1、用計(jì)算機(jī)在局部范圍內(nèi)驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想_數(shù)學(xué)論文    用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，首先要把問(wèn)題的已知條件和要求搞清楚，然后確定算法，再用某種計(jì)算機(jī)語(yǔ)言來(lái)實(shí)現(xiàn)。最后通過(guò)運(yùn)行程序，找出問(wèn)題的解答來(lái)。由于計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度快、存儲(chǔ)的信息量大、并且有邏輯判斷能力等特點(diǎn)，用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，有時(shí)要比手工算法簡(jiǎn)練得多。比如，許多數(shù)學(xué)猜想都是經(jīng)過(guò)大量的試驗(yàn)之后才提出來(lái)的。但如果用手工進(jìn)行試驗(yàn)，計(jì)算速度慢不說(shuō)，試驗(yàn)次數(shù)一多，人可能很快就煩了。而計(jì)算機(jī)可以不厭其煩地把所有可能的情況一一羅列出來(lái)，并從中篩選出滿足條件的解，這種方法就是計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)中最常用的窮舉法。  &#

2、160;  用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的另一外好處是，當(dāng)程序運(yùn)行時(shí)，你可以親眼在屏幕上看到計(jì)算機(jī)按照你的意愿把計(jì)算結(jié)果以圖形或文字的形式一步一步地展現(xiàn)在你的眼前。     由于計(jì)算機(jī)語(yǔ)言有很多種，為了讓廣大的讀者能看得懂程序，我們選擇中學(xué)生比較熟悉的QBASIC語(yǔ)言作為程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言。其實(shí)，用什么語(yǔ)言都是次要的，關(guān)鍵要掌握用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題 一般方法。     本文將圍繞一些著名的數(shù)學(xué)猜想，討論用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想，討論用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想的一般方法。     數(shù)學(xué)是研究客觀世界中數(shù)學(xué)關(guān)系和空間形式的

3、一門(mén)學(xué)科，數(shù)量之間的關(guān)系本來(lái)是一種客觀存在，數(shù)學(xué)家的聰敏過(guò)人之處就在于他能夠在茫茫的數(shù)字海洋中找出隱蔽著的客觀存在，并能從理論上證明它的正確性，雖然數(shù)學(xué)家們能夠發(fā)現(xiàn)某些客觀規(guī)律，但卻無(wú)法證明它是正確的，這就是所謂的數(shù)學(xué)猜想。     縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)許多還沒(méi)有被人們所證實(shí)的數(shù)學(xué)猜想，最著名的可能要數(shù)哥德巴赫猜想了。     德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫（Goldbach）在1972年寫(xiě)給大數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）的一封信中提出過(guò)這樣的猜測(cè)：每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，每個(gè)不小于9的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和。  

4、60;  哥德巴赫本人對(duì)許多偶數(shù)和奇數(shù)進(jìn)行了檢驗(yàn)，都說(shuō)明這個(gè)猜測(cè)是正確的。但是自然數(shù)是無(wú)限的，不可能對(duì)所有的偶數(shù)都進(jìn)行檢驗(yàn)，所以就不能肯定哥德巴赫的猜測(cè)是一條定理。因此，后人稱之為哥德巴赫猜想。其中，第二個(gè)猜想可以由第一個(gè)猜想直接推出，所以，一般人們所說(shuō)的哥德巴赫猜想是第一個(gè)猜想。    200多年來(lái)，盡管一些偉大的數(shù)學(xué)家為證明哥德巴赫猜想付出了巨大的努力，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)先生離摘取這顆數(shù)學(xué)皇冠上的明珠只差一步之遙。然而，時(shí)至今日，它仍然是一個(gè)我們所熟悉的既不能證明也不能推翻的命題    要想攻克一個(gè)數(shù)學(xué)猜想，可以從兩

5、個(gè)方向去考慮：或者證明它的正確性，或者舉出一個(gè)反例否定它，無(wú)論是從理論上嚴(yán)格的證明，還是找到一個(gè)反例否定它，都算是解決了這一數(shù)學(xué)問(wèn)題。     但是，對(duì)于一個(gè)著名的數(shù)學(xué)猜想來(lái)說(shuō)，要想從理論上證明它的正確性，是一件相當(dāng)困難的事。而想要找到一個(gè)反例否定它，同樣有如大海撈針。     在這里，我們不想妄談如何證明一個(gè)數(shù)學(xué)猜想，只是想談一下如何利用計(jì)算機(jī)的高速計(jì)算能力驗(yàn)證一個(gè)數(shù)學(xué)猜想。     由于計(jì)算機(jī)程序一旦設(shè)計(jì)好之后就可以快速準(zhǔn)確地計(jì)算并打印出所有你需要的結(jié)果。它可以代替大量繁瑣的手工計(jì)算，所以，計(jì)算機(jī)是在

6、局部范圍內(nèi)驗(yàn)證一個(gè)數(shù)學(xué)命題是否正確的最好的試驗(yàn)工具。    但是，由于計(jì)算機(jī)軟、硬件條件限制任何一個(gè)計(jì)算機(jī)程序都只能在有限的范圍內(nèi)驗(yàn)證一個(gè)數(shù)學(xué)命題的正確性，而一個(gè)數(shù)學(xué)命題的正確性一般都建立在某一個(gè)無(wú)限集合之中。比如，自然數(shù)集合或?qū)崝?shù)集合。     因此，客觀地說(shuō)，用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想，絕不是嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)證明，充其量只是在局部范圍內(nèi)檢驗(yàn)該數(shù)學(xué)命題的正確性，從數(shù)學(xué)量上增加該猜想正確的可能性，編制驗(yàn)證程序的另一個(gè)動(dòng)機(jī)很可能是想通過(guò)大量的試驗(yàn)找到一個(gè)反例來(lái)否定它。     當(dāng)你的頭腦里萌發(fā)了一個(gè)數(shù)學(xué)猜想而不知

7、它是否正確時(shí)，最好的辦法就是編寫(xiě)一段程序讓計(jì)算機(jī)驗(yàn)證一下，如果在一個(gè)相當(dāng)大的范圍內(nèi)計(jì)算機(jī)驗(yàn)證的結(jié)果都是正確的。你就很有可能發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的數(shù)學(xué)規(guī)律，可以提出一個(gè)新的數(shù)學(xué)猜想，進(jìn)而想辦法去嚴(yán)格地證明它。但是，只要計(jì)算機(jī)舉出了哪怕一個(gè)反例，你就不要再去胡思亂想了。     下面，我們就來(lái)用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證幾個(gè)數(shù)學(xué)猜想。    【例1】        用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證哥德巴赫猜想。     用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證哥德巴赫猜想，就是對(duì)于一個(gè)大偶數(shù)2N，找出兩個(gè)素?cái)?shù)和，使得。&#

8、160;   傳統(tǒng)的驗(yàn)證方法是：對(duì)于一個(gè)大偶數(shù)2N，從第一個(gè)奇素?cái)?shù)3開(kāi)始，進(jìn)行試驗(yàn)，用2N減去3，然后判斷2N-3是否為素?cái)?shù)，如果是素?cái)?shù)，就算找到了一組解，否則就繼續(xù)用第二個(gè)奇素?cái)?shù)5來(lái)試驗(yàn)，直到在2N的范圍內(nèi)找到一組解為止；如果在2N的范圍內(nèi)沒(méi)有找到一組合適的素?cái)?shù)，就算找到了一個(gè)反例否定哥德巴赫猜想。     這種驗(yàn)證方法在許多有關(guān)計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)的雜志或書(shū)里都有過(guò)介紹，我們就不再重復(fù)了，在這里，我們向讀者介紹一種新穎的驗(yàn)證方法。      在用傳統(tǒng)的方法驗(yàn)證哥德巴赫猜想時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象，并

9、用計(jì)算機(jī)對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行了大理的試驗(yàn)，試驗(yàn)的結(jié)果都與我們的猜想相吻合，由此我們提出了一個(gè)新的數(shù)學(xué)猜想：對(duì)于任意一個(gè)大于3的自然數(shù)N總可以在它的左側(cè)和右側(cè)找到一對(duì)與N距離相等的素?cái)?shù)，這樣的一對(duì)素?cái)?shù)被稱為自然數(shù)N的對(duì)稱素?cái)?shù)。但因?yàn)檫€沒(méi)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，所以暫且把它叫做對(duì)稱素?cái)?shù)猜想。  例如，        N               公差     &#

10、160;  N               公差 3          4         5           1 3     

11、;      5        7           25           6       7           13&#

12、160;          7        11           45           8        11     

13、      37           9        11           27          10      13 &

14、#160;         35          11        17           611        12        13

15、60;          17         13      19            611      14       17   &

16、#160;        313      15       17            213       16        19    

17、0;    3 11         17        23         617         18         19      

18、; 17           19        31       1217         20        23       319   

19、60;     21         23       213         22          31       917       

20、0; 23           29       619         24           29       519      &#

21、160; 25          31       623          26        29       323        27  &#

22、160;      31       4    最重要的是，這是一個(gè)幾乎與哥德巴赫猜想完全等價(jià)的數(shù)學(xué)命題。    設(shè)自然數(shù)為N，兩個(gè)素?cái)?shù)分別為和，根據(jù)對(duì)稱素?cái)?shù)的定義，一定有下式成立：N-=2-N。    因此必有：。    而這正好就是哥德巴赫猜想的結(jié)論。    所以，如果對(duì)稱素?cái)?shù)猜想能夠得到證實(shí)，也將證明哥德巴赫猜想成立。 &

23、#160;  為了在計(jì)算機(jī)上驗(yàn)證對(duì)稱素?cái)?shù)猜想，我們可以把程序分成兩部分。    第一部分，用篩選法找出所有小于2N的素?cái)?shù)，首當(dāng)其沖存放在數(shù)組A中，在計(jì)算機(jī)中，篩法可以用給變量置零的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。具體來(lái)說(shuō)就是：先令所有的數(shù)組元素都等于下標(biāo)值，即A（I）=I，當(dāng)I不是素?cái)?shù)時(shí)，令A(yù)（I）=0。當(dāng)需要輸出結(jié)果時(shí)，凡遇到A（I）=0時(shí)，則跳過(guò)去檢查下一個(gè)A（I）。    第二部分，從N開(kāi)始，分別向左右兩側(cè)等距離地遞減和遞增（K=N-I，P=N+I），然后判斷A（K）和A（P）這兩個(gè)數(shù)是不是同時(shí)為素?cái)?shù)。具體的方法是判斷A（K）與A（P）的

24、乘積是否為零，如果都是素?cái)?shù)（A（K）*A（P）<>0），則找到了滿足哥德巴赫猜想的一組解，將結(jié)果打印出來(lái)；如果其中任何一個(gè)數(shù)不是素?cái)?shù)，則T向左右兩側(cè)再等距離地遞減和遞增，繼續(xù)判斷，如果當(dāng)N左側(cè)的數(shù)遞減到3之后，N右側(cè)與它等距離的數(shù)仍然不是素?cái)?shù)時(shí)，則我們認(rèn)為找到了一個(gè)反例，可以宣布“哥德巴赫猜想”不成立。   下面這段程序在奔騰機(jī)上只用了不到半分鐘的時(shí)間就驗(yàn)證完了10000以內(nèi)的所有偶數(shù)2N均可以表示成為兩上素?cái)?shù)之和。而且，這兩個(gè)素?cái)?shù)都是某個(gè)自然數(shù)的對(duì)稱素?cái)?shù)。     REM一驗(yàn)證哥德巴赫猜想INPUT ”N=”;NDIM

25、A(N+SQR(N)FOR I=3 TO N STEP 2A(I)=INEXT IFOR I=3 TO SQR(N)IF A(I)= 0 THEN 70FOR J=I TO N STEP IA(I+J)=0NEXT J70 NEXT IFOR X =4 TO N/2FOR I=1 TO 2 *XLET K=X-1:P=X+IIF A(K) *A(P)< >0 THEN 140 IF K<3 THEN PRINT “哥德巴赫猜想不成立”： END NEXT I 140 PRINT 2*X; “=”;A(K) “+”;A(P) NEXT X END   【程序部分運(yùn)行結(jié)

26、果】      RUN N=？50 8=3+5              22=5+17               36=17+19            50=19+31 10

27、=3+7            24=11+13               38=7+31 12=5+7            26=7+19        

28、        40=17+23 14=3+11           28=11+17               42=19+23 16=5+11           30=13+17&#

29、160;              44=13+31 18=7+11           32=13+19               46=17+29 20=7+13     &

30、#160;         34=11+23           48=19+29 例2 用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證角谷猜想。日本數(shù)學(xué)家角谷曾提出一個(gè)有趣的猜想：從任何一個(gè)自然數(shù)n出發(fā)，如果是偶數(shù)，就除以2，如果是奇數(shù)，就乘以3再加1，不斷重復(fù)這個(gè)操作，總能得到1。例如，當(dāng)N=20的時(shí)候，有：20105168421。 現(xiàn)在，請(qǐng)你編一個(gè)程序，驗(yàn)證角谷猜想。 REM驗(yàn)證角谷猜想 INPUT “N=”；N PRINT N； “>”

31、; 40 IF N=1 THEN PRINT 1: END IF N/2=INT(N/2) THEN N=N/2 ELSE  N=3*N+1 IF N>1 THEN PRINT N;”->”;:GOTO 40 RUN N=30 30->15->46->23->70->35->106->53->160->80->40->20->10->5->16->8->4->2->1 例3：驗(yàn)證“回文數(shù)猜想”。 左右對(duì)稱的自然數(shù)稱為回文數(shù)，例如，121，4224，13731等。有一

32、個(gè)非常有趣的數(shù)學(xué)猜想與回文數(shù)有關(guān)，這就是“回文數(shù)猜想”：從任意一個(gè)兩位或兩位以上的自然數(shù)開(kāi)始，將這個(gè)數(shù)與它的逆序數(shù)（如1992的逆序數(shù)是2991）相加，得到一個(gè)新數(shù)，再用這個(gè)新數(shù)與它的逆序數(shù)相加，不斷重復(fù)上述操作，經(jīng)過(guò)若干步的逆序相加之后，總可以得到一個(gè)回文數(shù)。例如，從1992開(kāi)始，經(jīng)過(guò)7步就得到了回文數(shù)。（1）      1992+2991=4983（2）      4983+3894=8877（3）      8877+7788=16665（

33、4）      16665+56661=73326（5）      73326+62337=135663（6）      135663+366531=502194（7）      502194+491205=993399利用上述方法似乎永遠(yuǎn)也變不成回文數(shù)的最小數(shù)目是196。（1）      196+691=887（2）  

34、60;   887+788=1675（3）      1675+5761=7436（4）      7436+8347=13783（5）      13783+38731=52514據(jù)報(bào)道，有人已經(jīng)對(duì)196進(jìn)行了50000步的逆序相加，仍然未出現(xiàn)回文數(shù)，這個(gè)數(shù)學(xué)猜想到目前為止還沒(méi)有得到證實(shí)。現(xiàn)在請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)程序，由計(jì)算機(jī)在局部范圍內(nèi)驗(yàn)證“回文數(shù)猜想”。并將尋找回文數(shù)的每一個(gè)步驟都顯示在屏幕上。問(wèn)題分析 這是一個(gè)運(yùn)用高精度加法的

35、典型例題，在尋找回文數(shù)的過(guò)程中，要不斷地進(jìn)行兩個(gè)自然數(shù)的累加。當(dāng)累加的數(shù)字超過(guò)16位時(shí)，計(jì)算機(jī)便不能精確地顯示了。因此也就無(wú)法再繼續(xù)驗(yàn)證下去了。為了克服這一缺點(diǎn)，我們可以采用字符串輸入的方式，并同時(shí)開(kāi)辟兩個(gè)數(shù)組，將每個(gè)數(shù)的每一位數(shù)字分別存放在兩個(gè)不同的數(shù)組A（I）和B（I）中，A數(shù)組中的數(shù)與B數(shù)組中的數(shù)的順序剛好相反，運(yùn)算時(shí)對(duì)位相加即可。當(dāng)然還要考慮進(jìn)位問(wèn)題，相加之后的結(jié)果仍然放回到A數(shù)組中。首先，設(shè)兩個(gè)數(shù)之和的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，在判斷兩數(shù)之和顏悅色是否為回文數(shù)時(shí)，只須從I=1開(kāi)始，到L/2+1為止，將A（I）單元中的數(shù)字與A（L-I+1）單元中的數(shù)字逐項(xiàng)進(jìn)行比較，如果每一項(xiàng)都相等，則回文數(shù)已經(jīng)找到了

36、。因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能在局部范圍內(nèi)驗(yàn)證這一猜想，所以我們應(yīng)當(dāng)確定一個(gè)累加次數(shù)，當(dāng)達(dá)到這一次數(shù)仍未出現(xiàn)回文數(shù)時(shí)，我們就認(rèn)為是找到了一個(gè)留待進(jìn)一步考察的特征例。程序清單 REM驗(yàn)證回文數(shù)猜想20 INPUT“n=”；N $LET L=LEN(N $):IF L<2THEN GOTO 20DIM A(1000),B(1000)GOSUB 20060 GOSUB 300IF P=1 THEN PRINT “OK! OK=”;ENDLET T=0:Z=Z+1:PRINT”(“;Z”)”;PRINT “ ”;:GOSUB 400:GOSUB 500LET T=1:GOSUB 400:GOTO 60200 REM分離數(shù)字