1、二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式定理:a b n =C0an Clab C：anJV C：bn （ N ”）等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做a b的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中各項(xiàng)的系數(shù)Ck （k =0,1,2,3n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)。對(duì)二項(xiàng)式定理的理解：（1）二項(xiàng)展開(kāi)式有n 1項(xiàng)（2）字母a按降幕排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由 n逐項(xiàng)減1到0；字母b按升幕排列，從 第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由 0逐項(xiàng)加1到n（3） 二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a, b，等式都成立，通過(guò)對(duì) a,b取不同 的特殊值，可為某些問(wèn)題的解決帶來(lái)方便。在定理中假設(shè)a = 1, b二x，則1 x n =C；xn C：xn“ C：xn（ n N ”）（4） 要注意

2、二項(xiàng)式定理的雙向功能：一方面可將二項(xiàng)式（a + bf展開(kāi)，得到一個(gè)多項(xiàng)式；另一方面，也可將展開(kāi)式合并成二項(xiàng)式a b n二、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：丁二C：aZbk二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng) Tk 1二Ckan°bk （k =0,1,2,3n）是二項(xiàng)展開(kāi)式的第 k 1項(xiàng)，它體現(xiàn)了二項(xiàng)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)、 系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律， 是二項(xiàng)式定理的核心，它在求展開(kāi)式的某些特定項(xiàng)（如含指定幕的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等）及其系數(shù)等方面有廣泛應(yīng)用對(duì)通項(xiàng) Tk1 二C：an'bk （k =0,1,2,3 n）的理解:（1）字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同（2）a與b的次數(shù)之和為n（3）在通項(xiàng)公式中

3、共含有a, b, n,k,Tk1這5個(gè)元素，知道4個(gè)元素便可求第5個(gè)元素A. 4： B。3 4： Co - -1 D.4133例2. (1 )求(12x)7的展開(kāi)式的第四項(xiàng)的系數(shù)；193(2)求(X)9的展開(kāi)式中X3的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)+X三、二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)的性質(zhì)：對(duì)稱(chēng)性：在二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即COn 1n1 2n_2kn _k .n -Cn，Cn -Cn ，Cn -Cn ， Cn - Cn ，增減性與最大值：在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。n如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即n偶數(shù)：C： max ；nn卅如果

4、二項(xiàng)式的幕指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大，即Ck max二CF二CF二項(xiàng)展開(kāi)式的各系數(shù)的和等于2n，令a=1，b=1即cO+C： +C； =(1+1)n =2n ；奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，令a = 1， b=-1即0 2 1 3 nC n Cn_Cn C n_211例題：寫(xiě)出(x-y)的展開(kāi)式中:(1 )二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；(3 )項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng);(4) 二項(xiàng)式系數(shù)的和；(5) 各項(xiàng)系數(shù)的和四、多項(xiàng)式的展開(kāi)式及展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(1 )求多項(xiàng)式(印 a an)n的展開(kāi)式，可以把其中幾項(xiàng)結(jié)合轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再利用 二項(xiàng)

5、式定理展開(kāi)。1例題：求多項(xiàng)式(X22 -2)3的展開(kāi)式x(2)求二項(xiàng)式之間四則運(yùn)算所組成的式子展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，可以先寫(xiě)出各個(gè)二項(xiàng)式的通 項(xiàng)再分析。例題：求(1 X)2 (1-X)5的展開(kāi)式中X3的系數(shù)例題:(1)如果在X 2的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)。(2 )求-2 的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)。【思維點(diǎn)撥】 求展開(kāi)式中某一特定的項(xiàng)的問(wèn)題時(shí)，常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定k五、展開(kāi)式的系數(shù)和求展開(kāi)式的系數(shù)和關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則根據(jù)所求的展開(kāi)式系數(shù)和特征來(lái)定例題：已知（1 -2x）7 = a0 - a1x - a2x整除性問(wèn)題或求余數(shù)的處理方法 解決這類(lèi)問(wèn)題，必須構(gòu)造

6、一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式 用二項(xiàng)式定理處理整除問(wèn)題，通常把幕的底數(shù)寫(xiě)成除數(shù)的倍數(shù)與某數(shù)k的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，這里的k通常為一1，若k為其他數(shù)，則需對(duì)幕的底數(shù)k再次構(gòu)造 a7x7，求：(1)aia2丨 I ( 'a7；( 2)aia3a5*7 ；( 3)|a。| |ai| 11 ( | a71.六、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用:1、二項(xiàng)式定理還應(yīng)用與以下幾方面：(1)進(jìn)行近似計(jì)算(2 )證明某些整除性問(wèn)題或求余數(shù)(3)證明有關(guān)的等式和不等式。如證明：2>2n(n >3, nw N 取 2“ = (1 +1 j的展開(kāi)式中的四項(xiàng)即可。2、各種問(wèn)題的常用處理方法(1) 近似

7、計(jì)算的處理方法當(dāng)n不是很大，| x |比較小時(shí)可以用展開(kāi)式的前幾項(xiàng)求(1 - x)n的近似值。例題：(1.05)2 和或差的形式再展開(kāi)，只考慮后面(或者是某項(xiàng))一、二項(xiàng)就可以了 要注意余數(shù)的范圍，對(duì)給定的整數(shù)a,b(b = 0)，有確定的一對(duì)整數(shù) q和r，滿(mǎn)足a = bq r , 其中b為除數(shù)，r為余數(shù)，r b,|b】，利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)，要注意轉(zhuǎn)換成正數(shù) 例題：求201363除以7所得的余數(shù)的計(jì)算結(jié)果精確到 0.01的近似值是()A. 1.23B. 1.24C. 1.33D. 1.34例題：若n為奇數(shù)，則7n «：7心，C；7n， 弋：7被9除得的余數(shù)是()

8、A. 0 Bo 2Co 7D.81例題：當(dāng) n N 且 n >1,求證 2 (1)n ： 3n【思維點(diǎn)撥】 這類(lèi)是二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，它的取舍根據(jù)題目而定綜合測(cè)試、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的10在X _ 3的展開(kāi)式中,x6 *的系數(shù)為A. 27C：oB.27C：oC - 9C6o4D. 9C4o已知 a b 0,b = 4a,a b n的展開(kāi)式按a的降幕排列,其中第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)相等，那么正整數(shù)n等于A. 4B.C. 10D.11已知(.an的展開(kāi)式的第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的系數(shù)的比為11 :2,則A. 10B. 11C

9、4. 5310被8除的余數(shù)是A. 1B. 2c12D.13()3D.7()1.33D.1.34二項(xiàng)式 2- 41I VxA. 1B. 2C. 31 1t，其二項(xiàng)式系數(shù)之和為h,若t+h=2 72，則展開(kāi)7.設(shè)(3x3+x2)n展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為式的x(1.05)6的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是A. 1.23B. 1.24C.項(xiàng)的系數(shù)是A. 1B. 1C. 22&在(V x-x2)6的展開(kāi)式中x5的系數(shù)為D. 3( )A. 4B. 5C. 6D. 7（；宵琲）n展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和等于1024，則所有項(xiàng)的系數(shù)中最大的值是10.11.A. 330B. 462C.680D. 7

10、90C.X 1)4(X -1)5的展開(kāi)式中,4X的系數(shù)為A. 40B. 10C.40D. 45二項(xiàng)式（1+sinx）n的展開(kāi)式中，末尾兩項(xiàng)的系數(shù)之和為且系數(shù)最大的一項(xiàng)的值為則x在0 , 2 n 內(nèi)的值為A.或上6312.在（1+X）5 + （1+X）6+（1+X）7的展開(kāi)式中，含X4項(xiàng)的系數(shù)是等差數(shù)列an=3n 5 的A.第2項(xiàng)B. 第11項(xiàng)C. 第20項(xiàng)D. 第24項(xiàng)二、填空題：本大題滿(mǎn)分 16分，每小題4分，各題只要求直接寫(xiě)出結(jié)果 13. （x2 -丄）9展開(kāi)式中X9的系數(shù)是 .2x14. 若（2x + J3 ） =a° +ax + +a4X，則（a。+a? +a4 f - +a

11、3 f 的值為15. 若（x3，x ）n的展開(kāi)式中只有第 6項(xiàng)的系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是 16. 對(duì)于二項(xiàng)式（1-x） 1999，有下列四個(gè)命題:展開(kāi)式中 T1000 =1000999 ；C1999X ； 展開(kāi)式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是1; 展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1000項(xiàng)和第1001項(xiàng); 當(dāng)x=2000時(shí)，（1-X） 1999除以2000的余數(shù)是1.三、解答題：本大題滿(mǎn)分 74分.A17.三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.（12分）若（6 x 6）n展開(kāi)式中第二、<x（1）求n的值；（2）此展開(kāi)式中是否有常數(shù)項(xiàng)，為什么?118. （12分）已知（2x）n的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的

12、和等于37,求展式中二項(xiàng)4式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù).19. （12分）是否存在等差數(shù)列 a、使a1C0n a2C； a3c2 an .Q； = n公對(duì)任意n 3 n*都成立？若存在，求出數(shù)列 'an ?的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20. （ 12分）某地現(xiàn)有耕地100000畝，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加 22%，人均糧食占 有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增加率為 1%,那么耕地平均每年至多只能減少多少 畝（精確到1畝）？21. (12分)設(shè)f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、nN)，若其展開(kāi)式中，關(guān)于x的一次項(xiàng)系數(shù)為11 ,試問(wèn)：m、n取何值時(shí)，f(x)的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值，并求出這個(gè)最小值.這是22. ( 14分)規(guī)定C；二一以一山1)，其中xR,m是正整數(shù)