1、Part 2.1Part 2.1 物理系統的數學模型物理系統的數學模型2.1.12.1.12.1.22.1.22.1.32.1.3數數學學模模型型的的定定義義建建立立數數學學模模型型的的基基礎礎提提取取數數學學模模型型的的步步驟驟第1頁/共92頁Part 2.1.1Part 2.1.1 數學模型的定義數學模型的定義Remember恒溫箱自動控制系統恒溫箱自動控制系統? ?第2頁/共92頁Part 2.1.1Part 2.1.1 數學模型的定義數學模型的定義系統框圖系統框圖 由若干個元件相互配合起來就構成一個完整的控制系統。系統是否能正常地工作，取決各個物理量之間相互作用與相互制約的關系。物理量

2、的變換， 物理量之間的相互關系信號傳遞體現為能量傳遞（放大、轉化、儲存）由動態到最后的平衡狀態-穩定運動第3頁/共92頁Part 2.1.1Part 2.1.1 數學模型的定義數學模型的定義數學模型：數學模型： 描述系統變量間相互關系的動態性能動態性能的運動方程運動方程 依據系統及元件各變量之間所遵循的物理或化學規律列寫出相應的數學關系式，建立模型。 人為地對系統施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當的數學模型進行逼近。這種方法也稱為建立數學模型的方法：第4頁/共92頁數學模型的形式數學模型的形式時間域：時間域： 微分方程差分方程狀態方程復數域：復數域： 傳遞函數結構圖頻率域：頻率域： 頻

3、率特性第5頁/共92頁數學模型的準確性和簡化Part 2.1.2Part 2.1.2 建立數學模型的基礎建立數學模型的基礎差分方程差分方程 （離散系統）（離散系統）線性與非線性分布性與集中性參數時變性( ),dyy tdt(), ()y kTy kTT第6頁/共92頁機械運動系統的三要素機械運動系統的三要素機械運動的實質： 牛頓定理、能量守恒定理阻尼 質量 彈簧 第7頁/共92頁Part 2.1.3Part 2.1.3 提取數學模型的步驟提取數學模型的步驟 劃分環節 寫出每或一環節(元件) 運動方程式 消去中間變量 寫成標準形式第8頁/共92頁負載效應根據元件的工作原理和在系統中的作用，確定元

4、件的輸入量和輸出量(必要時還要考慮擾動量)，并根據需要引進一些中間變量。由運動方程式 （一個或幾個元件的獨立運動方程）劃分環節劃分環節 按功能（測量、放大、執行）第9頁/共92頁寫出每或一環節寫出每或一環節( (元件元件) ) 運動方程式運動方程式 找出聯系輸出量與輸入量的內部關系，并確定反映這種內在聯系的物理規律。 數學上的簡化處理，（如非線性函數的線性化，考慮忽略一些次要因素）。第10頁/共92頁寫成標準形式寫成標準形式例如微分方程中，將與輸入量有關的各項寫在方程的右邊；與輸出量有關的各項寫在方程的左邊。方程兩邊各導數項均按降冪排列。第11頁/共92頁Part 2.2Part 2.2 非線

5、性數學模型的線性化非線性數學模型的線性化2.2.12.2.12.2.22.2.22.2.32.2.3單變量單變量多變量多變量第12頁/共92頁2.2.12.2.1 常見非線性模型常見非線性模型數學物理方程中的線性方程： 未知函數項或未知函數的（偏）導數項系數依賴 于自變量針對時間變量的常微分方程：線性方程指滿足疊加原理疊加原理： 可加性 齊次性1212()()()()( )f xxf xf xfxf x不滿足以上條件的方程，就成為非線性方程。第13頁/共92頁有條件存在，只在一定的工作范圍內具有線性特性；非線性系統的分析和綜合是非常復雜的。2.2.22.2.2 線性化問題的提出線性化問題的提出

6、可以應用疊加原理，以及應用線性理論對系統進行分析和設計。線性系統缺點：線性系統缺點：線性系統優點：線性系統優點：線性化定義線性化定義 將一些非線性方程在一定的工作范圍內用近似的線性方程來代替，使之成為線性定常微分方程。第14頁/共92頁2.2.32.2.3 線性化方法線性化方法 以微小偏差法為基礎，運動方程中各變量就不是它們的絕對值，而是它們對額定工作點的偏差。假設：假設： 在控制系統整個調節過程中，所有變量與穩態值之間只會產生足夠微小的偏差。非線性方程非線性方程 局部線性增量方程局部線性增量方程第15頁/共92頁增量方程增量方程增量方程的數學含義 將參考坐標的原點移到系統或元件的平衡工作點上

7、，對于實際系統就是以正常工作狀態為研究系統運動的起始點，這時，系統所有的初始條件均為零。注：導數根據其定義是一線性映射，滿足疊加原理。第16頁/共92頁多變量函數泰勒級數法多變量函數泰勒級數法第17頁/共92頁單變量函數泰勒級數法單變量函數泰勒級數法函數y=f(x)在其平衡點（x0, y0）附近的泰勒級數展開式為：略去含有高于一次的增量x=x-x0的項，則：注：非線性系統的線性化模型，稱為增量方程。注：y = f (x0)稱為系統的靜態方程第18頁/共92頁Part 2.3Part 2.3 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換2.3.12.3.12.3.22.3.22.3.32.3.3拉氏變換

8、拉氏變換 拉氏反變換拉氏反變換第19頁/共92頁Part 2.3.1Part 2.3.1 拉氏變換的定義拉氏變換的定義設函數f(t)滿足：1f(t)實函數；2當t0時 ， f(t)=0；3當t0時，f(t)的積分 在s的某一域內收斂0)(dtetfst則函數則函數f(t)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=+j（，均為實數）；F(s)F(s)稱為函數f(t)f(t)的拉普拉氏變換拉普拉氏變換或象函數象函數; ;f(t)f(t)稱為F(s)F(s)的原函數原函數；L L為拉氏變換的符號。第20頁/共92頁拉氏反變換的定義拉氏反變換的定義其中L1為拉氏反變

9、換的符號。第21頁/共92頁高等函數初等函數指數函數三角函數單位脈沖函數單位階躍函數單位速度函數單位加速度函數冪函數Part 2.3.2.1Part 2.3.2.1 拉氏變換的計算拉氏變換的計算第22頁/共92頁Part 2.3.2.3Part 2.3.2.3 拉氏變換的主要運算定理拉氏變換的主要運算定理第23頁/共92頁F(s)= F1(s)+F2(s)+Fn(s)L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)條件： 分母多項式能分解成因式10111011.( )( ),( ).mmmmnnnnb sbsbsbB s

10、F smnA sa sa sasb).()().()()()()(2121nmpspspszszszsKsAsBsFnppp,.,21mzzz,.,21多項式極點多項式零點Part 2.3.2.2Part 2.3.2.2 拉氏反變換方法拉氏反變換方法第24頁/共92頁將微分方程通過拉氏變換變為 s 的代數方程；解代數方程，得到有關變量的拉氏變換表達式；應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。Part 2.3.3Part 2.3.3 拉氏變換求解線性微分方程拉氏變換求解線性微分方程第25頁/共92頁應用拉氏變換法求解微分方程時，由于初始條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式中，因此，不需要根據初始

11、條件求積分常數的值就可得到微分方程的全解。如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏變換可以簡單 地用sn代替dn/dtn得到。第26頁/共92頁Part 2.4Part 2.4 典型環節及其傳遞函數典型環節及其傳遞函數第27頁/共92頁在零初始條件( )下，線性定常系統輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。)()()()()(sXsXtxLtxLsGrcrc)()()(sGsXsXrc)(sXc)(sXrPart 2.4.1Part 2.4.1 傳遞函數的定義傳遞函數的定義第28頁/共92頁nnnnmmmmrcasasasabsbsbsbsXsXsG11101110.)()()()

12、().()().(11101110sXbsbsbsbsXasasasarmmmmcnnnn初始條件為零時 微分方程拉氏變換)()(.)()()()(.)()(1111011110txbdttxdbdttxdbdttxdbtxadttdxadttxdadttxdarmrmmrmmrmcncnncnncn系統的傳遞函數!傳遞函數的直接計算法iidtd)(is系統傳遞函數的一般形式系統傳遞函數的一般形式第29頁/共92頁)()()(sNsMsGmmmmbsbsbsbsM1110.)(nnnnasasasasN1110.)(KabGnm)0(特征方程特征方程第30頁/共92頁).()().()()(2

13、10210nmpspspsazszszsbsGnnnmmmmmasasasabsbsbsbsG11101110.)(零點和極點零點和極點第31頁/共92頁傳遞函數的零、極點分布圖： 將傳遞函數的零、極點表示在復平面上的圖形。零點用“O”表示極點用“”表示零、極點分布圖零、極點分布圖第32頁/共92頁)()()()()(tgLsXsXsXsGcrc)(txc)()(ttxr1)()(tLsXr單位脈沖響應單位脈沖響應第33頁/共92頁傳遞函數是復數s域中的系統數學模型。其參數僅取決于系統本身的結構及參數，與系統的輸入形式無關。傳遞函數通過系統輸入量與輸出量之間的關系來描述系統的固有特性，即以系統

14、外部的輸入輸出特性來描述系統的內部特性。若輸入給定，則系統輸出特性完全由傳遞函數G(s) 決定。結論結論第34頁/共92頁適用于線性定常系統傳遞函數中的各項系數和相應微分方程中的各項系數對應相等，完全取決于系統結構參數。傳遞函數原則上不能反映系統在非零初始條件下的全部運動規律無法描述系統內部中間變量的變化情況只適合于單輸入單輸出系統的描述注意注意第35頁/共92頁).()().()()(210210nmpspspsazszszsbsGnnnnmmmmasasasabsbsbsbsG11101110.)(Part 2.4.2Part 2.4.2 典型環節的傳遞函數典型環節的傳遞函數第36頁/共9

15、2頁sseekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(ekkdjjcllbiiTTabK1211210011第37頁/共92頁環節是根據微分方程劃分的，不是具體的物理環節是根據微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件。裝置或元件。一個環節往往由幾個元件之間的運動特性共同一個環節往往由幾個元件之間的運動特性共同組成。組成。同一元件在不同系統中作用不同，輸入輸出的同一元件在不同系統中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環節的作用。物理量不同，可起到不同環節的作用。第38頁/共92頁ekkkkdjjvcllllbiisTs

16、TsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()()()(tKxtxrcKsXsXsGrc)()()(放大環節放大環節/ /比例環節比例環節第39頁/共92頁ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()()()()(tKxtxdttdxTrcc1)()()(TsKsXsXsGrc慣性環節慣性環節第40頁/共92頁ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()()()(tKxdttdxTrcsKsXsXsGrc)()()(運動方程式：

17、傳遞函數：K 環節的放大系數！記憶trcdttxKtx0)()(！積分輸入突然除去積分停止輸出維持不變例1：電容充電例2：積分運算放大器積分環節積分環節第41頁/共92頁AtTAdtTtxt11)(00！具有明顯的滯后作用！具有明顯的滯后作用第42頁/共92頁ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(dttdxKtxrc)()(KssXsXsGrc)()()(1)()()(TsKTssXsXsGrc微分環節微分環節第43頁/共92頁ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12()

18、1() 12() 1()()()()(2)(222tKxtxdttdxTdttxdTrccc12)()()(22TssTKsXsXsGrc振蕩環節振蕩環節第44頁/共92頁ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()()()(2)()(222txdttdxdttxdKtxrrrc) 12()()()(22ssKsXsXsGrc二階微分環節二階微分環節第45頁/共92頁)()(txtxrcsrcesXsXsG)()()(運動方程式：傳遞函數：sssses1.! 3! 213322sssseess11.! 3! 21113322

19、延滯環節延滯環節第46頁/共92頁Part 2.5Part 2.5 系統方塊圖和信號流圖系統方塊圖和信號流圖2.5.12.5.12.5.22.5.22.5.32.5.3方塊圖方塊圖系統信號流圖系統信號流圖控制系統傳遞函數控制系統傳遞函數 第47頁/共92頁Part 2.5.1Part 2.5.1 方塊圖方塊圖 第48頁/共92頁2.5.1.12.5.1.1 結構方塊圖結構方塊圖第49頁/共92頁！脫離了物理系統的模型!系統數學模型的圖解形式形象直觀地描述系統中各元件間的相互關系及其功能以及信號在系統中的傳遞、變換過程。依據信號的流向 ，將各元件的方塊連接起來組成整 個系統的方塊圖。函數方塊圖函

20、數方塊圖第50頁/共92頁 任何系統都可以由信號線、函數方塊、信號引出點及求和點組成的方塊圖來表示。第51頁/共92頁1信號線 帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記信號的時間函數或象函數。2信號引出點（線）/測量點 表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。同一信號線上引出的信號，其性質、大小完全一樣。第52頁/共92頁第53頁/共92頁! 注意量綱第54頁/共92頁!求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的第55頁/共92頁方框圖的等效變換法則方塊圖的化簡方塊圖的運算規則2.5.1.22.5.1.2 由方塊圖求系統傳遞函數由方塊圖求系統傳遞函數第56頁/共92頁第57頁/共92頁并聯運算

21、規則并聯運算規則第58頁/共92頁反饋運算規則反饋運算規則第59頁/共92頁基于方塊圖的運算規則基于方塊圖的運算規則第60頁/共92頁基于比較點的簡化基于比較點的簡化第61頁/共92頁基于引出點的簡化基于引出點的簡化第62頁/共92頁把幾個回路共用的線路及環節分開，使每一個 局部回路、及主反饋都有自己專用線路和環節。確定系統中的輸入輸出量，把輸入量到輸出量 的一條線路列成方塊圖中的前向通道。通過比較點和引出點的移動消除交錯回路。先求出并聯環節和具有局部反饋環節的傳遞函 數，然后求出整個系統的傳遞函數。方塊圖求取傳遞函數方塊圖求取傳遞函數- -簡化法簡化法第63頁/共92頁方塊圖化簡方塊圖化簡第

22、64頁/共92頁建立系統各元部件的微分方程,明確信號的因果關系（輸入/輸出。對上述微分方程進行拉氏變換，繪制各部件的方框圖。按照信號在系統中的傳遞、變換過程，依次將各部件 的方框圖連接起來，得到系統的方框圖。方塊圖的繪制方塊圖的繪制第65頁/共92頁2.5.2.1 2.5.2.1 信號流圖及其術語信號流圖及其術語2.5.2.2 2.5.2.2 信號代數運算法則信號代數運算法則2.5.2.3 2.5.2.3 根據微分方程繪制信號流圖根據微分方程繪制信號流圖2.5.2.4 2.5.2.4 根據方框圖繪制信號流圖根據方框圖繪制信號流圖2.5.2.5 2.5.2.5 信號流圖梅遜公式信號流圖梅遜公式P

23、art 2.5.2Part 2.5.2 系統信號流圖系統信號流圖 第66頁/共92頁2.5.2.1 2.5.2.1 信號流圖及其術語信號流圖及其術語第67頁/共92頁輸入節點只有輸出的節點，代表系統的輸入變量。輸出節點只有輸入的節點，代表系統的輸出變量。輸出節點輸入節點既有輸入又有輸出的節點。若從混合節點引出一條具有單位增益的支路，可 點變為輸出節點。第68頁/共92頁第69頁/共92頁回路起點與終點重合且通過任何節點不多于一次的閉合通路。回路中所有支路增益之乘積稱為回路增益，用Lk表示。不接觸回路相互間沒有任何公共節點的回路X2、X3X3、X4X5第70頁/共92頁2.5.2.2 2.5.2

24、.2 信號代數運算法則信號代數運算法則第71頁/共92頁取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo (s)作為信號流圖的節點Ui(s)、Uo(s)分別為輸入及輸出節點2.5.2.3 2.5.2.3 根據微分方程繪制信號流圖根據微分方程繪制信號流圖第72頁/共92頁第73頁/共92頁第74頁/共92頁只有一條前向通路三個不同回路L1、L2不接觸 P1與L1、L2、L3均接觸第75頁/共92頁第76頁/共92頁2.5.2.4 2.5.2.4 根據方框圖繪制信號流圖根據方框圖繪制信號流圖第77頁/共92頁方塊圖轉換為信號流圖方塊圖轉換為信號流圖第78頁/共92頁方塊圖轉換為信號流圖方塊圖

25、轉換為信號流圖第79頁/共92頁G 系統總傳遞函數Pk第k條前向通路的傳遞函數（通路增益） 流圖特征式所有不同回路的傳遞函數之和每兩個互不接觸回路傳遞函數乘積之和每三個互不接觸回路傳遞函數乘積之和第k條前向通路特征式的余因子，即對于流圖的特征式，將與第k 條前向通路相接觸的回路傳遞函數代以零值，余下的即為k。k任何m個互不接觸回路傳遞函數乘積之和nkkkPsG11)()()3()2()1() 1(.1mmLLLL)1(L)2(L)3(L)(mL2.5.2.5 2.5.2.5 信號流圖梅遜公式信號流圖梅遜公式第80頁/共92頁2.5.3.12.5.3.1系統傳遞函數系統傳遞函數僅控制量作用下僅擾

26、動量作用下 控制量和擾動共同作用下2.5.3.22.5.3.2系統誤差傳遞函數系統誤差傳遞函數 僅擾動量作用下 控制量和擾動共同作用下Part 2.5.3Part 2.5.3 控制系統傳遞函數控制系統傳遞函數 第81頁/共92頁單獨處理線性疊加前向通道前向通道：R(s)到C(s)的信號傳遞通路反饋通道反饋通道：C C(s)到B(s)的信號傳遞通路系統閉環傳遞函數系統閉環傳遞函數：反饋回路接通后， 輸 出量與輸入量的比值。系統對控制量控制量R(s)R(s)的閉環傳遞函數系統對攏動量動量N(s)N(s)的閉環傳遞函數2.5.3.12.5.3.1系統的傳遞函數系統的傳遞函數第82頁/共92頁系統工作在開環狀態，反饋通路斷開。系統開環傳遞函數系統開環傳遞函數：前向通道傳遞函數與反饋通道傳 遞函數的乘積。( (反饋信號B(s)和偏差信號 (s)之間的傳遞函數)()()()()()(21sHsGsGsEsBsGk系統系統 的開環傳遞數函數的開環傳遞數函數第83頁/共92頁)()()(1)()()()(2121sHsGsGsGsGsRsGR假設擾動量N(s)=0時1| )()()(|21sHsGsG)(1)()(sHsRsGR時1)(sH)()(1)()()()(2121sGsGsGsGsRsGR控制量控制量R(S)