1、.作業2（修改200810）4. 擲一枚非均勻的硬幣,出現正面的概率為,若以表示直至擲到正、反面都出現為止所需投擲的次數,求的概率分布.解 對于,前次出現正面,第次出現反面的概率是,前次出現反面,第次出現正面的概率是,因而有概率分布,.5.一個小班有8位學生,其中有5人能正確回答老師的一個問題.老師隨意地逐個請學生回答,直到得到正確的回答為止,求在得到正確的回答以前不能正確回答問題的學生個數的概率分布.第1個能正確回答的概率是, 第1個不能正確回答,第2個能正確回答的概率是, 前2個不能正確回答,第3個能正確回答的概率是, 前3個不能正確回答,第4個能正確回答的概率是, 前4個都不能正確回答的

2、概率是. 設在得到正確的回答以前不能正確回答問題的學生個數為,則有分布01235/815/565/561/566. 設某人有100位朋友都會向他發送電子郵件,在一天中每位朋友向他發出電子郵件的概率都是0.04,問一天中他至少收到4位朋友的電子郵件的概率是多少"試用二項分布公式和泊松近似律分別計算.解 設一天中某人收到位朋友的電子郵件,則,一天中他至少收到4位朋友的電子郵件的概率是. 1) 用二項分布公式計算. 2) 用泊松近似律計算.8. 設服從泊松分布,分布律為.問當取何值時最大.解 設,則,數列是一個遞減的數列. 若,則最大. 若,則當且時,最大.由此得 1) 若,則最大. 2)

3、 若,則. 由上面的1)和2)知,無論或,都有.12. 設隨機變量的概率密度為.求的分布函數,并作出與的圖形.解.11. 設隨機變量的概率密度為.求常數和的分布函數,并求概率.解, .15. 設隨機變量的密度為.求常數.解.由上式得.15. 離散型隨機向量有如下的概率分布:012300.10.10.10.1100.10.10.12000.10.2求邊緣分布.又問隨機變量是否獨立.解有分布 0120.40.30.3有分布 01230.10.20.30.4因為,所以,不獨立.18 設隨機向量服從矩形上的均勻分布,求條件概率.解,.22. 隨機向量有聯合密度,其中.求系數和落在圓內的概率.解因而.而

4、.27. 設,分別找出,使得.其中,.解1.代入的值查得,.解2 設,則.代入的值查得,.28.某商品的每包重量.若要求,則需要把控制在什么范圍內.解 設,則.28. 設服從自由度為的分布,即有密度.求的密度.解1當時,.當時,.因而.解2 設,則. 設, ,則有反函數, ,其中.因而有密度.29. 由統計物理學知道分子運動的速率遵從麥克斯威爾(Maxwell)分布,即密度為.其中參數.求分子的動能的密度.解1當時,.當時,.因而.解2 設,則. 設, ,則有反函數, ,其中.因而有密度.30. 設服從上的均勻分布,.求的分布.解 有密度.有分布函數 .31. 質點隨機地落在中心在原點,半徑為

5、的圓周上,并且對弧長是均勻地分布的.求落點的橫坐標的概率密度.解 設落點極坐標是,則服從上的均勻分布,有密度.設落點橫坐標是,則,的分布函數為.當時,.當時,.當時.因而落點的橫坐標有概率密度.34. 設隨機變量服從在上的均勻分布,求的分布.解 設,則. 設, ,則有反函數, ,其中.因而有密度.36. 設和獨立,密度分別為和,求的密度.解.37. 設系統由兩個相互獨立的子系統聯接而成,聯接的方式分別為串聯,并聯和備用(當系統損壞時,系統開始工作),如圖7.1所示.和的壽命為和,分別有密度和,其中且.請就這三種聯接方式分別寫出系統的壽命的密度.解,獨立,分別服從參數為和的指數分布,因此分別有分布函數和. 1) 聯接的方式為串聯時,. 2) 聯接的方式為并聯時,. 3) 聯接的方式為備用時,. 因此, 當時, , 當時, .38.相互獨立,.證明.(提示:稱為函數,由微積分的知識知)解 (見命題A.2.1)43. 設獨立,都服從參數為的威布爾分布,即都有密度.證明仍服從