1、三角函數（一）任意角的三角函數及誘導公式1任意角的概念角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形。一條射線由原來的位置，繞著它的端點按逆時針方向旋轉到終止位置，就形成角。旋轉開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點叫做叫的頂點。為了區別起見，我們規定:按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉所形成的角叫負角。如果一條射線沒有做任何旋轉,我們稱它形成了一個零角。2象限角、終邊相同的角、區間角角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。要特別注意:如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于

2、任何一個象限,稱為非象限角。終邊相同的角是指與某個角具有同終邊的所有角，它們彼此相差2k(kZ)，即|=2k+，kZ，根據三角函數的定義，終邊相同的角的各種三角函數值都相等。區間角是介于兩個角之間的所有角，如|=，。3弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)。角有正負零角之分，它的弧度數也應該有正負零之分，如-，-2等等，一般地, 正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0,角的正負主要由角的旋轉方向來決定。角的弧度數的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，是半徑。角度制與弧度制的換算主要抓住。弧度與角度互換公式：1

3、rad57.30=5718；10.01745（rad）。弧長公式：（是圓心角的弧度數）； 扇形面積公式：。4 三角函數的定義:以角的頂點為坐標原點，始邊為x軸正半軸建立直角坐標系，在角的終邊上任取一個異于原點的點，點P到原點的距離記為，那么； ； ； （； ； ）利用單位圓定義任意角的三角函數，設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么:sin+cos+tan+cot+ (1)叫做的正弦,記做,即；（2）叫做的余弦,記做,即；（3）叫做的正切,記做,即。5 三角函數的符號：由三角函數的定義，以及各象限內點的坐標的符號，我們可以得知：正弦值對于第一、二象限為正（），對于第三、四象限為負（）；余

4、弦值對于第一、四象限為正（），對于第二、三象限為負（）；正切值對于第一、三象限為正（同號），對于第二、四象限為負（異號）說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數值。6三角函數線Oxya角的終邊PTMA三角函數線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數值的一種圖示方法。利用三角函數線在解決比較三角函數值大小、解三角方程及三角不等式等問題時，十分方便。以坐標原點為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓（注意：這個單位長度不一定就是1厘米或1米）。當角為第一象限角時，則其終邊與單位圓必有一個交點，過點作軸交軸于點，根據三角函數的定義：；。我們知道，指標坐標系內點的坐標與坐標軸的

5、方向有關.當角的終邊不在坐標軸時,以為始點、為終點，規定：當線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當線段與軸反向時，的方向為負向，且有負值；其中為點的橫坐標.這樣,無論那種情況都有同理,當角的終邊不在軸上時,以為始點、為終點，規定：當線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當線段與軸反向時，的方向為負向，且有負值；其中為點的橫坐標。這樣,無論那種情況都有。像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。如上圖,過點作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設它與的終邊交于點,請根據正切函數的定義與相似三角形的知識,借助有向線段,我們有我們把這三條與單位圓有關的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切

6、線，統稱為三角函數線。6同角三角函數關系式sin2+cos2=1（平方關系）； =tan（商數關系）； tancot=1（倒數關系）.使用這組公式進行變形時，經常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。幾個常用關系式：sin+cos，sin-cos，sincos；(三式之間可以互相表示)同理可以由sincos或sincos推出其余兩式。7誘導公式可用十個字概括為“奇變偶不變，符號看象限”。誘導公式一：，其中誘導公式二： ； 誘導公式三： ； 誘導公式四：； 誘導公式五：； sinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscoscossin（1）要化

7、的角的形式為（為常整數）；（2）記憶方法：“奇變偶不變，符號看象限”；（3）sin(k+)=(1)ksin；cos(k+)=(1)kcos(kZ)；（4）；。（二）三角函數的圖像與性質1正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像 2.三角函數的定義域、值域及周期如下表：函數定義域值域周期3三角函數的單調區間：的遞增區間是，遞減區間是；的遞增區間是，遞減區間是;的遞增區間是，4對稱軸與對稱中心：的對稱軸為，對稱中心為；的對稱軸為，對稱中心為；對于和來說，對稱中心與零點相聯系，對稱軸與最值點聯系。5函數最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖

8、象的對稱中心。6由ysinx的圖象變換出ysin(x)的圖象一般有兩個途徑，只有區別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經常出現無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將ysinx的圖象向左(0)或向右(0平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標變為原來的倍(0)，便得ysin(x)的圖象。途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將ysinx的圖象上各點的橫坐標變為原來的倍(0)，再沿x軸向左(0)或向右(0平移個單位，便得ysin(

9、x)的圖象。三角函數圖象的平移和伸縮函數的圖象與函數的圖象之間可以通過變化來相互轉化影響圖象的形狀，影響圖象與軸交點的位置由引起的變換稱振幅變換，由引起的變換稱周期變換，它們都是伸縮變換；由引起的變換稱相位變換，由引起的變換稱上下平移變換，它們都是平移變換既可以將三角函數的圖象先平移后伸縮也可以將其先伸縮后平移變換方法如下：先平移后伸縮的圖象得的圖象得的圖象得的圖象得圖象先伸縮后平移的圖象得的圖象得的圖象得的圖象得圖象例1將的圖象怎樣變換得到函數的圖象解：（方法一）把的圖象沿軸向左平移個單位長度，得的圖象；將所得圖象的橫坐標縮小到原來的，得的圖象；將所得圖象的縱坐標伸長到原來的2倍，得的圖象；

10、最后把所得圖象沿軸向上平移1個單位長度得到的圖象（方法二）把的圖象的縱坐標伸長到原來的2倍，得的圖象；將所得圖象的橫坐標縮小到原來的，得的圖象；將所得圖象沿軸向左平移個單位長度得的圖象；最后把圖象沿軸向上平移1個單位長度得到的圖象說明：無論哪種變換都是針對字母而言的由的圖象向左平移個單位長度得到的函數圖象的解析式是而不是，把的圖象的橫坐標縮小到原來的，得到的函數圖象的解析式是而不是對于復雜的變換，可引進參數求解例2將的圖象怎樣變換得到函數的圖象分析：應先通過誘導公式化為同名三角函數解：，在中以代，根據題意，有，得所以將的圖象向左平移個單位長度可得到函數的圖象5由yAsin(x)的圖象求其函數式

11、：給出圖象確定解析式y=Asin（x+）的題型，有時從尋找“五點”中的第一零點（，0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一個零點的位置。8求三角函數的單調區間：一般先將函數式化為基本三角函數的標準式，要特別注意A、的正負利用單調性三角函數大小一般要化為同名函數,并且在同一單調區間；9求三角函數的周期的常用方法：經過恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。10五點法作y=Asin（x+）的簡圖：五點取法是設x=x+，由x取0、2來求相應的x值及對應的y值，再描點作圖。（三）三角恒等變換1兩角和與差的三角函數；。2二倍角公式； ； 。3三角函數式的化簡常用方法：直接應用

12、公式進行降次、消項；切割化弦，異名化同名，異角化同角； 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：能求出值的應求出值；使三角函數種數盡量少；使項數盡量少；盡量使分母不含三角函數；盡量使被開方數不含三角函數。（1）降冪公式；。（2）輔助角公式，。4三角函數的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函數值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題的關鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實質上轉化為“給值求值”問題，由

13、所得的所求角的函數值結合所求角的范圍及函數的單調性求得角。5三角等式的證明（1）三角恒等式的證題思路是根據等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發現已知條件和待證等式間的關系，采用代入法、消參法或分析法進行證明。對邊鄰邊斜邊ACB（四）解三角形1直角三角形中各元素間的關系：如圖，在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa。（1）三邊之間的關系：a2b2c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關系：AB90；（3）邊角之間的關系：（銳角三角函數定義）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各

14、元素間的關系：如圖6-29，在ABC中，A、B、C為其內角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）三角形內角和：ABC。（2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。即：。（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。3三角形的面積公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）absinCbcsinAacsinB； （3）；（4）2R2sinAsinBsinC。（R為外接圓半徑） （5）；（

15、6）； （7）rs。4解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形。解斜三角形的主要依據是：設ABC的三邊為a、b、c，對應的三個角為A、B、C。（1）角與角關系：A+B+C = ；（2）邊與邊關系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）邊與角關系：正弦定理 （R為外接圓半徑）；余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它們的變形形式有：a = 2R sinA，。5三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。（1）角的變換因為在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）三角形邊、角