1、1等腰三角形等腰三角形一、選擇題1、（2013年聊城莘縣模擬）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為( ). A B C D1答案：B2、(2013 年惠州市惠城區(qū)模擬)等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為 4 和 8，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（ ）A.16 B.18 C. 20 D. 16 或 20答案：C3、(2013 浙江永嘉一模)10如圖，在ABC中，AB=BC，將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，得到A1BC1，A1B交AC于點(diǎn)E，A1C1分別交AC，BC于點(diǎn)D，F(xiàn)，下列結(jié)論：CDF=；A1E=CF；DF=FC；BE=BF其中正確的有（ ）A B C D【答案】C4、（2

2、013 重慶一中一模）11如圖，在等腰ABCRt中，90C，6AC, D是AC上一點(diǎn)若51tanDBA，那么AD的長(zhǎng)為 A 2 B3 C2 D 1【答案】A（第 1 題圖）FEDC1CBAA1第 2 題圖2CAPBD5. （2013 江西饒鷹中考模擬）如圖,將矩形ABCD對(duì)折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使點(diǎn)C恰好落在折痕PQ上的點(diǎn)C處，點(diǎn)D落在D處，其中M是BC的中點(diǎn).連接AC，BC，則圖中共有等腰三角形的個(gè)數(shù)是( )A .1 B.2 C.3 D.4答案：C6、（2013 年湖北省武漢市中考全真模擬）如圖，等腰ABC 中，AB=AC，P 為其底角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，將BCP 沿 CP 折疊，使 B

3、點(diǎn)恰好落在 AC 邊上的點(diǎn) D 處，若 DA=DP，則A的度數(shù)為( ).A.20 B.30 C.32 D.36D7、 (2013 年江蘇無(wú)錫崇安一模）如圖，在五邊形ABCDE中，BAE120，BE90，ABBC1，AEDE2，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使AMN的周長(zhǎng)最小，則AMN的最小周長(zhǎng)為（ ）A2 B267C4D52答案：B二、填空題1、（2013 年安徽模擬 二） 如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為 1 的等邊ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作ABDPCDMNECQF第 6 題3PEAC于E，Q為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng)PACQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長(zhǎng)為 第 1 題圖答案：4 2（2013 年安徽初中畢

4、業(yè)考試模擬卷一）如圖，ABC為等邊三角形，AQ=PQ，PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，則四個(gè)結(jié)論正確的是 （把所有正確答案的序號(hào)都填寫(xiě)在橫線(xiàn)上）AP平分BAC；AS=AR；QPAR；BRPQSP 3、(2013 年安徽省模擬六)如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別在AB、BC邊上，且AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AGCD于點(diǎn)G.下列結(jié)論：AE=CD；AFC=1200；ADF是正三角形；12FGAF.其中正確的結(jié)論是 （填所有正確答案的序號(hào)）答案：4、(2013 年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查)如圖，邊長(zhǎng)為 6 的等邊三角形ABC中，E是對(duì)稱(chēng)軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EC，將線(xiàn)段EC繞點(diǎn)C逆

5、時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到FC，連接DF則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DF的最小值是_ . 1.5第 1 題第 3 題圖ABCDEF第 4 題圖47(2013 年江蘇無(wú)錫崇安一模）在直角ABC中，C90，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，若CD4，則點(diǎn)D到斜邊AB的距離為 . 答案：4 7.7.（20132013 浙江東陽(yáng)吳宇模擬題）浙江東陽(yáng)吳宇模擬題）如圖，C、D、B 的坐標(biāo)分別為（1, 0）（9, 0）（10, 0），點(diǎn) P（t，0）是 CD 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在 x 軸上方作等邊OPE 和BPF，連 EF，G 為 EF 的中點(diǎn)。（1）當(dāng) t 時(shí)，EFOB；（2）雙曲線(xiàn) yxk過(guò)點(diǎn) G，當(dāng) PG279時(shí)，則 k 。答案

6、：153 1038、 （2013 沈陽(yáng)一模）已知：在等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，AD=3，BC=7，則梯形的面積是 .答案：25 9（2013 鹽城市景山中學(xué)模擬題鹽城市景山中學(xué)模擬題）如圖 5，在ABC中，ABAC5，BC6若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的最小值是_ 答案：52410（2013 鹽城市景山中學(xué)模擬題鹽城市景山中學(xué)模擬題）邊長(zhǎng)為 2 的等邊ABC與等邊DEF互相重合，將OCPDBEFGxy5ABC沿直線(xiàn)L向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，將DEF向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，如圖 6，當(dāng)C、E是線(xiàn)段BF的三等分點(diǎn)時(shí)，m的值為_(kāi) 答案：2 或21 11（2013 浙江錦繡浙江錦繡育才教育

7、集團(tuán)一模育才教育集團(tuán)一模）如圖，將正ABC分割成m個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的小正三角形和一個(gè)黑色菱形，這個(gè)黑色菱形可分割成n個(gè) 邊長(zhǎng)為 1 的小三角形，若941nm，則ABC的周長(zhǎng)是 .答案：1512、(2013 年江蘇南京一模)一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是 2 和 4，它的周長(zhǎng)是 答案：107、(2013 年江蘇南京一模)一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是 2cm 和 3cm，則它的周長(zhǎng)是 cm答案：7 或 813、(2013 年江蘇南京一模)如圖，C36，B72，BAD36，AD4，則 CD 答案：414、(2013 年江蘇南京一模)如圖，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=20，則C= (第 16 題

8、)圖)圖)6答案：40；15、(2013 年廣東省佛山市模擬 )如圖ABC中，ACB90，BC6 cm，AC8cm，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以 2 cm / s的速度沿AB移動(dòng)到B，則點(diǎn)P出發(fā) s時(shí)，BCP 為等腰三角形（原創(chuàng)）（原創(chuàng)） PCBA答案： 2，25，14三、解答題1（2013 年北京房山區(qū)一模）（1）如圖 1，ABC和CDE都是等邊三角形，且B、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)，聯(lián)結(jié)AD、BE相交于點(diǎn)P，求證： BE = AD.（2）如圖 2，在BCD中，BCD120，分別以BC、CD和BD為邊在BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，聯(lián)結(jié)AD、BE和CF交于點(diǎn)P，下列結(jié)論中正確

9、的是 （只填序號(hào)即可）AD=BE=CF；BEC=ADC；DPE=EPC=CPA=60；（3）如圖 2，在（2）的條件下，求證：PB+PC+PD=BE.PPFDECADECABB第 1 題圖 1第 1 題圖 2PPFDECADECABB7答案：(1)證明：ABC和CDE都是等邊三角形BC=AC，CE=CD，ACB=DCE=60BCE=ACDBCEACD（SAS）BE=AD -1 分（2）都正確 -4 分（3）證明：在PE上截取PM=PC，聯(lián)結(jié)CM由（1）可知，BCEACD（SAS）1=2設(shè)CD與BE交于點(diǎn)G,在CGE和PGD中1=2，CGE=PGDDPG=ECG=60同理CPE=60CPM是等邊

10、三角形-5 分CP=CM，PMC=60CPD=CME=1201=2,CPDCME（AAS）-6 分PD=MEBE=PB+PM+ME=PB+PC+PD. -7 分 即PB+PC+PD=BE.2、（2013 浙江錦繡浙江錦繡育才教育集團(tuán)一模育才教育集團(tuán)一模）（本小題滿(mǎn)分 12 分）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底邊BC的垂直平分線(xiàn)和BC所在的直線(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線(xiàn)217yxx422= -+經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn).（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若一條與y軸重合的直線(xiàn)l以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，分別交線(xiàn)段OA、CA和拋物線(xiàn)于點(diǎn)E、M和點(diǎn)P，連結(jié)PA、PB.設(shè)直線(xiàn)l移動(dòng)的

11、時(shí)間為t（0t4）秒，求四邊形PBCA的面積S（面積單位）與t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并求出四邊形PBCA的最大面積；（3）在（2）的條件下，拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使得PAM是直角三角形？若存在，21GMPFDECABMPPFDECADECABB8請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：（本小題滿(mǎn)分 12 分）解：（1）A（8，0），B（0，4）。 （2）AB=AC，OB=OC。C（0，4）。 設(shè)直線(xiàn)AC：y=kx+b，由A（8，0），C（0，4）得 8k+b=0b=4，解得1k=2b=4。直線(xiàn)AC：1y=x42。 直線(xiàn)l移動(dòng)的速度為 2，時(shí)間為t，OE=2t。設(shè)P22t2t7t4 形，

12、在1y=x42中，令x=2t，得y=t4，M（2t，t4）。 BC=8，PM=222t7t4t4 =2t6t8，OE=2t，EA=42t，22PMABCMP11SSS2t6t882t42t2t6t822 形形 2=4t20t16。 四邊形PBCA的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式為2S=4t20t16（0t4）。 225S=4t20t16=4 t412， 四邊形PBCA的最大面積為 41 個(gè)平方單位。（3）存在。由（2），在 0t4，即 0t8 時(shí)，AMP和APM不可能為直角。若PAM為直角，則PACA，AOCPEA。OCOAEAEP。 設(shè)P（p，217pp422-+），則OC=4，OA=8，EA=8p

13、，EP=9217pp422-+， 248178ppp422，整理得2p11p24=0-+，解得12p =3p =8，（舍去）。當(dāng)p=3時(shí)，EP=217pp422-+=10。P（3，10）。當(dāng)P（3，10）時(shí)，PAM是直角三角形。3、 （2013 河南南陽(yáng)市模擬）(10 分)如圖，ABC 和DEF 是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF 的頂點(diǎn) E 與ABC 的斜邊 BC 的中點(diǎn)重合將DEF 繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段 DE 與線(xiàn)段 AB 相交于點(diǎn) P，線(xiàn)段 EF 與射線(xiàn) CA 相交于點(diǎn) Q（1）如圖，當(dāng)點(diǎn) Q 在線(xiàn)段 AC 上，且 AP=AQ 時(shí)，求證：BPECQE；（

14、2）如圖，當(dāng)點(diǎn) Q 在線(xiàn)段 CA 的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證：BPECEQ；并求當(dāng) BP=a，CQ=時(shí)，P、Q 兩點(diǎn)間的距離 （用含 a 的代數(shù)式表示） 第 22 題圖【答案】 （1）證明：ABC 是等腰直角三角形，B=C=45，AB=AC，AP=AQ，BP=CQ，E 是 BC 的中點(diǎn)，BE=CE，在BPE 和CQE 中，BPECQE（SAS） ；（2）解：ABC 和DEF 是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，B=C=DEF=45，BEQ=EQC+C，即BEP+DEF=EQC+C，10BEP+45=EQC+45，BEP=EQC，BPECEQ，BP=a，CQ=a，BE=CE，BE=CE=a，BC=3a，AB=A

15、C=BCsin45=3a，AQ=CQAC=a，PA=ABBP=2a，連接 PQ，在 RtAPQ 中，PQ=a4、（2013 重慶一中一模）24已知正方形ABCD如圖所示，連接其對(duì)角線(xiàn)AC，BCA的平分線(xiàn)CF交AB于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)B作CFBM 于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CFCP ,交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P（1）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 4，求ACP的面積；（2）求證：FNBMCP2 【答案】解 5 .2221 CFCP 又9013FCDFCD5 .2213 5 .67P又四邊形 ABCD 為正方形，5 .675 .2245ACPACPP ACAP 242ABAC又 4 2AP .5 分FBCPDCBC

16、CD,2 ）（,31FBCPDC CFCP 為正方形又四邊形ABCD2824242CDAPSAPCBCACF平分123H4511在 CN 上截取 NH=FN，連接 BHFHBNNHFN且, BFBH 54 又9014BFCBFC45BAMHBC 又AB=BCBMCHBHCAMB,FNBMCF2 FNBMCP2 .10 分5、（2013 鳳陽(yáng)縣縣直義教教研中心）如圖 1，ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BDCF，BDCF成立.（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（090）時(shí)，如圖 2，BDCF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）當(dāng)

17、正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45時(shí)，如圖 3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G. 求證：BDCF； 當(dāng)AB4，AD2時(shí)，求線(xiàn)段BG的長(zhǎng). 圖 1 圖 2 圖 3解（1）BDCF成立.理由：ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90, BAD=DACBAC，CAF=DACDAF，BAD=CAF，BADCAF. BDCF.（4 分）（2）證明：設(shè)BG交AC于點(diǎn)M.BADCAF（已證），ABMGCM.5 .22514圖 13.3圖 13.2圖 13.1A45GABCDEFFEDCBFEDCBA12BMA CMG ，BMA CMG.BGCBAC 90.BDCF

18、.（7 分）過(guò)點(diǎn)F作FNAC于點(diǎn)N.在正方形ADEF中，AD2，ANFN121AE.在等腰直角ABC 中，AB4，CNACAN3，BC2422 ACAB.RtFCNRtABM，ABCNAMFNAM AB3134.CMACAM43438，310422AMABBM . （9 分）BMA CMG，CGCMBABM.CG3843104. CG5104. （11 分）在RtBGC中，22CGBCBG5108. . （12 分）6、（2013 鳳陽(yáng)縣縣直義教教研中心）如圖，已知：直線(xiàn)y=-x+3 交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C（1，0）三點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)的解析式;（

19、2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），在直線(xiàn)y=-x+3 上有一點(diǎn)P，使ABO與ADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線(xiàn)上，是否存在點(diǎn)E，使ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由MNFEDCBAG45圖 13.313解：（1）：由題意得，A（3，0） ，B（0，3）拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點(diǎn)分別代入2yaxbxc=+得方程組03039cbaccba 解得：341cba拋物線(xiàn)的解析式為243yxx=-+ （4 分）（2）由題意可得：ABO為等腰三角形,如圖所示，若ABOAP1D

20、，則1DPOBADAODP1=AD=4 , P1( 1,4)-若ABOADP2 ，過(guò)點(diǎn)P2 作P2 Mx軸于M，AD=4, ABO為等腰三角形, ADP2 是等腰三角形,由三線(xiàn)合一可得：DM=AM=2= P2M，即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合P2（1，2） （8 分）（3）如圖設(shè)點(diǎn)E ( , )x y，則 |2|21yyADSADE當(dāng)P1(-1,4)時(shí)，S四邊形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE|2214221y = 4y+ 14 24yy=+ 4y =點(diǎn)E在x軸下方 4y = -代入得： 2434xx-+= -,即 0742 xx=(-4)2-47=-120 此方程無(wú)解當(dāng)P2（1，2）時(shí)，S四邊

21、形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE = 2y+ 22yy=+ 2y =點(diǎn)E在x軸下方 2y = - 代入得：2432xx-+= -即 0542 xx，=(-4)2-45=-40此方程無(wú)解綜上所述，在x軸下方的拋物線(xiàn)上不存在這樣的點(diǎn)E。（14 分）7、(2013 年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查) (每小題 8 分，共 16 分)(1) 如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D、E、F分別是ABC三邊的中點(diǎn) 求證：四邊形ADEF是菱形(2) 一艘輪船在靜水中的最大航速為 20 千米/時(shí)，它沿江以最大航速順流航行 100 千米所用時(shí)間與以最大航速逆流航行 60 千米所用時(shí)間相等，江水的流速為多少？(

22、1) 證明：D、E、F分別是ABC三邊的中點(diǎn)，DEAC，EFAB， 2 分1212四邊形ADEF為平行四邊形 4 分又ACAB，DEEF 6 分四邊形ADEF為菱形 8 分(2) 解：設(shè)江水的流速為x千米/時(shí)，依題意，得： 1 分， 4 分10020 x6020 x解得：x5 6 分經(jīng)檢驗(yàn)：x5 是原方程的解 7 分CABDEF第 17(1)題圖15NOyxMPCBA答：江水的流速為 5 千米/時(shí) 8 分8、（2013 年湖北省武漢市中考全真模擬）(本題滿(mǎn)分 10 分) 如圖，在 RtABC 中，C=90，AC=3，BC=4，P 為邊 AC 上一個(gè)點(diǎn)（可以包括點(diǎn) C 但不包括點(diǎn) A），以 P

23、為圓心 PA 為半徑作P 交 AB 于點(diǎn) D，過(guò)點(diǎn) D 作P 的切線(xiàn)交邊 BC 于點(diǎn) E.（1）求證：BE=DE；（2）若 PA=1，求 BE 的長(zhǎng)；（3）在 P 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段 BE 長(zhǎng)度的取值范圍為 .、 證：連接 PD.DE 切O 于 D.PDDE.BDE+PDA=90.C=90. B+A=90.PD=PA. PDA=A.B=BDE.BE=DE 連 PE,設(shè) DE=BE=X,則 EC=4-X.PA=PD=1,AC=3.PC=2.PDE=C=90 ED+PD=EC+CP=PE.x+1=(4-x) +2.解得 x=819.BE=819 87BC8259、 （2013 年湖北省

24、武漢市中考全真模擬） （本題滿(mǎn)分 12 分）如圖 1，拋物線(xiàn)1C：22yaxbx與直線(xiàn) AB：1122yx交于 x 軸上的一點(diǎn) A，和另一點(diǎn) B(3，n)(1)求拋物線(xiàn)1C的解析式；(2)點(diǎn) P 是拋物線(xiàn)1C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) P 在 A，B 兩點(diǎn)之間，但不包括 A，B 兩點(diǎn)），PMAB 于點(diǎn) M，PNy 軸交 AB 于點(diǎn) N，在點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某一位置，使得PMN 的周長(zhǎng)最大，求此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)，并求PMN 周長(zhǎng)的最大值；(3)如圖 2，將拋物線(xiàn)1C繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180后，再作適當(dāng)平移得到拋物線(xiàn)2C，已知拋物線(xiàn)2C的頂點(diǎn) E 在第四象限的拋物線(xiàn)1C上，且拋物線(xiàn)2C與拋物線(xiàn)1C交于點(diǎn) D，過(guò)D 點(diǎn)作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)2C于點(diǎn) F，過(guò) E 點(diǎn)作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)1C于點(diǎn)G，是否存在這樣的拋物線(xiàn)2C，使得四邊形 DFEG 為菱形？若存在，請(qǐng)求 E 點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由 、16解：由題意得：A(-1,0)、B(3,2) 22392baoba 解得:2321ba拋物線(xiàn)的解析式為