1、1. 冪級數(shù)的斂散性2. 收斂半徑R的求法、柯西-阿達馬公式3. 冪級數(shù)和的解析性第十四講一、冪級數(shù)的斂散性一、冪級數(shù)的斂散性1. 冪級數(shù)定義具有具有20120()()(),(4.3)nnnczacc zac za形式的級數(shù)稱為冪級數(shù)形式的級數(shù)稱為冪級數(shù).其中其中01,.nc cca和 都是復(fù)常數(shù),(4.3)z a 若令則 可寫成20121.nnnnnccccc2. 阿貝爾(Abel)定理1.(4.3)(),za4 10定理如果在某點收斂 則必在證明證明,zK設(shè) 是圓 內(nèi)任一點10() ,nnncza因為級數(shù)收斂從而它的通項序列必有界從而它的通項序列必有界,1(), (1,2,)nnc zaM

2、n即有正數(shù)即有正數(shù)M,使使 1zza1:.Kzaza圓內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂1lim()0,nnnc za所以為收斂的等比級數(shù)為收斂的等比級數(shù), 1, zaza由于故級數(shù)11()()nnnnnzac zac zaza1nzaMza01nnz aMza0().nnnczaK從而級數(shù)在圓 內(nèi)絕對收斂這樣即有這樣即有,:KKzza其次 對 內(nèi)任一閉圓1()nnnz ac z aMza1()nMza01(),nnMza而級數(shù)收斂0()nnnczaK故級數(shù)在內(nèi)一致收斂,0()nnnczaK從而級數(shù)必在 內(nèi)絕對且內(nèi)閉一致收斂1zaKKz1(0),za上的一切點 有22.(4.3)(),.zaaz4 11

3、推論如果在某點發(fā)散 則它以為心通過 的圓外發(fā)散3.(4.3)3.(4.3)斂散性討論斂散性討論(1) 對所有的復(fù)數(shù)除對所有的復(fù)數(shù)除 z=a 外都發(fā)散外都發(fā)散.此時此時, , 級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除點級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除點a a外處處發(fā)散外處處發(fā)散. ., 0 時時當當 z通項不趨于零通項不趨于零, 故級數(shù)發(fā)散故級數(shù)發(fā)散.2zannznzz2221例如級數(shù)例如例如, 級數(shù)級數(shù) nnnzzz2221對任意固定的對任意固定的z, 從某個從某個n開始開始, 總有總有,21 nz于是有于是有,21nnnnz 故該級數(shù)對任意的故該級數(shù)對任意的z均收斂均收斂.(2) 對所有的復(fù)數(shù)都收斂對所有的復(fù)數(shù)都收斂由由Abel定

4、理知定理知:級數(shù)在復(fù)平面上處處絕對且內(nèi)閉一致收斂級數(shù)在復(fù)平面上處處絕對且內(nèi)閉一致收斂. .1,;zz設(shè)時 級數(shù)收斂2,.zz時 級數(shù)發(fā)散如圖如圖:冪級數(shù)冪級數(shù)0()nnncza的收斂范圍是以點a為中心的圓域.xya1z2z.R收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑(3) 既存在使級數(shù)發(fā)散的復(fù)數(shù), 也存在使級數(shù)收斂的復(fù)數(shù).答案答案:. 為為中中心心的的圓圓域域是是以以az 冪級數(shù)冪級數(shù) 0)(nnnazc的收斂范圍是何區(qū)域的收斂范圍是何區(qū)域?問題問題1:在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, , 不能不能注意注意問題問題2: 冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?作

5、出一般的結(jié)論作出一般的結(jié)論, , 要對具體級數(shù)進行具體分析要對具體級數(shù)進行具體分析. .例如例如, 級數(shù)級數(shù): 0200nnnnnnnznzz1,1Rz 收斂半徑 均為收斂圓周收斂圓周上無收斂點收斂圓周上無收斂點;,1在在其其它它點點都都收收斂斂發(fā)發(fā)散散在在點點 z在收斂圓周上處處收斂在收斂圓周上處處收斂.(4) 收斂半徑的定義收斂半徑的定義(4.3),(4.3),.RzaRzaRRzaRzaR對冪級數(shù)若存在有限正數(shù)使在圓周內(nèi)絕對收斂 在圓周外發(fā)散稱為此冪級數(shù)的收斂半徑,為收斂圓為收斂圓周注注: 一個冪級數(shù)在收斂圓周上有三種情況一個冪級數(shù)在收斂圓周上有三種情況（）處處收斂）處處收斂; （）處處

6、發(fā)散）處處發(fā)散;（）既有收斂點）既有收斂點,也有發(fā)散點也有發(fā)散點.二、二、 收斂半徑的求法收斂半徑的求法定理定理4.124.121lim,(DAlembert)nnnclcR0()nnnnczac如果冪級數(shù)的系數(shù) 合于lim,(Cauchy)nnncl或lim,(Cauchy-Hadamart)nnncl或0()nnncza則冪級數(shù)的收斂半徑0,l 當時1,ll 當時0,0l 當時0 () ,nnncza使級數(shù)收斂10 , zaza使由上節(jié)定理由上節(jié)定理,0 ()nnncza級數(shù)1,zal在圓內(nèi)收斂01 ,zazl假設(shè)在圓外有一點11 ,zazl在圓外再取一點證明證明由于由于111limlim

7、nnnnnnnnczaczaccza,l za1,zal由數(shù)學分析中的正項級數(shù)的D Alembert判別法知當時0nnncza收斂收斂.11,zal然而由有11111limnnnnnczal zacza10,nnncza與收斂相矛盾01 () ,nnnczazal故在圓外發(fā)散所以收斂半徑為所以收斂半徑為1.Rl證畢證畢. 1 即假設(shè)不成立即假設(shè)不成立 .據(jù)阿貝爾定理據(jù)阿貝爾定理,10.nnncza級數(shù)必收斂例例1求下列冪級數(shù)的收斂半徑求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1) 13nnnz(2)1!;nnn z或或nnnnnnc31limlim 解解(1)nnncc1lim 3lim1nnn因為因為, 1

8、 31lim1,nnn249(3) 1.zzz 所以收斂半徑所以收斂半徑, 1 R(2)1(1)!limlim!nnnncncn, 0.R 故,n由于 為平方數(shù)時(3)1,nc 0,nc 其它情形10nnc 或lim1,nnnc故11.Rl從而0( )() ,(4.5)nnnf zcza定理定理4.13(1) 冪級數(shù)冪級數(shù)(2),(4.5),K在 內(nèi)可逐項求導任意階 即1212( )(),( )(1)(),nnnnnnfznczafzn ncza( ):,(0)f zKzaRR 的和函數(shù)在其收斂圓內(nèi)解析;三、三、 冪級數(shù)和的解析性冪級數(shù)和的解析性( )( )(1)(1)()! (1,2,)(4

9、.6)pn pnn pfzn nnpczapp(4.6)與(4.5)有相同的收斂半徑;()( )(3),(0,1,2,)(4.7)!ppfacpp證明證明由Abel定理, 冪級數(shù)0()nnncza在其收斂:,(0)( );KzaRRf z 圓內(nèi)內(nèi)閉一致收斂于() ,(0,1,2,)nnczanz而其各項又都在 平面上解析.故由故由Weierstrass定理定理, ,( )(4.5)Kf z在 內(nèi)解析且可逐項求導任意階.(4.5)(1,2,),(4.6).pp 對可逐項求 階導數(shù)后即得(4.6),za在中令得( )( ),(1,2,)!ppfacpp(0)0( )( ),(4.7).cf afa

10、注意到即得注注1 (4.5)可沿可沿K內(nèi)曲線內(nèi)曲線C逐項積分逐項積分,且收斂且收斂 半徑與半徑與(4.5) 一樣一樣. 0.:,d)(d )(nCnnCRazzCzazczzf 01.)(1d)( nnnzaazncf 或或簡言之簡言之: : 在收斂圓內(nèi)在收斂圓內(nèi), , 冪級數(shù)的和函數(shù)解析冪級數(shù)的和函數(shù)解析; ; 冪級數(shù)可逐項求導, 逐項積分.(常用于求和函數(shù))即即例例2 求級數(shù)求級數(shù) 0)1(nnzn的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解解12limlim 1 nnccnnnn因因為為. 1 R所所以以利用逐項積分利用逐項積分,得得: 0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn, 1 .1zz .)1(12z 1 z例例3 求級數(shù)求級數(shù)11(21)nnnz