1、一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.在四邊形A8CZ）中，ZB + ZD = 180,對角線AC平分NW0.（1）如圖1,若/）43 = 120。，且N8 = 90。，試探究邊4。、A3與對角線4c的數量 關系并說明理由.（2）如圖2,若將（1）中的條件“4 = 90。”去掉，（1）中的結論是否成立？請說明理 由.（3）如圖3,若NZM8 = 90。，探究邊A。、A8與對角線4c的數量關系并說明理由.圖1圖2【答案】（2） AC = AO + A3.證明見解析：（2）成立：（3）+= 理由見解析.【解析】試題分析：（1）結論：AC=AD+AB,只要證明AD=AC, AB=AC即

2、可解決問題：22（2） （1）中的結論成立.以C為頂點，AC為一邊作N ACE=60。，NACE的另一邊交AB延 長線于點E,只要證明 DACW BEC即可解決問題：（3）結論：AD+AB=yf2AC.過點C作CE_LAC交AB的延長線于點E,只要證明 ACE是 等腰直角三角形，ADAC合 BEC即可解決問題： 試題解析：解：（1） AC=AD+AB.理由如下：如圖1中，在四邊形 ABCD 中,Z D+Z B=180% Z B=90%/. Z D=90SZ DAB=120, AC 平分N DAB, Z DAC=Z BAC=60%Z B=90/. AB=-AC,同理 AD=1aC.22/. AC

3、=AD+AB.(2) (1)中的結論成立，理由如下：以C為頂點，AC為一邊作N ACE=60。，N ACE的另 一邊交AB延長線于點E,Z BAC=60 AEC為等邊三角形，AC=AE=CE,Z D+Z ABC=180 Z DAB=120, Z DCB=60% Z DCA=Z BCE,Z D+Z ABC=180% Z ABC+Z EBC=180%ND=NCBE, V CA=CE, DACW BEC,/. AD=BE,AC=AD+AB,（3）結論：AD+AB=AC.理由如下：過點C作CE_LAC交AB的延長線于點E,ND+NB=18（r, Z DAB=90, / Z ACE=90, . Z DC

4、A=Z BCE,文:AC平分N DAB,Z CAB=45,Z E=45.AC=CE.又; Z D+Z ABC=180, Z D=Z CBE,，a CDA a CBE,，AD二BE, AD+AB=AE.在 ACE 中，NCAB=45,：,AE= AC =/2AC cos450 AD + AB=y/2AC-2 .在圖1中，正方形ABCD的邊長為a,等腰直角三角形FAE的斜邊AE = 2b,且邊AD和 AE在同一直線上.操作示例當2bVa時，如圖1,在BA上選取點G,使BG = b,連結FG和CG,裁掉 FAG和 CGB 并分別拼接到 FEH和 CHD的位置構成四邊形FGCH.思考發現小明在操作后發

5、現：該剪拼方法就是先將 FAG繞點F逆時針旋轉90學必FEH的位置，易 知EH與AD在同一直線上.連結CH,由剪拼方法可得DH=BG,故 CHD合 CGB,從而又 可將4CGB繞點C順時針旋轉90。到ACHD的位置.這樣，對于剪拼得到的四邊形FGCH（如圖1）,過點F作FMXAE于點M （圖略），利用SAS公理可判斷 HFMW CHD,易 得FH=HC=GC=FG, Z FHC=90.進而根據正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正 方形.實踐探究（1）正方形FGCH的面積是；（用含a, b的式子表示）（2）類比圖1的剪拼方法，請你就圖2圖4的三種情形分別畫出剪拼成一個新正方形的 示意圖

6、.聯想拓展小明通過探究后發現：當ba時，此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點G的位置在 BA方向上隨著b的增大不斷上移.當ba時（如圖5）,能否剪拼成一個正方形？若 能，請你在圖5中畫出剪拼成的正方形的示意圖；若不能，簡要說明理由.圖5【答案】（1） a2+b2： （2）見解析；聯想拓展：能剪拼成正方形.見解析.【解析】分析：實踐探究：根據正方形FGCH的而積=BG?+BC2進而得出答案：應采用類比的方法，注意無論等腰直角三角形的大小如何變化，BG永遠等于等腰直角三角 形斜邊的一半.注意當b=a時，也可直接沿正方形的對角線分割.詳解：實踐探究：正方形的而積是：BG2+BC2=a2+b2；剪拼

7、方法如圖2-圖4：圖2圖3圖4聯想拓展：能，點睛：本題考查了幾何變換綜合，培養學生的推理論證能力和動手操作能力；運用類比方 法作圖時，應根據范例抓住作圖的關鍵：作的線段的長度與某條線段的比值永遠相等，旋 轉的三角形，連接的點都應是相同的.3 .操作：如圖，邊長為2的正方形ABCD.點P在射線BC上，將 ABP沿AP向右翻折， 得到AAEP, DE所在直線與AP所在直線交于點F.探究：（1）如圖1,當點P在線段BC上時，若NBAP=30。，求NAFE的度數；若點E 恰為線段DF的中點時，請通過運算說明點P會在線段BC的什么位置？并求出此時NAFD 的度數.歸納：(2)若點P是線段BC上任意一點時

8、(不與B, C重合)，NAFD的度數是否會發 生變化？試證明你的結論；猜想：(3)如圖2,若點P在BC邊的延長線上時，N AFD的度數是否會發生變化？試在【答案】(1)45。：BC的中點，45。： (2)不會發生變化，證明參見解析；(3)不 會發生變化，作圖參見解析.【解析】試題分析：(1)當點P在線段BC上時，由折疊得到一對角相等，再利用正方形性質求 出NDAE度數，在三角形AFD中，利用內角和定理求出所求角度數即可：由E為DF中 點，得到P為BC中點，如圖1,連接BE交AF于點0,作EGH AD,得EG II BC,得至lj AF 垂直平分BE,進而得到三角形BOP與三角形EOG全等，利用

9、全等三角形對應邊相等得到BP=EG=L得到P為BC中點，進而求出所求角度數即可：(2)若點P是線段BC上任意一 點時(不與B, C重合)，NAFD的度數不會發生變化，作AG_LDF于點G,如圖1(a)所 示，利用折卷的性質及三線合一性質，根據等式的性質求出N1+N 2的度數，即為NFAG 度數，即可求出NF度數：(3 )作出相應圖形，如圖2所示，若點P在BC邊的延長線上 時，N AFD的度數不會發生變化，理由為：作AG_LDE于G,得N DAG=N EAG,設 N DAG=Z EAG=a,根據/ FAE為N BAE 一半求出所求角度數即可.試題解析：(1)當點P在線段BC上時，NEAP=NBA

10、P=30。，.NDAE=90。- 30x2=30% 在 ADE 中,AD=AE, Z DAE=30% Z ADE=Z AED= (180 - 30) +2=75,在 AFD 中，Z FAD=30+30=60, Z ADF=75% /. Z AFE=180 - 60 - 75=45； 點 E 為 DF 的中點時，P也為BC的中點，理由如下：B pj c圖 1如圖 1,連接 BE 交 AF 于點 0,作 EGIIAD,得 EGII BC, EGII AD,1DE=EF,EG=1AD=1, 丁 AB=AE, .點A在線段BE的垂直平分線上，同理可得點P在線段 BE的垂直平分線上，.AF垂直平分線段B

11、E,，0B=0E, V GEII BP, A Z OBP=Z OEG, Z OPB=Z OGE, J BOP合 EOG, /. BP=EG=1,即 P 為 BC 的中點,二 Z DAF=90 - Z BAF, Z ADF=45+Z BAF, /. Z AFD=180 - N DAF - N ADF=45： (2)Z AFD 的度數不會/ AG 平分N DAE,即N 2=Z DAG,且1N 1=N BAP, Z 1+Z 2=2x90=45,即N FAG=45,則N AFD=90 - 45=45； (3)如圖 2設N DAG=Z EAG=a,所示,N AFE的大小不會發生變化，Z AFE=45,/

12、. Z BAE=90+2a, /. Z FAE=2Z BAE=45+a, /. Z FAG=Z FAE - Z EAG=45% 在 R3AFG 中,Z AFE=90-45=45.考點：1 .正方形的性質：2,折疊性質：3,全等三角形的判定與性質.4.如圖，在等腰中，NB4C = 90 ,點E在AC上(且不與點4、C重合)， 在人鉆。的外部作等腰肋CEQ，使NCEO = 90，連接AD，分別以48,八。為鄰邊 作平行四邊形48FD,連接4F.(1)請直接寫出線段4F, AE的數量關系；將?繞點C逆時針旋轉，當點E在線段8c上時，如圖，連接AE,請判斷 線段AF, AE的數量關系，并證明你的結論；

13、若A8 = 2, CE = 2,在圖的基礎上將CD繞點C繼續逆時針旋轉一周的過 程中，當平行四邊形48FD為菱形時，直接寫出線段4E的長度.圖圖F 圖【答案】 證明見解析；AF = E4上或2點.【解析】【分析】(1)如圖中，結論：AF = &AE，只要證明AEF是等腰直角三角形即可；(2)如圖中，結論：AF = /2AE 連接EF, DF交BC于K,先證明EKF二.EDA再證明aAEF是等腰直角三角形即可；分兩種情形a、如圖中，當AD = AC時，四邊形ABFD是菱形上、如圖中當AD = AC時，四邊形ABFD是菱形分別求解即可.【詳解】(1)如圖中，結論：af=J5ae.圖理由：四邊形AB

14、FD是平行四邊形， .-.AB = DF,vAB = AC,AC = DF vDE = EC, .AE = EF，/DEC = NAEF = 90 , .AEF是等腰直角三角形， /. AF = V2 AE - 故答案為af=(2)如圖中，結論：AF = &AE.ADC圖理由：連接EF, DF交BC于K. .四邊形ABFD是平行四邊形，.-.AB/DF,KE = /ABC = 45,.KF=180 4KE = 135，EK = ED,NADE = 180 - DC = 180 -45 = 135。，.4KF=ZADE, / NDKC = NC, .-.DK = DC.,/ DF = AB =

15、AC,/.KF = AD在aEKF和aEDA中，EK = ED ZEKF = ZADE , KF=AD.EKF - aEDA，.-.EF = EA KEF = NAED，/FEA = /BED = 90，.AEF是等腰直角三角形，/. AF = &AE .如圖中，當AD = AC時，四邊形ABFD是菱形，設AE交CD于H,易知EH = DH = CH =。AH = 42后 _(6 = 3 垃，AE = AH + EH = 4 五，A如圖中當AD = AC時，四邊形ABFD是菱形，易知圖綜上所述，滿足條件的AE的長為4點或2&.【點睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形

16、的判定和性質、平行 四邊形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，尋找 全等的條件是解題的難點，屬于中考常考題型.5.如圖，四邊形48CD中，對角線AC、8。相交于點O, AO=CO, B0=D0,且 N48C+N 406=180.（1）求證：四邊形48CD是矩形.(2)若N ADF： Z FDC=3: 2, DFAG 求N 8DF 的度數.【答案】（1）見解析;（2） 18。【解析】【分析】（1）根據平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，求出NABC=90。，根據矩形 的判定得出即可；（2）求出NFDC的度數，根據三角形內角和定理求出NDCO,根據矩形的

17、性質得出 OD=OC,求出NCDO,即可求出答案.【詳解】（1）證明：AO=CO, BO=DO/.四邊形ABCD是平行四邊形，/. Z ABC=Z ADC,Z ABC+Z ADC=180,/. Z ABC=Z ADC=90,/.四邊形ABCD是矩形；（2）解：Z ADC=90, Z ADF： N FDC=3： 2,/. Z FDC=36,DFAC,/. Z DCO=90 - 36=54%/四邊形ABCD是矩形，/. OC=OD,/. Z ODC=54/. Z BDF=Z ODC - Z FDC=18.【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和判定，矩形的性質和判定的應用，能靈活運用定理進行推 理是解

18、此題的關鍵，注意：矩形的對角線相等，有一個角是直角的平行四邊形是矩形.6 .圖1、怪12是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為 1,每個小正方形的頂點叫做格點.（1）在圖1中畫出等腰直角三角形MON,使點N在格點上，且NMON=90。：（2）在圖2中以格點為頂點畫一個正方形ABCD,使正方形ABCD而積等于（1）中等腰直 角三角形MON而積的4倍,并將正方形ABCD分割成以格點為頂點的四個全等的直角三角 形和一個正方形，且正方形ABCD面積沒有剩余（畫出一種即可）.圖1圖2【答案】（1）作圖參見解析；（2）作圖參見解析.【解析】試題分析：（I）過點o向線段0M作垂線

19、，此直線與格點的交點為N,連接MN即可： （2）根據勾股定理畫出圖形即可.試題解析：（1）過點o向線段0M作垂線，此直線與格點的交點為N,連接MN,如圖1（2）等腰直角三角形MON而積是5,因此正方形面積是20,如圖2所示：于是根據勾股 定理畫出圖3：圖3考點：1.作圖-應用與設計作圖：2.勾股定理.7 .如圖，點O是正方形ABCD兩條對角線的交點，分別延長CO到點G, OC到點E,使 OG=2OD、0E=20C,然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG.（1）如圖1，若正方形OEFG的對角線交點為M,求證：四邊形CDME是平行四邊形.（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉，

20、得到正方形OEFG，如圖2,連接 AG- DES 求證:AG=DE, AGZDE/：（3）在（2）的條件下，正方形OEFG，的邊OG，與正方形ABCD的邊相交于點N,如圖3, 設旋轉角為a （00a180）,若 AON是等腰三角形，請直接寫出a的值.【答案】（1）證明見解析:（2）證明見解析;（3） a的值是22.5。或45。或112.5。或135。或 157.5.【解析】【分析】（1）由四邊形OEFG是正方形，得到ME二GE,根據三角形的中位線的性質得到2CDII GE, CD=-GE,求得CD二GE,即可得到結論：2（2）如圖2,延長ED交AG吁H,由四邊形ABCD是正方形，得到AO=OD

21、,Z AOD=Z COD=90,由四邊形OEFG是正方形，得到OG/OF, N AOG-90。,由旋轉的性質得到N GzOD=Z E9C,求得N AOG,=Z COE，根據全等三角形的性質得到AGDE*,Z AGzO=Z DE9,即可得到結論：（3）分類討論，根據三角形的外角的性質和等腰三角形的性質即可得到結論.【詳解】（1）證明：.四邊形OEFG是正方形，1/. ME=-GEt20G=20D. OE=2OC,1 , CDII GE, CD=-GE,2 , CD;GE,四邊形CDME是平行四邊形；（2）證明：如圖2,延長FD交AG吁H, 四邊形ABCD是正方形， .AO=OD, N AOD二N

22、 COD二90。， 四邊形OEFG是正方形， ,OG=OE, NE9G=90。，,將正方形OEFG繞點0逆時針旋轉，得到正方形OEFG, . Z G/OD=Z E9C, Z A0G=Z COES在aAGO與 ODE，中，OA=OD-ZAOG,= ZDOE,OGr=OEf./. AGS ODEZ，AG=DE，NAGONDEO,Z 1=Z 2,/. Z G/HD=Z GOE=90,AGDH（3）正方形OEFG，的邊OG，與正方形ABCD的邊AD相交于點N,如圖3,I、當 AN二AO 時,/ Z OAN=45,/. Z ANO=Z AON=67.5% Z ADO=45%a=Z ANO-Z ADO=2

23、2.5：n、當 AN=ON 時，Z NAO=Z AON=45%Z ANO=90%/. a=90-45o=45；正方形OEFG，的邊OG，與正方形ABCD的邊AB相交于點N,如圖4,Z OAN=45%Z ANO=Z AON=67.5% Z ADO=45,/. a=Z ANO+90=112.5；n、當 AN=ON 時，. Z NAO=Z AON=45/. Z ANO=90%a=90+45=135%田、當 AN=AO 時，旋轉角 a=N ANO+900=67.5+90=157.5,綜上所述：若八AON是等腰三角形時，a的值是22.5。或45。或112.5。或135。或157.5.【點睛】本題主要考查

24、了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、銳角三角函數、旋轉變換的性 質的綜合運用，有一定的綜合性，分類討論當 AON是等腰三角形時，求a的度數是本題 的難點.8.如圖1,矩形ABCD中，AB=8, AD=6：點E是對角線BD上一動點，連接CE,作EF J_CE 交AB邊于點F,以CE和EF為鄰邊作矩形CEFG,作其對角線相交于點H.(1)如圖2,當點F與點B重合時，CE=, CG=:如圖3,當點E是BD中點時，CE=, CG=；(2)在圖1,連接BG,當矩形CEFG隨著點E的運動而變化時，猜想 EBG的形狀？并 加以證明：(3)在圖1,魯的值是否會發生改變？若不變，求出它的值；若改變，說明理由

25、：(4)在圖1,設DE的長為x,矩形CEFG的面積為S,試求S關于x的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍.【答案】(1)三，二，5, 9： (2) 4EBG是直角三角形，理由詳見解析：(3)3、3 , 48/32 、-;(4) S=-x2 - - x+48 (0x-Dt J。 i1 -5 V 55如圖3中，過點E作MN_LAM交AB于N,交CD于M.圖3; DE=BE,1/. CE=-BD=5,2 / CME- ENF,CM _ENceef：.CG=EF= , 4(2)結論： EBG是直角三角形.理由：如圖1中，連接BH.在 RSBCF 中,/ FH=CH,/. BH二FH=CH, 四邊形EF

26、GC是矩形， . EH=HG=HF=HC,BH=EH=HG,EBG是直角三角形.(3) F 如圖 1 中，/ HE=HC=HG=HB=HF, C、E、F、B、G五點共圓， / EF=CG, , Z CBG=Z EBF,CDII AB, Z EBF=Z CDE, Z CBG=Z CDE,Z DCB=Z ECG=90 Z DCE=Z BCG,，a DCE BCG,CG BC 6 3 _ _ CE - DC 8 4（4）由（3）可知:CG CD _ 3 CECB4：.矩形CEFG矩形ABCD,.S矩形CG _ （ CE ）2 CE-Sjccd CD 643224CE2= （ -x） 2+ ） 2,

27、S 如彩abcd=48， dD3 3224S 施對CEFG= （ - -X ） 2+ （ ）2.4 553 4832，矩形 CEFG 的面積 S=二 x2. 一 x+48 （0x）.4 55【點睛】本題考查相似三角形綜合題、矩形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、直角三 角形的判定和性質、相似多邊形的性質和判定等知識，解題的關犍是靈活運用所學知識解 決問題，學會添加常用輔助線，構造相似三角形或直角三角形解決問題，屬于中考壓軸 題.9.如圖，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD,點P為正方形AD邊上的一點（不與點 A、點D重合），將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于

28、H, 折痕為EF,連接BP、BH.（1）求證：Z APB=Z BPH；（2）當點P在邊AD上移動時，求證：4PDH的周長是定值：（3）當BE+CF的長取最小值時，求AP的長.【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析.（3） 2.【解析】試題分析：（I）根據翻折變換的性質得出npbc=nbph,進而利用平行線的性質得出N APB=Z PBC即可得出答案；(2)首先證明aAB能 QBP,進而得出4 BCH2 BQH,即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；(3)過F作FMLAB,垂足為M.則FM=BC=AB,證明 EFM合4 BPA,設AP=x,利用折 疊的性質和勾股定

29、理的知識用X表示出BE和CF,結合二次函數的性質求出最值.試題解析：(1)解：如圖1,PE=BE, , Z EBP=Z EPB.又, Z EPH=Z EBC=90/. Z EPH-Z EPB=Z EBC-Z EBP.即N PBC=Z BPH.又；AD II BC,/. Z APB=Z PBC./. Z APB=Z BPH.(2)證明：如圖2,過B作BQ_LPH,垂足為Q.由(1)知N APB=Z BPH,又Z A=Z BQP=90% BP二BP,在仆ABP和 QBP中，Z.APB =乙 BPHZLA = 2LBQP = C)OQ BP = BP . ABP合 QBP (AAS),AP=QP,

30、AB=BQ,又二 AB=BC, , BC=BQ.又N C=N BQH=90, BH=BH,在a BCH和aBQH中，BC=BQZC = ZZ?Q/7 = 9O BH = BH: & BCH合 BQH (SAS), , CH=QH.: & PHD 的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.a PDH的周長是定值.(3)解：如圖3,過F作FM_LAB,垂足為M,則FM=BC=AB./. EFBP./. Z EFM+Z MEF=Z ABP+Z BEF=90, Z EFM=Z ABP.又，Z A=Z EMF=90,在a EFM BPA 中，ZFFM = LABPL.EMF =

31、 FM = AB: & EFM合 BPA (AAS). . EM=AP.設 AP=x在 RtA APE 中，(4-BE) 2+x2=BE2.解得 BE=2+ 8 , x2：.CF=BE-EM=2+8-x, / 1 . BE+CF=4-x+4=4 (x-2) 2+3.當x=2時，BE+CF取最小值，/. AP=2.考點：幾何變換綜合題.10.倡導研究性學習方式，著力教材研究，習題研究，是學生跳出題海，提高學習能力和 創新能力的有效途徑.下面是一案例，請同學們認真閱讀、研究，完成“類比猜想”的問 題.習題如圖（1）,點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，N EAF=45。，連接EF,則 EF=BE+DF,說明理由.解答：正方形 ABCD 中，AB=AD, Z BAD=Z ADC=Z B=90。，.把 ABE繞點A逆時針旋轉90。至 AD匕點F、D、I在一條直線上. Z EA