1、6、全等三角形及其應用【知識精讀】1. 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形；兩個全等三角形中，互相重合的頂點叫做對應頂點。互相重合的邊叫對應邊，互相重合的角叫對應角。2. 全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的三角形，記作 “ABCABC其中，“”讀作“全等于”。記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。3. 全等三角形的的性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等；4. 尋找對應元素的方法（1）根據對應頂點找如果兩個三角形全等，那么，以對應頂點為頂點的角是對應角；以對應頂點為端點的邊是對應邊。通常情況下，兩個三角形全等時，對應頂點的字母都寫在對應

2、的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫出對應的元素。（2）根據已知的對應元素尋找全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；（3）通過觀察，想象圖形的運動變化狀況，確定對應關系。通過對兩個全等三角形各種不同位置關系的觀察和分析，可以看出其中一個是由另一個經過下列各種運動而形成的。翻折 如圖（1），DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直線AO翻折180°得到的；旋轉 如圖（2），DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA繞著點O旋轉180°得到的；平移 如圖（3），DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移動而得到的。5

3、. 判定三角形全等的方法：（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理（2） 推論：角角邊定理6. 注意問題：（1）在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應相等；（2）不能證明兩個三角形全等的是，a: 三個角對應相等，即AAA；b :有兩邊和其中一角對應相等，即SSA。全等三角形是研究兩個封閉圖形之間的基本工具，同時也是移動圖形位置的工具。在平面幾何知識應用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動圖形或移動圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識。【分類解析】全等三角形知識的應用（1） 證明線段（或角）相等 例1：如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC分析：由已知條件可

4、證出ACDABE，而BF和FC分別位于DBF和EFC中，因此先證明ACDABE，再證明DBFECF，既可以得到BF=FC.證明：在ACD和ABE中， ACDABE (SAS) B=C（全等三角形對應角相等）又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE 即 BD=CE在DBF和ECF中 DBFECF （AAS） BF=FC （全等三角形對應邊相等）（2）證明線段平行例2：已知：如圖，DEAC，BFAC，垂足分別為E、F，DE=BF，AF=CE.求證：ABCD分析：要證ABCD，需證CA，而要證CA，又需證ABFCDE.由已知BFAC，DEAC，知DECBFA=90°，且已知DE=B

5、F，AF=CE.顯然證明ABFCDE條件已具備，故可先證兩個三角形全等，再證CA,進一步證明ABCD.證明： DEAC，BFAC （已知） DECBFA=90° （垂直的定義）在ABF與CDE中， ABFCDE（SAS） CA (全等三角形對應角相等) ABCD （內錯角相等，兩直線平行）（3）證明線段的倍半關系，可利用加倍法或折半法將問題轉化為證明兩條線段相等例3：如圖，在 ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，連接CD和CE. 求證：CD=2CE分析：()折半法：取CD中點F，連接BF，再證CEBCFB.這里注意利用BF是ACD中位線這個條件。證明：取

6、CD中點F，連接BF BF=AC,且BFAC （三角形中位線定理） ACB2 (兩直線平行內錯角相等)又 AB=AC ACB3 （等邊對等角） 32在CEB與CFB中， CEBCFB (SAS) CE=CF=CD （全等三角形對應邊相等）即CD=2CE （）加倍法證明：延長CE到F，使EF=CE，連BF.在AEC與BEF中，AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形對應邊、對應角相等) BFAC (內錯角相等兩直線平行) ACB+CBF=180o,ABC+CBD=180o,又AB=AC ACB=ABCCBF=CBD （等角的補角相等）在CFB與CDB中， CFBCDB (SAS

7、) CF=CD即CD=2CE說明：關于折半法有時不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點F，連BF(如圖)（B為AD中點是利用這個辦法的重要前提），然后證CE=BF.(4)證明線段相互垂直例4：已知：如圖，A、D、B三點在同一條直線上，ADC、BDO為等腰三角形，AO、BC的大小關系和位置關系分別如何？證明你的結論。分析：本題沒有直接給出待證的結論，而是讓同學們先根據已知條件推斷出結論，然后再證明所得出的結論正確。通過觀察，可以猜測：AO=BC，AOBC.證明：延長AO交BC于E,在ADO和CDB中 ADOCDB (SAS) AO=

8、BC, OAD=BCD（全等三角形對應邊、對應角相等） AODCOE （對頂角相等） COE+OCE=90o AOBC5、中考點撥：例1如圖，在ABC中，ABAC，E是AB的中點，以點E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點D，連結ED，并延長ED到點F，使DFDE，連結FC求證：FA分析：證明兩個角相等，常證明這兩個角所在的兩個三角形全等，在已知圖形中A、F不在全等的兩個三角形中，但由已知可證得EFAC，因此把A通過同位角轉到BDE中的BED，只要證EBDFCD即可證明：ABAC，ACBB，EBED，ACBEDBEDACBEDABEEABDCD又DEDF，BDECDFBDECDF，BEDFFA說

9、明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的三角形全等入手，在尋求全等條件時，要注意結合圖形，挖掘圖中存在的對項角、公共角、公共邊、平行線的同位角、內錯角等相等的關系。例2 如圖，已知 ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE=BD，連接CE、DE.求證：EC=ED 分析：把已知條件標注在圖上，需構造和AEC全等的三角形，因此過D點作DFAC交BE于F點，證明AECFED即可。證明：過D點作DFAC交BE于F點 ABC為等邊三角形 BFD為等邊三角形 BF=BD=FD AE=BD AE=BF=FD AEAF=BFAF 即 EF=AB EF=AC在 ACE和DFE中，

10、AECFED（SAS） EC=ED（全等三角形對應邊相等）題型展示：例1 如圖，ABC中，C2B，12。求證：ABACCD分析：在AB上截取AEAC，構造全等三角形，AEDACD，得DEDC，只需證DEBE問題便可以解決證明：在AB上截取AEAC，連結DE AEAC，12，ADAD， AEDACD， DEDC，AEDC AEDBEDB，C2B， 2BBEDB即 BEDB EBED，即EDDC， ABACDC剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長法（即在長線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的部分等于另一條短線段）；如作AEAC是利用了角平分線是角的對稱軸的特

11、性，構造全等三角形，另一種方法是補短法（即延長一條短線段等于長線段，再證明延長的部分與另一條短線段相等），其目的是把證明線段的和差轉化為證明線段相等的問題，實際上仍是構造全等三角形，這種轉化圖形的能力是中考命題的重點考查的內容【實戰模擬】1. 下列判斷正確的是（ ）（A）有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等（B）有兩邊對應相等，且有一角為30°的兩個等腰三角形全等（C）有一角和一邊對應相等的兩個直角三角形全等（D）有兩角和一邊對應相等的兩個三角形全等2. 已知：如圖，CDAB于點D，BEAC于點E，BE、CD交于點O，且AO平分BAC求證：OBOC3. 如圖，已知C為線段A

12、B上的一點，DACM和DCBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點，BM和CN交于E點。求證：DCEF是等邊三角形。4.如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線求證：AD<(AB+AC) 5. 如圖，在等腰RtABC中，C90°，D是斜邊上AB上任一點，AECD于E，BFCD交CD的延長線于F，CHAB于H點，交AE于G求證：BDCG【試題答案】1. D2.證明： AO平分ODB，CDAB于點D，BEAC于點E，BE、CE交于點O， ODOE，ODBOEC90°, BODCOE。 BODCOE（ASA）OBOC3. 分析 由ÐACM=ÐBCN=60&

13、#176;，知ÐECF=60°，欲證DCEF是等邊三角形，只要證明DCEF是等腰三角形。先證DCANDMCB，得Ð1=Ð2.再證DCFNDCEB，即可推得DCEF是等邊三角形的結論。證明：在DCAN和DMCB，AC=MC，CN=CB，ÐCAN=ÐMCB=120°，DACNDMCB中， ÐFCB和DCEB中，ÐFCN=ÐECB=60°，Ð1=Ð2，CN=CB，DCFNDCEB，CF=CE，又ÐECF=60°， DCEF是等邊三角形.4. 分析： 關于線段不等的問題，一般利用在同一個三角形中三邊關系來討論，由于AB、AC、AD不在同一個三角形，應設法將這三條線段轉化在同一個三角形中，也就是將線段相等地轉化，而轉化的通常方法利用三角形全等來完成，注意AD是BC邊上的中線，延長AD至E，使DEAD，即可得到ACDEBD證明：延長AD到E，使DEAD，連結BE在DACD與DEBD中 DACDDEBD（SAS） ACEB（全等三角形對應邊相等）在DABE中，ABEBAE（三角形兩邊之和大于第三邊） ABAC2AD（等量代換） 說明：一般在有中點的條件時，考慮延長中線來構造全等三角形。5.分析：由于BD與CG分別在兩個三角形中，欲證BD與