1、摘要： 為實現多輸入、多輸出、高度非線不穩定的倒立擺系統平衡穩定 控制，將倒立擺系統的非線性模型進行近似線性化處理，獲得系統在平衡 點附近的線性化模型。利用牛頓歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統的 數學模型。在分析的基礎上，基于狀態反饋控制中極點配置法對直線型倒 立擺系統設計控制器。由MATLA仿真表明采用的控制策略是有效的， 設計 的控制器對直線型一級倒立擺系統的平衡穩定性效果好，提高了系統的干 擾能力。關鍵詞：倒立擺、極點配置、MATLA仿真引言： 倒立擺是進行控制理論研究的典型試驗平臺，由于倒立擺本身所 具有的高階次、不穩定、非線性和強耦合性，許多現代控制理論的研究人 員一直將他視為典型的

2、研究對象，不斷從中發掘出新的控制策略和控制方 法。控制器的設計是倒立擺系統的核心內容，因為倒立擺是一個絕對不穩 定的系統，為使其保持穩定并且可以承受一定的干擾，基于極點配置法給 直線型一級倒立擺系統設計控制器1數學模型的建立倒立擺系統其本身是自不穩定的系統，實驗建模存在著一定的困難。 在忽略掉一些次要的因素之后， 倒立擺系統就是一典型的運動的剛體系統， 可以在慣性坐標系中應用經典力學理論建立系統動力學方程。下面采用牛 頓-歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統的數學模型。1.1 微分方程的數學模型在忽略了空氣阻力和各種摩擦力之后， 可將直線一級倒立擺系統抽象成 小車和勻質桿組成的系統，如圖 1 所示

3、：圖 1 ：直線一級倒立擺模型設系統的相關參數定義如下：M小車質量m擺桿質量b：小車摩擦系數l ：擺桿轉動軸心到桿質心的長度I ：擺桿質量F：加在小車上的力x：小車位置：擺桿與垂直方向上方向的夾角0 :擺桿與垂直方向下方向的夾角（擺桿的初始位置為豎直向下）如下圖2所示為小車和擺桿的受力分析圖。 其中，N和P為小車與擺桿 相互作用力的水平和垂直方向的分量。圖 2：小車和擺桿受力分析圖應用牛頓方法來建立系統的動力學方程過程如下：分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下的方程： 由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面的等式： 將此等式代入上述等式中，可以得到系統的第一個運動方程： 為了推出系統的第

4、二個運動方程， 我們對擺桿垂直方向上的合力進行分 析，可以得到下面的方程：力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向，由于故等式前面有負號。合并這兩個方程，約去P和N,得到第二個運動方程：設0 = n + ©,當擺桿與垂直向上方向之間的夾角©與 1 （單位是弧度）相比 很小時，即<<1時，則可以進行如下近似處理：線性化后得到該系統數學模型的微分方程表達式：1.2 狀態空間數學模型控制系統的狀態空間方程可寫成如下形式：解代數方程可得如下解： 整理后可得系統的狀態空間方程： 對于質量均勻分布的擺桿，其轉動慣量為：代入微分方程模型中得：化簡后可得：? ? ?設 X x

5、 xT ,u x 則有：1.3 實際系統模型實際系統參數如下：M小車質量，0.5Kg;m擺桿質量，0.2Kg;b：小車摩擦系數，0.1N/m/sec；l ：擺桿轉動軸心到桿質心的長度， 0.3m;I :擺桿質量，0.006Kg m- mT：采樣時間，0.005s。將上述系統參數代入可得系統實際模型。 擺桿角度和小車位移的傳遞函數： 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數： 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數： 以外界作用力作為輸入的系統狀態方程： 以小車加速度作為輸入的系統狀態方程：2. 狀態空間極點配置經典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統， 控制器設計時一般需要有關被控對象的較精確

6、模型，現代控制理論主要是依據現代數學工具，將經典控制理論的概念擴展到多輸入多輸出系統。極點配置法通過設計狀態反饋控制器將多變量系統的閉環系統極點配置在期望的位置上，從 而使系統滿足瞬態和穩態性能指標。設計要求：用極點配置方法設計控制器，使得在小車上施加 0.1N 的階躍信號時， 閉環系統的響應指標為：（ 1 ）要求系統調整時間小于 3s（2）穩態時擺桿與垂直方向的夾角變化小于 0.1 弧度狀態方程為：選擇控制信號：可解得：直接利用 MATLAB 極點配置函數K , PREC, MESSAGE=PLACE(A , B, P)來計算。選取調整時間ts=2.0s,阻尼比為E =0.5,可得期望的閉環

7、極 占：八、U3, U4為一對主導極點，U1, U2距離閉環主導極點5倍，可忽略其對主 導極點的影響。矩陣(A-BK )的特征值是方程式|Is- (A-BK ) |=0的根：這是s的四次代數方程式，可表示為適當選擇反饋系數k1,k2, k3, k4系統的特征根可以取得所希望的值。把四個特征根乙3, 4設為四次代數方程式的根，則有如果給出的 仆2, 3, 4是實數或共軛復數，則聯立方程式的右邊全部為實數。據此可求解出實數k1,k2,k3,k4當將特征根指定為下列兩組共軛復數時1 ,2,3,4 22、.3j,-10,-10又 a=29.4,b=3利用方程式可列出關于k1,k2,k3,k4勺方程組：

8、 求解后得k1=-65.3061k2=-29.3878k3=114.3224k4=21.3551所以反饋矩陣：即施加在小車水平方向的控制力u:卩=?KX二© -21.3551 ©3.仿真驗證圖3:倒立擺極點配置仿真框圖可以看出在干擾的情況下，系統在 3s之內基本上可以恢復到新的平衡 位置。圖4:直線一級倒立擺狀態空間極點配置 MATALABSIMULINK 仿真結果 圖圖5:直線一級倒立擺狀態空間極點配置實時控制結果(施加干擾) 在給倒立擺施加干擾后，系統的響應如圖 12所示，系統的穩定時間在 3s之內，達到設計要求。4結論傳統的非線性系統分析方法需要非線性系統的精確模型，

9、而實際中存 在的大量復雜的多變量非線性系統則表現為參數的不確定性和結構的不確 定性。本文用現代控制理論的極點配置方法對直線一級倒立擺控制進行了 分析，并用 Simulink 進行了倒立擺的系統仿真。通過實驗，得到如下結論：(1) 對于具有非線性、多變量等特點的倒立擺系統進行系統分析， 分析 其非線性因素，在誤差允許的范圍內忽略某些次要因素將其線性化。(2) 狀態空間極點配置控制器既能實現對擺桿角度的控制， 又能控制小 車位移。(3) 基于極點配置法對直線型一級倒立擺系統設計的控制器，可使系 統在很小振動范圍內保持平衡， 穩態時擺桿與垂直方向的夾角變化小于 0.1 弧度，系統穩定時間約為 3S。5. 參考文獻1 于長官，現代控制理論 第3版 哈爾濱工業大學出版社， 20052 郭釗俠，方建安，苗清影倒立擺系統及其智能控制研究 J 東華大 學學報， 2003， 29(2) ：1221263 劉豹現代控制理論 M 北京：機械工業出版社， 20054 王正林，王勝開 MATLAB Simulin