1、第三章 簡單的優化模型1.在3.1節存貯模型的總費用中增加購買貨物本身的費用，重新確定最優訂貨周期和訂貨批量.證明在不允許缺貨模型和允許缺貨模型中找結果都與原來的一樣.解：設購買單位重量貨物的費用為k，對于不允許缺貨模型，每天平均費用為c（T）=c1/T+c2rT/2+kr,T,Q的最優結果不變。對于允許缺貨模型，每天平均費用為c(T,Q)=1/Tc1+c2Q2/2r+c3(rT-Q)2/2r+kQ,利用，可求出T,Q的最優結果為T*,Q*均比不考慮費用k時的結果減少。3.在3.3節森林救火模型中，如果考慮消防隊員的滅火速度與開始救火時的火勢b有關，試假設一個合理的函數關系，重新求解模型.解：

2、不妨設，表示火勢b越大，滅火速度越小，分母b+1中的1是防止時而加的。最優解為4.在3.4節最優價格模型中，如果考慮到成本q隨著產量x的增加而降低，試做出合理的假設，重新求解模型.解：不妨設是產量增加一個單位時成本的降低。最優價格為5.在考慮最優價格問題時設銷售期為T，由于商品的損耗，成本q隨時間增長，設q=q0+t，為增長率.又設單位時間的銷售量為x=a-bp（p為價格）.今將銷售期分為0<t<T/2和T/2<t<T兩段，每段的價格固定，記作p1，p2的最優值，使銷售期內的總利潤最大.如果要求銷售期T內的總售量為Q0，再求p1，p2的最優值.解：總利潤為由，可得最優價

3、格設總銷量為Q0，在此約束條件下U(p1,p2)的最大值點為6.在3.6節消費者的選擇模型中，（1） 證明若條件B成立，則條件A成立.（2） 驗證（3），（5），（7）式給出的效用函數是否滿足條件B和A.（3） 若消費者的效用函數為（7）式，求最優比例p1q1/p2q2，并分析參數a，b的意義.（4） 若商品甲的價格p1增加，其余條件不變，討論消費者均衡狀態的變化.（5） 若消費者購買商品的錢s增加，其余條件不變，討論消費者均衡狀態的變化.（6） 推廣到消費者購買m（m>2）種商品的情況。解：（1）用隱函數求導規則可以證明當條件B成立時，即條件A成立.（2）均滿足條件B。（3）,a,b分

4、別表示消費者對商品甲、乙的偏愛程度。（4）p1增加時，消費者均衡狀態Q點將左移（見書中圖7）.（5）s增加時,消費者狀態Q點將向右上方移動（見書中圖7）.（6）優化模型為Max U(q1,qm) , 7.要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數且方向不變，試建立數學模型討論是否跑得越快，淋雨量越少.將人體簡化成一個長方體，高a=1.5cm（頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m.設跑步距離d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，記跑步速度為v。按一下步驟進行討論：（1）不考慮雨的方向，設降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計跑完全程的總淋雨量.（

5、2）雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內，且與人體的夾角為，如圖1.建立總淋雨量與速度v及參數a，b，c，d，u，w，之間的關系，問速度v多大，總淋雨量最少.計算=0，=時的總淋雨量.（3）雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內，且與人體的夾角為，如圖2.建立總淋雨量與速度v及參數a，b，c，d，u，w，之間的關系，問速度v多大，總淋雨量最少.計算=時的總淋雨量.（4）以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對（3）作圖（考慮的影響），并解釋結果的實際意義.（5）若雨線方向與跑步方向不在同一平面模型會有什么變化.解：（1）全身面積s=2ab+2ac+bc=2.2m2 ,淋雨時間t=d/vm

6、=200s,降雨量w=2cm/h=10- 4/18m/s,所以總淋雨量Q=stw2.44升.（2）頂部淋雨量Q1=bcdwcos/v;雨速水平分量usin,方向與v相反，合速度usin+v,迎面單位時間、單位面積的淋雨量w(usin+v)/u,迎面淋雨量Q2=abdw(usin+v)/uv,所以總淋雨量Q=Q1+Q2=v=vm時Q最小. =0, Q1.15升. =300, Q1.55升.（3）與（2）不同的是，合速度為|usin+v|，于是總淋雨量Q=若即則時Q是最小.否則, 時Q是最小最小(見下圖).當a=300 ,tan a>0.2/1.5,v=2m/s, Q0.24升最小.可與, Q0.93升相比.usinatan a>c/avOQtan a>c/avusinaOQ（4）