1、初中幾何證明題經典題（一）1、已知：如圖，O 是半圓的圓心，C、 E 是圓上的兩點，CD AB ， EF AB ，EG CO求證： CD GF證明：過點G 作 GHAB 于 H，連接 OE EG CO， EF AB EGO=90 °， EFO=90 ° EGO+ EFO=180 ° E、 G、 O、 F 四點共圓 GEO= HFG EGO= FHG=90 ° EGO FHGEOGO=FGHG GH AB ，CD AB GH CD GO COHGCD EO COFGCD EO=CO CD=GF2、已知：如圖，P 是正方形ABCD 內部的一點，PAD PDA

2、 15°。求證： PBC 是正三角形 （初二）證明：作正三角形ADM ，連接 MP MAD=60 °， PAD=15 ° MAP= MAD+ PAD=75 ° BAD=90 °， PAD=15 ° BAP= BAD- PAD=90 ° -15° =75 ° BAP= MAP MA=BA ， AP=AP MAP BAP BPA= MPA ，MP=BP同理 CPD= MPD ， MP=CP PAD PDA 15° PA=PD， BAP= CDP=75 ° BA=CD BAP CDP BPA

3、= CPD BPA= MPA ， CPD= MPD MPA= MPD=75 ° BPC=360° -75°× 4=60° MP=BP ， MP=CP BP=CP BPC是正三角形3、已知：如圖，在四邊形ABCD 中， AD BC ，M 、N 分別是 AB 、 CD 的中點， AD 、BC 的延長線交MN于 E、F求證： DEN F證明 :連接 AC ，取 AC 的中點 G,連接 NG 、 MG CN=DN ， CG=DG GN AD ，GN= 1 AD2 DEN= GNM AM=BM ， AG=CG GM BC， GM= 1 BC2 F=GMN

4、 AD=BC GN=GM GMN= GNM DEN= F經典題（二）1、已知： ABC 中， H 為垂心（各邊高線的交點）， O 為外心，且OM BC 于 M （ 1）求證： AH 2OM ；（ 2）若 BAC 600，求證： AH AO （初二）證明：（ 1）延長 AD 交圓于 F，連接 BF，過點 O 作 OG AD 于 G OG AF AG=FG AB=AB F=ACB又 AD BC， BEAC BHD+ DBH=90 ° ACB+ DBH=90 ° ACB= BHD F=BHD BH=BF 又 AD BC DH=DF AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+

5、GH=2GH+2DH=2（ GH+DH ） =2GD又 AD BC， OM BC，OG AD四邊形 OMDG 是矩形 OM=GD AH=2OM（ 2）連接 OB 、 OC BAC=60 BOC=120 ° OB=OC ， OM BC BOM= 1 BOC=60° OBM=30°2 BO=2OM由（ 1）知 AH=2OM AH=BO=AO2、設 MN 是圓 O 外一條直線，過O 作 OA MN 于 A ，自 A 引圓的兩條割線交圓O 于 B、 C 及 D、 E，連接 CD 并延長交MN 于 Q，連接 EB 并延長交MN 于 P.求證： AP AQ 證明：作點E 關于

6、 AG 的對稱點F，連接 AF 、 CF、 QF AG PQ PAG= QAG=90 °又 GAE= GAF PAG+ GAE= QAG+ GAF即 PAE= QAF E、 F、 C、D 四點共圓 AEF+ FCQ=180 ° EFAG ， PQ AG EFPQ PAF= AFE AF=AE AFE= AEF AEF= PAF PAF+ QAF=180 ° FCQ= QAFF、 C、A、Q 四點共圓 AFQ= ACQ又 AEP= ACQ AFQ= AEP在 AEP 和 AFQ 中 AFQ= AEP AF=AE QAF= PAE AEP AFQ AP=AQ3、設 M

7、N 是圓 O 的弦，過MN 的中點 A 任作兩弦 BC 、DE ，設 CD 、 EB 分別交 MN 于 P、Q求證： AP AQ （初二）證明：作 OF CD 于 F， OG BE 于 G，連接 OP、 OQ、 OA 、 AF、 AG C、 D、 B、 E 四點共圓 B= D ， E=C ABE ADC AB BE 2BG BGADDC2FDDF ABG ADF AGB= AFD AGE= AFC AM=AN ， OA MN又 OGBE， OAQ+ OGQ=180 ° O、A 、 Q、 E 四點共圓 AOQ= AGE同理 AOP= AFC AOQ= AOP又 OAQ= OAP=90

8、°， OA=OA OAQ OAP AP=AQ4、如圖 ,分別以 ABC 的 AB 和的中點， OP BC求證： BC=2OP （初二）證明：分別過F、A、 D 作直線AC BC為一邊 ,在 ABC 的外側作正方形的垂線，垂足分別是L、M、NABFG和正方形ACDE ，點 O是DF OF=OD ， DN OPFL PN=PL OP 是梯形 DFLN 的中位線 DN+FL=2OP ABFG 是正方形 ABM+ FBL=90 °又 BFL+ FBL=90 ° ABM= BFL又 FLB= BMA=90 °， BF=AB BFL ABM FL=BM同理 AMC

9、CND CM=DN BM+CN=FL+DN BC=FL+DN=2OP經典題（三）1、如圖，四邊形ABCD 為正方形， DE AC ，AE AC ， AE 與 CD 相交于 F求證： CECF（初二）證明：連接BD 交 AC 于 O。過點 E 作 EG AC 于 G ABCD 是正方形 BD AC 又 EGAC BD EG 又 DEAC ODEG 是平行四邊形又 COD=90 ° ODEG 是矩形 EG=OD= 1 BD= 1 AC= 1 AE222 EAG=30 ° AC=AE ACE= AEC=75 °又 AFD=90 ° -15° =75&

10、#176; CFE= AFD=75 °= AEC CE=CF2、如圖，四邊形ABCD 為正方形，求證： AE AF （初二）證明：連接BD ，過點 E 作 EGAC ABCD 是正方形 BD AC ，又 EG AC BD EG 又 DEAC ODEG 是平行四邊形又 COD=90 °DE AC ，且 CE CA ，直線 EC 交 DA 延長線于F于 G CAE= CEA= 1 GCE=15 °2 ODEG 是矩形 EG=OD= 1BD= 1AC= 1CE222 GCE=30 ° AC=EC在 AFC 中 F =180° -FAC- ACF =1

11、80° -FAC- GCE =180° -135 °-30° =15 ° F= CEA AE=AF3、設 P 是正方形 ABCD 一邊 BC 上的任一點， PFAP ，CF 平分 DCE求證： PA PF（初二）證明：過點F 作 FG CE 于 G，FH CD 于 H CD CG HCGF 是矩形 HCF= GCF FH=FG HCGF 是正方形 CG=GF AP FP設 AB= x， BP=y， CG=z APB+ FPG=90 °z：y= （x-y+z ）： x APB+ BAP=90 °化簡得（ x-y）·

12、y=（ x-y）· z FPG= BAPx-y0又 FGP=PBAy=z FGP PBA即 BP=FG FG： PB=PG ：AB ABP PGF4、如圖， PC 切圓 O 于 C， AC 為圓的直徑， PEF 為圓的割線， AE 、 AF 與直線 PO 相交于 B 、 D求證： AB DC， BC AD （初三）證明：過點 E 作 EKBD，分別交 AC 、AF 于 M、K，取 EF 的中點 H，連接 OH、MH 、EC EH=FH OH EF， PHO=90 °EM=KM又 PCOC， POC=90 °EK BD P、 C、 H、 O 四點共圓 OBAOOD

13、HCO= HPOEMAMKM又 EK BD ， HPO= HEKOB=OD HCM= HEM又 AO=COH、C、E、 M 四點共圓四邊形 ABCD的對角 ECM= EHM線互相平分又 ECM= EFAABCD 是平行四邊形 EHM= EFAAB=DC， BC=AD HM AC EH=FH經典題 ( 四)1、已知： ABC 是正三角形， P 是三角形內一點， PA 3， PB 4， PC 5 A求 APB 的度數（初二）解：將 ABP 繞點 B 順時針方向旋轉60°得 BCQ ，連接 PQ則 BPQ 是正三角形 BQP=60 °， PQ=PB=3P在 PQC 中， PQ=4

14、， CQ=AP=3 ，PC=5 PQC 是直角三角形 PQC=90° BQC= BQP+ PQC=60 °+90 ° =150°B APB= BQC=150 °2、設 P 是平行四邊形 ABCD 內部的一點，且PBA PDA 求證： PAB PCB（初二）A證明：過點 P 作 AD 的平行線，過點A 作 PD 的平行線，兩平行線相交于點 E，連接 BE PEAD ， AE PD ADPE 是平行四邊形E PE=AD ，又 ABCD 是平行四邊形 AD=BCB PE=BC又 PE AD ， AD BC又 ADP= ABP PEBC AEP= AB

15、P BCPE 是平行四邊形 A 、E、 B、 P 四點共圓 BEP= PCB BEP= PAB ADPE 是平行四邊形 PAB= PCB ADP= AEP3、設 ABCD 為圓內接凸四邊形，求證：AB ·CD AD ·BC AC · BD （初三）證明：在 BD 上去一點 E，使 BCE= ACDA CD =CD CAD= CBDCQDPCD BEC ADC BEBCEADAC AD · BC=BE · AC BCE= ACDBC BCE+ ACE= ACD+ ACE即 BCA= ECD+得 AB ·CD+ AD · BC

16、=DE ·AC+ BE · AC BC=BC , BAC= BDC=（ DE+BE ）·AC BAC EDC=BD · AC ABACDECD AB · CD=DE ·AC 4、平行四邊形ABCD 中，設 E、 F 分別是 BC 、 AB 上的一點， AE 與 CF 相交于 P，且AE CF求證： DPA DPC（初二）證明：過點 D 作 DG AE 于 G，作 DH FC 于 H ，連接 DF、DEAD11F SADE =2 AE · DG， SFDC=2 FC· DH1又 S ADE = S FDC=2 SAB

17、CD AE · DG=FC · DH又 AE=CF DG=DH點 D 在 APC 的角平分線上 DPA DPCGPHBEC經典題（五）1、設 P 是邊長為1 的正 ABC 內任一點， L PA PB PC， 求證：證明：（ 1）將 BPC 繞 B 點順時針旋轉60°的 BEF ，連接 PE， BP=BE ， PBE=60 ° PBE 是正三角形。 PE=PB 又 EF=PC L=PA+PB+PC=PA+PE+EF當 PA、 PE、 EF 在一條直線上的時候，L=PA+PE+EF 的值最小（如圖）在 ABF 中， ABP=120 ° AF=3 L

18、=PA+PB+PC 3（ 2）過點 P 作 BC 的平行線分別交AB 、 AC 于 D、 G則 ADG 是正三角形 ADP= AGP ，AG=DG APD AGP APD ADP AD PA 又 BD+PD PB CG+PG PC + +得 AD+BD+CG+PD+PG PA+PB+PC AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC PA+PB+PC=L AB=AC=1 L 2由（ 1）（ 2）可知：3 L 23 L2AGDPCBEF2、已知： P 是邊長為1 的正方形 ABCD 內的一點，求PA PB PC 的最小值A解：將 BCP 繞點 B 順時針旋轉 60°得 BEF ，連接

19、 PE，則 BPE 是正三角形 PE=PBPA PBPC=PA+PE+EFB要使 PA PB PC 最小，則 PA、 PE、 EF 應該在一條直線上（如圖）此時 AF= PA+PE+EF過點 F 作 FG AB 的延長線于 G則 GBF=180 ° - ABF=180 ° -150°=30 °G13 GF=2， BG=222 AF=GF 2AG2=131 = 2322 PA PB PC 的最小值是233、 P 為正方形 ABCD 內的一點，并且PA a，PB 2a， PC 3a，求正方形的邊長證明：將 ABP 繞點 B 順時針旋轉A90°得 B

20、CQ ，連接 PQ則 BPQ 是等腰直角三角形，P PQ= 2 PB= 2 × 2a=2 2 a又 QC=AP=aDPECFD QP2+QC2=(2 2 a)2+a2=9a2=PC2CB PQC 是直角三角形Q BQC=135° BC2 =BQ 2+CQ 2-2BQ ·CQ· cos BQC22·PAcos135 °=PB +PA -2PB222=4a +a -2× 2a×a× (-)2解得 BC=522 a正方形的邊長為52 2 a4、如圖， ABC 中， ABC ACB 80°， D、 E

21、分別是 AB 、 AC 上的點， DCA 30°， EBA 20°，求 BED 的度數解：在 AB 上取一點 F，使 BCF=60° ， CF 交 BE 于 G，連接 EF、 DGA ABC=80 °， ABE=20 °， EBC=60 °，又 BCG=60 ° BCG 是正三角形 BG=BC ACB=80 °， BCG=60 ° FCA=20 ° EBA= FCA又 A= A ， AB=AC ABE ACF AE=AF1 AFE= AEF= 2（180°-A）=80°又 ABC=80 ° =AFE EF BC EFG= BCG=60 °FE EFG 是等邊三角形 EF=EG ， FEG= EGF= EFG=60 ° ACB=80 °， DCA=30 ° BCD=50 °DG BDC=180 ° - BCD- ABC=180 ° -50° -80°=50 ° BCD= BDC BC=BD 前已證 BG=BC BD=BG1 BGD= BDG= 2 （ 180° -AB