.(x) _ f (x )但f'(X0)=所以上式即為于是對于去心鄰域內(nèi)的X來說.f (x)與x-x0符號相反，因此.當x-x0 :： 0即 X : X0 時.f (X)0 當 X - X00 即 XX0 時.f(X):： 0 .根據(jù)定理 2f (X)在x0處取得極大值，閿擻輳嬪諫遷擇植秘騖。類似地可以證明情形(2).說明：如果函數(shù)f(x)在駐點X0處的二導數(shù)f”(X0)=O 那么該點X0 一定是極值點.并 可以按f ”(x0)的符來判定f (x0)是極大值還是極小值但如果f ”(冷)=0 .定理3就不能 應用，氬嚕躑竄貿(mào)懇彈濾頷澩。43例如討論函數(shù)f(x)二x . g(x)二x在點x =0是否有極值？32因為 f(X)=4x . f (x) -12x，所以 f (0) =0