1、§3.2.1 古典概型一、教材分析【學科】:數學【教材版本】: 普通高中課程標準實驗教科書數學必修3 人教版【課題名稱】:古典概型 (第三章第130頁)【教學任務分析】: 本節課是高中數學3（必修）第三章概率的第二節古典概型的第一課時，是在隨機事件的概率之后，幾何概型之前，尚未學習排列組合的情況下教學的。古典概型是一種特殊的數學模型（由于它在概率論發展初期是主要的研究對象，許多概率的最初結果也是由它得到的，所以稱它為古典概型），也是一種最基本的概率模型，在概率論中占有相當重要的地位。學好古典概型可以為其它概率的學習奠定基礎，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些事件的概率，有利于解

2、釋生活中的一些問題。【教學重點】: 理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機事件的概率。 【教學難點】:如何判斷一個試驗是否是古典概型，分清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數。【教學方法與理念】:與學生共同探討，應用數學解決現實問題。二、教學目標定位【知識與技能】：(1)理解古典概型及其概率計算公式，(2)會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率。【過程與方法】：根據本節課的內容和學生的實際水平，通過模擬試驗讓學生理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，觀察類比各個試驗，歸納總結出古典概型的概率計算公式，體現了化歸

3、的重要思想，掌握列舉法，學會運用數形結合、分類討論的思想解決概率的計算問題。 【情感態度與價值觀】：概率教學的核心問題是讓學生了解隨機現象與概率的意義，加強與實際生活的聯系，以科學的態度評價身邊的一些隨機現象。適當地增加學生合作學習交流的機會，盡量地讓學生自己舉出生活和學習中與古典概型有關的實例。使得學生在體會概率意義的同時，感受與他人合作的重要性以及初步形成實事求是地科學態度和鍥而不舍的求學精神。三、教法及學法分析【教法分析】：根據本節課的特點，采用引導發現和歸納概括相結合的教學方法，通過提出問題、思考問題、解決問題等教學過程，觀察對比、概括歸納古典概型的概念及其概率公式，再通過具體問題的提

4、出和解決，來激發學生的學習興趣，調動學生的主體能動性，讓每一個學生充分地參與到學習活動中來。【學法分析】：學生在教師創設的問題情景中，通過觀察、類比、思考、探究、概括、歸納和動手嘗試相結合，體現了學生的主體地位，培養了學生由具體到抽象，由特殊到一般的數學思維能力，形成了實事求是的科學態度，增強了鍥而不舍的求學精神。四、教學策略1通過拋一枚硬幣和一枚骰子的試驗給出基本事件的概念；2通過兩個試驗和例一的分析得出古典概型的兩個特點和計算公式；3例題具有一定實際背景，激發學生的求知欲，每道例題的計算量不大，用列舉法都可以數出基本事件的總個數；4在每道例題后都有相應的“探究”或“思考”，提出問題，引導學

5、生進一步學習，以開拓學生思路。在整個教學過程中，一直要學生的思考為中心，把握古典概型的特點，在解決概率的計算上，教師鼓勵學生嘗試列表和畫出樹狀圖，讓學生感受求基本事件個數的一般方法，從而化解由于沒有學習排列組合而學習概率這一教學困惑。整個教學設計的順利實施，達到了教師的教學目標。五、教學過程項 目內 容師生活動理論依據或意圖教學過程分析一提出問題引入新課在課前，教師布置任務，以數學小組為單位，完成下面兩個模擬試驗：試驗一：拋擲一枚質地均勻的硬幣，分別記錄“正面朝上”和“反面朝上”的次數，要求每個數學小組至少完成20次（最好是整十數），最后由科代表匯總；試驗二：拋擲一枚質地均勻的骰子，分別記錄“

6、1點”、“2點”、“3點”、“4點”、“5點”和“6點”的次數，要求每個數學小組至少完成60次（最好是整十數），最后由科代表匯總。在課上，學生展示模擬試驗的操作方法和試驗結果，并與同學交流活動感受。教師最后匯總方法、結果和感受，并提出問題？1用模擬試驗的方法來求某一隨機事件的概率好不好？為什么？不好，要求出某一隨機事件的概率，需要進行大量的試驗，并且求出來的結果是頻率，而不是概率。2根據以前的學習，上述兩個模擬試驗的每個結果之間都有什么特點？ 學生展示模擬試驗的操作方法和試驗結果，并與同學交流活動感受，教師最后匯總方法、結果和感受，并提出問題。通過課前的模擬實驗的展示，讓學生感受與他人合作的重

7、要性，培養學生運用數學語言的能力。隨著新問題的提出，激發了學生的求知欲望，通過觀察對比，培養了學生發現問題的能力。二思考交流形成概念在試驗一中隨機事件只有兩個，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他們都是互斥的，由于硬幣質地是均勻的，因此出現兩種隨機事件的可能性相等，即它們的概率都是；在試驗二中隨機事件有六個，即“1點”、“2點”、“3點”、“4點”、“5點”和“6點”，并且他們都是互斥的，由于骰子質地是均勻的，因此出現六種隨機事件的可能性相等，即它們的概率都是。我們把上述試驗中的隨機事件稱為基本事件，它是試驗的每一個可能結果。基本事件有如下的兩個特點：（1）任何兩個基本事件是互斥的；（2）任何

8、事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。特點（2）的理解：在試驗一中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”組成；在試驗二中，隨機事件“出現偶數點”可以由基本事件“2點”、“4點”和“6點”共同組成。學生觀察對比得出兩個模擬試驗的相同點和不同點，教師給出基本事件的概念，并對相關特點加以說明，加深新概念的理解。讓學生從問題的相同點和不同點中找出研究對象的對立統一面，這能培養學生分析問題的能力，同時也教會學生運 用對立統一的辯證唯物主義觀點來分析問題的一種方法。教師的注解可以使學生更好的把握問題的關鍵。項 目內 容師生活動理論依據或意圖教學過程分析二思考交流形成概念例1 從字母中任意取

9、出兩個不同字母的試驗中，有哪些基本事件？分析：為了解基本事件，我們可以按照字典排序的順序，把所有可能的結果都列出來。利用樹狀圖可以將它們之間的關系列出來。我們一般用列舉法列出所有基本事件的結果，畫樹狀圖是列舉法的基本方法，一般分布完成的結果(兩步以上)可以用樹狀圖進行列舉。 （樹狀圖）解：所求的基本事件共有6個：，觀察對比，發現兩個模擬試驗和例1的共同特點：試驗一中所有可能出現的基本事件有“正面朝上”和“反面朝上”2個，并且每個基本事件出現的可能性相等，都是；試驗二中所有可能出現的基本事件有“1點”、“2點”、“3點”、“4點”、“5點”和“6點”6個，并且每個基本事件出現的可能性相等，都是；

10、例1中所有可能出現的基本事件有“A”、“B”、“C”、“D”、“E”和“F”6個，并且每個基本事件出現的可能性相等，都是；經概括總結后得到：（1）試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；（有限性）（2）每個基本事件出現的可能性相等。（等可能性）我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率概型，簡稱古典概型。思考交流：（1）向一個圓面內隨機地投射一個點，如果該點落在圓內任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎?為什么？ 先讓學生嘗試著列出所有的基本事件，教師再講解用樹狀圖列舉問題的優點。讓學生先觀察對比，找出兩個模擬試驗和例1的共同特點，再概括總結得到的結論，教師最后補充說明。學生互相交流，回答

11、補充，教師歸納。將數形結合和分類討論的思想滲透到具體問題中來。由于沒有學習排列組合，因此用列舉法列舉基本事件的個數，不僅能讓學生直觀的感受到對象的總數，而且還能使學生在列舉的時候作到不重不漏。解決了求古典概型中基本事件總數這一難點。培養運用從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義觀點分析問題的能力，充分體現了數學的化歸思想。啟發誘導的同時，訓練了學生觀察和概括歸納的能力。通過用表格列出相同和不同點，能讓學生很好的理解古典概型。從而突出了古典概型這一重點。兩個問題的設計是為了讓學生更加準確的把握古典概型的兩個特點。突破了如何判斷一個試驗是否是古典概型這一教學難點。項 目內 容師生活動理論依據或意

12、圖教學過程分析思考交流形成概念答：不是古典概型，因為試驗的所有可能結果是圓面內所有的點，試驗的所有可能結果數是無限的，雖然每一個試驗結果出現的“可能性相同”，但這個試驗不滿足古典概型的第一個條件。（2）如圖，某同學隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結果只有有限個：命中10環、命中9環命中5環和不中環。你認為這是古典概型嗎？為什么？答：不是古典概型，因為試驗的所有可能結果只有7個，而命中10環、命中9環命中5環和不中環的出現不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個條件。三觀察分析推導方程問題思考：在古典概型下，基本事件出現的概率是多少？隨機事件出現的概率如何計算？分析：實驗一中，出現正面朝上的概率

13、與反面朝上的概率相等，即P（“正面朝上”）P（“反面朝上”）由概率的加法公式，得P（“正面朝上”）P（“反面朝上”）P（必然事件）1因此 P（“正面朝上”）P（“反面朝上”）即 試驗二中，出現各個點的概率相等，即P（“1點”）P（“2點”）P（“3點”）P（“4點”）P（“5點”）P（“6點”）反復利用概率的加法公式，我們有P（“1點”）P（“2點”）P（“3點”）P（“4點”）P（“5點”）P（“6點”）P（必然事件）1所以P（“1點”）P（“2點”）P（“3點”）P（“4點”）P（“5點”）P（“6點”）進一步地，利用加法公式還可以計算這個試驗中任何一個事件的概率，例如，P（“出現偶數點”

14、）P（“2點”）P（“4點”）P（“6點”）即 根據上述兩則模擬試驗，可以概括總結出，古典概型計算任何事件的概率計算公式為：教師提出問題，引導學生類比分析兩個模擬試驗和例1的概率，先通過用概率加法公式求出隨機事件的概率，再對比概率結果，發現其中的聯系。鼓勵學生運用觀察類比和從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義方法來分析問題，同時讓學生感受數學化歸思想的優越性和這一做法的合理性，突出了古典概型的概率計算公式這一重點。項 目內 容師生活動理論依據或意圖教學過程分析三觀察分析推導方程提問：（1）在例1的實驗中，出現字母“d”的概率是多少？出現字母“d”的概率為： 提問：（2）在使用古典概型的概率

15、公式時，應該注意什么?歸納：在使用古典概型的概率公式時，應該注意：（1）要判斷該概率模型是不是古典概型；（2）要找出隨機事件A包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數。除了畫樹狀圖，還有什么方法求基本事件的個數呢？教師提問，學生回答，加深對古典概型的概率計算公式的理解。深化對古典概型的概率計算公式的理解，也抓住了解決古典概型的概率計算的關鍵。四例題分析推廣應用例2 單選題是標準化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案。如果考生掌握了考差的內容，他可以選擇唯一正確的答案。假設考生不會做，他隨機的選擇一個答案，問他答對的概率是多少？分析：解決這個問題的關鍵，即討論這個

16、問題什么情況下可以看成古典概型。如果考生掌握或者掌握了部分考察內容，這都不滿足古典概型的第2個條件等可能性，因此，只有在假定考生不會做，隨機地選擇了一個答案的情況下，才可以化為古典概型。解：這是一個古典概型，因為試驗的可能結果只有4個：選擇A、選擇B、選擇C、選擇D，即基本事件共有4個，考生隨機地選擇一個答案是選擇A，B，C，D的可能性是相等的。從而由古典概型的概率計算公式得：課后思考：(1)在標準化考試中既有單選題又有多選題，多選題是從A，B，C，D四個選項中選出所有正確的答案，同學們可能有一種感覺，如果不知道正確答案，多選題更難猜對，這是為什么？(2)假設有20道單選題，如果有一個考生答對

17、了17道題，他是隨機選擇的可能性大，還是他掌握了一定知識的可能性大？學生先思考再回答，教師對學生沒有注意到的關鍵點加以說明。讓學生明確決概率的計算問題的關鍵是：先要判斷該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機事件A包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數。鞏固學生對已學知識的掌握。項 目內 容師生活動理論依據或意圖教學過程分析四例題分析推廣應用例3 同時擲兩個骰子，計算：（1）一共有多少種不同的結果？（2）其中向上的點數之和是5的結果有多少種？（3）向上的點數之和是5的概率是多少？解：（1）擲一個骰子的結果有6種，我們把兩個骰子標上記號1，2以便區分，由于1號骰子的結果都可以與2號骰子的任意一

18、個結果配對，我們用一個“有序實數對”來表示組成同時擲兩個骰子的一個結果（如表），其中第一個數表示1號骰子的結果，第二個數表示2號骰子的結果。（可由列表法得到）由表中可知同時擲兩個骰子的結果共有36種。（2）在上面的結果中，向上的點數之和為5的結果有4種，分別為：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）（3）由于所有36種結果是等可能的，其中向上點數之和為5的結果（記為事件A）有4種，因此，由古典概型的概率計算公式可得先給出問題，再讓學生完成，然后引導學生分析問題，發現解答中存在的問題。引導學生用列表來列舉試驗中的基本事件的總數。利用列表數形結合和分類討論，既能形象直觀地列出基本事件的總數

19、，又能做到列舉的不重不漏。深化鞏固對古典概型及其概率計算公式的理解，和用列舉法來計算一些隨機事件所含基本事件的個數及事件發生的概率。培養學生運用數形結合的思想，提高發現問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生數學思維情趣，形成學習數學知識的積極態度。五探究思考鞏固深化問題思考：為什么要把兩個骰子標上記號？如果不標記號會出現什么情況？你能解釋其中的原因嗎？如果不標上記號，類似于（1，2）和（2，1）的結果將沒有區別。這時，所有可能的結果將是：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，

20、4）（4，5）（4，6）（5，5）（5，6）（6，6）共有21種，和是5的結果有2個，它們是（1，4）（2，3），所求的概率為這就需要我們考察兩種解法是否滿足古典概型的要求了。 可以通過展示兩個不同的骰子所拋擲出來的點，感受第二種方法構造的基本事件不是等可能事件，另外還可以利用Excel展示第二種方法中構造的21個基本事件不是等可能事件。從而加深印象，鞏固知識。要求學生觀察對比兩種結果，找出問題產生的原因。通過觀察對比，發現兩種結果不同的根本原因是研究的問題是否滿足古典概型，從而再次突出了古典概型這一教學重點，體現了學生的主體地位，逐漸養成自主探究能力。 項 目內 容師生活動理論依據或意圖教學過程分析六總結概括加深理解1我們將具有（1）試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；（有限性）（2）每個基本事件出現的可能性相等。（等可能性）這樣兩個特點的概率模型稱為古典概率概型，簡稱古典概型。2古典概型計算任何事件的概率計算公式3求某個隨機事件A包含的基本事件的個數和實驗中基本事件的總數的常用方法是列舉法（畫