1、線性系統的能控性和能觀性線性系統的能控性和能觀性v動態系統的能控性和能觀性是提示動態系統不變的本質特征的兩個重要的根本構造特性。v卡爾曼在60年代初首先提出形狀能控性和能觀性。其后的開展闡明,這兩個概念對回答被控系統能否進展控制與綜合等根本性問題,對于控制和形狀估計問題的研討,有著極其重要的意義。v系統能控性指的是控制造用對被控系統的形狀和輸出進展控制的能夠性。 狀 態 n維維x(t) r維維u(t) m維維y(t) 能控? 能控? 能觀性反映由能直接丈量的輸入輸出的量測值來確定反映系統內部動態特性的形狀的能夠性。 狀 態 x(t) u(t) y(t) 能觀測? q 為什么經典控制實際沒有涉及

2、到這兩個構造性問題?v這是由于經典控制實際所討論的是SISO系統輸入輸出的分析和綜合問題,它的輸入輸出間的動態關系可以獨一地由傳送函數所確定。v因此,給定輸入,那么一定會存在獨一的輸出與之對應。v反之,對期望輸出信號,總可找到相應的輸入信號(即控制量)使系統輸出按要求進展控制,不存在能否控制的問題。v此外,輸出普通是可直接丈量,不然,那么應能間接丈量。v否那么,就無從對進展反響控制和考核系統所到達的性能目的。v因此,在這里不存在輸出能否丈量(觀測)的問題。v所以,無論是從實際還是實際,經典控制實際和技術普通不涉及到能否控制和能否觀測的問題。v現代控制實際中著眼于對表征MIMO系統內部特性和動態

3、變化的形狀進展分析、優化和控制。v形狀變量向量的維數普通比輸入向量的維數高,這里存在多維形狀能否由少維輸入控制的問題。v此外,形狀變量是表征系統動態變化的一組內部變量,有時并不能直接丈量或間接丈量,故存在能否利用可丈量或觀測的輸出輸出的信息來構造系統形狀的問題。v能控性的直觀討論v形狀能控性反映輸入u(t)對形狀x(t)的控制才干。v假設形狀變量x(t)由恣意初始時辰的恣意初始形狀引起的運動都能由輸入(控制項)來影響,并能在有限時間內控制到空間原點,那么稱系統是能控的,v或者更確切地說,是形狀能控的。v否那么,就稱系統為不完全能控的。v下面經過實例來闡明能控性的意義 。 該電橋系統中,電源電壓

4、u(t)為輸入變量,并選擇兩電容器兩端的電壓為形狀變量x1(t)和x2(t)。 試分析電源電壓u(t)對兩個形狀變量的控制才干。例 某電橋系統的模型如圖4-1所示 。 u R + + + - - C1 C2 x1 x2 - R R R 電橋系統電橋系統 由電路實際知識可知,假設電橋系統是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4),電容C2的電壓x2(t)是不能經過輸入電壓u(t)改動的,即形狀變量x2(t)是不能控的,那么系統是不完全能控的。 u R + + + - - C1 C2 x1 x2 - R R R 假設電橋系統是不平衡的, 兩電容的電壓x1(t)和x2(t)可以經過輸入電壓u(t)控制,那

5、么系統是能控的。由形狀空間模型來看,中選擇兩電容器兩端電壓為形狀變量x1(t)和x2(t)時,可得如下形狀方程:2221111111xRCxuRCxRCx u R + + + - - C1 C2 x1 x2 - R R R 由上述形狀方程可知,形狀變量x2(t)的值,即電橋中電容C2的電壓,是自在衰減的,并不受輸入u的控制。因此,該電壓的值不能在有限時間內衰減至零,即該形狀變量是不能由輸入變量控制到原點。具有這種特性的系統稱為形狀不能控的。 1 Q1 O h1 h2 Q2 QO QO 2 例 某并聯雙水槽系統如下圖,其截面積均為A,它們經過閥門O均勻地輸入等量液體,即其流量QO一樣。并聯雙水槽

6、系統并聯雙水槽系統 1 Q1 O h1 h2 Q2 QO QO 2 當閥門1和2的開度不變時,設它們在平衡任務點鄰域閥門阻力相等并可視為常數,記為R。 圖中h1(t)和h2(t)分別為水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分別為流量。 該雙水槽系統的形狀能控性可分析如下: 對本例的流膂力學系統,假設對兩個水槽的流入和流出的水流體已處于平衡。 下面僅思索流量QO的變化量QO所引起的水槽水位的變化。2222211111ddddQRhQQthAQRhQQthAOO由各水槽中所盛水量的平衡關系和流量與壓力(水面高度)的關系,有 1 Q1 O h1 h2 Q2 QO QO 2 其中代表平衡任務點附近的變化

7、量。 選上述方程中變化量h1和h2為形狀變量,將形狀變量帶入方程中并消去中間變量Q1和Q2消去,那么有ooQAxARxQAxARx11112211 解上述形狀方程,可得d)(-exp1-exp)(d)(-exp1-exp)(022011ototQARtAxARttxQARtAxARttx由上述解可知,當初始形狀x1(0)和x2(0)不等時,那么x1(t)和x2(t)的形狀軌跡完全不一樣,即在有限時間內兩條形狀軌線不相交。因此,對該系統,無論如何控制流入的流量QO(t),都不能使兩水槽的液面高度的變化量h1(t)和h2(t)在有限時間內同時為零,即液面高度不完全能進展恣意控制。上面用實踐系統初步

8、闡明了能控性的根本含義,能控性在系統形狀空間模型上的反映可由如下兩個例子闡明。uxxxxx212112給定系統的形狀空間模型與構造圖分別為q 本例中,形狀變量x1的運動只受初始形狀x1(0)的影響,與輸入無關,q 即輸入u(t)不能控制x1(t)的運動,而且x1(t)不能在有限時間內衰減到零。q 因此,形狀x1(t)不能控,那么整個系統是形狀不完全能控的。1/s-1-2 2x1x1/syuuxxxuxxx21221122p 由該形狀方程可知,形狀變量x1(t)和x2(t)都可由輸入u單獨控制,p 可以說,x1(t)和x1(t)都是單獨能控的。p 對該形狀方程求解后可得p x1(t)-x2(t)

9、=e-3tx1(0)-x2(0)p 即形狀x1(t)和x1(t)總是相差一個固定的,不受u(t)控制的函數值。給定系統的形狀空間模型為v因此,x1(t)和x1(t)不能在有限時間內同時被控制到零或形狀空間中的恣意形狀,只能被控制在滿足由形狀方程解所規定的形狀空間中的曲線上。v所以,雖然形狀x1(t)和x2(t)都是單獨能控的,但整個系統并不能控。v前面4個例子,可經過直觀分析來討論系統的形狀能控性,但對維數更高、更復雜的系統,直觀判別能控性是困難的。v下面將經過給出形狀能控性的嚴厲定義,來導出斷定系統能控性的充要條件。v形狀能控性的定義形狀能控性的定義v由形狀方程由形狀方程vx(t)=A(t)

10、x(t)+B(t)u(t)v及形狀方程求解公式可知及形狀方程求解公式可知,v形狀的變化主要取決于系統的初始形狀和初始時辰之后的形狀的變化主要取決于系統的初始形狀和初始時辰之后的輸入輸入,與輸出與輸出y(t)無關。無關。v因此研討討論形狀能控性問題因此研討討論形狀能控性問題,即輸入即輸入u(t)對形狀對形狀x(t)能否控能否控制的問題制的問題,只需思索系統在輸入只需思索系統在輸入u(t)的作用和形狀方程的性的作用和形狀方程的性質質,與輸出與輸出y(t)和輸出方程無關。和輸出方程無關。v對線性延續系統對線性延續系統,我們有如下形狀能控性定義。我們有如下形狀能控性定義。q 定義定義 假設線性延續系統

11、假設線性延續系統q x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) q 對初始時辰對初始時辰t0(t0T,T為時間定義域為時間定義域)和和初始形狀初始形狀x(t0),q 存在另一有限時辰存在另一有限時辰t1(t1t0,t1T),q 可以找到一個控制量可以找到一個控制量u(t),q 能在有限時間能在有限時間t0,t1內把系統狀內把系統狀 x2 x1 0 x(t0) x(t0) x(t0) 態從初始形狀x(t0)控制到原點,即x(t1)=0, 那么稱t0時辰的形狀x(t0)能控;假設對t0時辰的形狀空間中的一切形狀都能控,那么稱系統在t0時辰形狀完全能控;假設系統在一切時辰形狀完全能控,那么稱系統形

12、狀完全能控,簡稱為系統能控。即,假設邏輯關系式t0T x(t0) t1T(t1t0) u(t)(tt0,t1) (x(t1)=0)為真,那么稱系統形狀完全能控。假設存在某個形狀x(t0)不滿足上述條件,稱此系統是形狀不完全能控的,簡稱系統為形狀不能控。即,假設邏輯關系式t0T x(t0) t1T u(t) (t1t0)(tt0,t1)(x(t1)0)為真,那么稱系統形狀不完全能控。 對上述形狀能控性的定義有如下討論:1. 控制時間t0,t1是系統形狀由初始形狀轉移到原點所需的有限時間。對時變系統,控制時間的長短,即t1-t0的值,與初始時辰t0有關。對于定常系統,該控制時間與t0無關。所以,對

13、于線性定常系統形狀能控性,可不用在定義中強調“在一切時辰形狀完全能控,而為“某一時辰形狀完全能控,那么系統形狀完全能控。即,假設邏輯關系式t0T x(t0) t1T(t1t0) u(t) (tt0,t1) (x(t1)=0)為真,那么稱線性定常延續系統(A,B)形狀完全能控。2. 在上述定義中在上述定義中,對輸入對輸入u(t)沒有加任何約束沒有加任何約束,只需能只需能使形狀方程的解存在即可。使形狀方程的解存在即可。假設矩陣假設矩陣A(t)和和B(t)以及向量以及向量u(t)的每個元素都是的每個元素都是t的的分段延續函數分段延續函數,那么形狀方程存在獨一解。那么形狀方程存在獨一解。u(t)為分段

14、延續的條件為分段延續的條件,在工程上是很容易滿足的。在工程上是很容易滿足的。3. 在形狀能控性定義中在形狀能控性定義中,對輸入對輸入u(t)和形狀和形狀x(t)所處的所處的空間都沒有加任何約束條件。空間都沒有加任何約束條件。在實踐工程系統中在實踐工程系統中,輸入變量空間和形狀空間都不為輸入變量空間和形狀空間都不為無限制條件的線性空間無限制條件的線性空間,因此上述能控性的定義對因此上述能控性的定義對工程實踐系統還需作詳細的分析。工程實踐系統還需作詳細的分析。線性定常延續系統的形狀能控性判別線性定常延續系統的形狀能控性判別線性定常延續系統形狀能控性判據有許多不同方線性定常延續系統形狀能控性判據有許

15、多不同方式式,下面分別討論常用的下面分別討論常用的代數判據和代數判據和模態判據。模態判據。1. 代數判據代數判據定理定理 (線性定常延續系統能控性秩判據線性定常延續系統能控性秩判據) 線性定常延續線性定常延續系統系統 (A,B)形狀完全能控的充要條件為下述條件之形狀完全能控的充要條件為下述條件之一成立一成立:1. 矩陣函數矩陣函數e-AtB的各行函數線性獨立的各行函數線性獨立,即不存在非零即不存在非零常數向量常數向量fRn,使得使得 f e-AtB02. 如下定義的能控性矩陣如下定義的能控性矩陣 Qc=B AB An-1B滿秩滿秩,即即 rankQc=rankB AB An-1B=n v定理給

16、出的是線性定常延續系統形狀能控性充要的兩個判據,可直接用于能控性斷定。v由于檢驗e-AtB的各行能否函數線性獨立相對困難一些,因此實踐運用中通常用定理的條件2。v條件2我們亦稱為線性定常延續系統形狀能控性的代數判據。321001000101aaa xxu例例1 試判別如下系統的形狀能控性試判別如下系統的形狀能控性解 由形狀能控性的代數判據有212121110100aaaAaAbbb212121001rankrankrank 0131cQAAanaaabbb故因此,該系統形狀完全能控。uxx1-1-1112310020231例例2 試判別如下系統的形狀能控性試判別如下系統的形狀能控性4-4-2-

17、2-442245231-1-11122BAABB 將上述矩陣的第3行加到第2行中去,那么可得矩陣000044224523001112顯然其秩為2。而系統的形狀變量維數n=3,所以形狀不完全能控。解 由形狀能控性的代數判據有2. 模態判據模態判據在給出線性定常延續系統形狀能控性模態判據之前在給出線性定常延續系統形狀能控性模態判據之前,先討論形先討論形狀能控性的如下性質狀能控性的如下性質: 線性定常系統經線性變換后形狀能控性堅持不變。線性定常系統經線性變換后形狀能控性堅持不變。下面對該結論作簡單證明。下面對該結論作簡單證明。設線性變換陣為設線性變換陣為P,那么系統那么系統 (A,B)經線性變換經線

18、性變換 后后為為 ,并有并有BPBAPPA1-1-( , )A B xPx )(.r.r1-1 -1-1-1-1-1 -BPAPPBAPPPBPBABABnn由于.r).r(.r1 -1 -1 -1 -1-1-1-BAABBBAABBPBAPABPBPnnn因此系統 的形狀能控性等價于(A,B)的形狀能控性,即線性變換不改動形狀能控性。( , )A B v基于上述結論,可利用線性變換將普通形狀空間模型變換成約當規范形,經過分析約當規范形(對角線規范形視為其特例)的能控性來分析原形狀空間模型的能控性。v下面討論線性定常延續系統約當規范形的形狀能控性模態判據。約當塊和約當矩陣矩陣的約當塊的定義為v

19、由l個約旦塊Ji組成的塊對角的矩陣稱為約旦矩陣,如vJ=block-diagJ1 J2 Jl1.0001.000.0.100.01immiiiimJii30000100011000011000110001100002v下述矩陣均為約旦矩陣 上述第一個約旦矩陣有兩個約旦塊,分別為11維的特征值2的約旦塊和33維的特征值-1的約旦塊; 第二個約旦矩陣有三個約旦塊,分別為11維的特征值3的約旦塊以及11維和22維的特征值-1的兩個約旦塊。q 由約旦塊和約旦矩陣的定義可知,q 對角線矩陣可視為約旦矩陣的特例,其每個約旦塊的維數為11。q 在本課程中,假設未加以特別指出的話,那么一切對約旦矩陣有關的結論

20、都同樣適用于對角線矩陣。定理對為約當規范形的線性定常延續系統(A,B),有:1) 假設A為每個特征值都只需一個約當塊的約當矩陣,那么系統能控的充要條件為對應A的每個約當塊的B的分塊的最后一行都不全為零;2) 假設A為某個特征值有多于一個約當塊的約當矩陣,那么系統能控的充要條件為對應A的每個特征值的一切約旦塊的B的分塊的最后一行線性無關。v兩點闡明:v形狀能控性模態判據討論的是約當規范形。v假設系統的形狀空間模型不為約當規范形,那么可根據線性變換不改動形狀能控性的性質,先將形狀空間模型變換成約旦規范形,v然后再利用模態判據判別形狀能控性;v模態判據不僅可判別出形狀能控性,而且更進一步地指出是系統

21、的哪一模態(特征值或極點)和哪一形狀不能控。v這對于進展系統分析和反響校正是非常有協助的。u52xx5007) 1 (q 解 由定理可知,A為特征值互異的對角線矩陣,且B中各行不全為零,故系統形狀完全能控。例 試判別如下系統的形狀能控性。q 解 A的每個特征值都只需一個約旦塊,但對應于特征值-4的約旦塊的B的分塊的最后一行全為零,故形狀x1和x2不能控,那么系統形狀不完全能控。41000(2)0400000311 xxu形狀空間x1-x2-x3不完全能控形狀子空間x1-x2不完全能控形狀變量x3完全能控形狀變量x2完全不能控形狀變量x1完全不能控q 解 由于A中特征值-4的兩個約旦塊所對應的B

22、的分塊的最后一行線性無關,q 且A中特征值-3的約旦塊所對應的B的分塊的最后一行不全為零,故系統形狀完全能控。410000040001(3)003020000421 xxuq 解 由于A中特征值-4的兩個約旦塊所對應的B的分塊的最后一行線性相關,故該系統的形狀x1,x2和x4不完全能控,那么系統形狀不完全能控。4100004001(4)0030200043 xxu形狀空間x1-x2-x3-x4不完全能控形狀子空間x1-x2-x4不完全能控形狀變量x3完全能控?v由模態判據結論2可知,對單輸入系統的形狀能控性,有如下推論。v推論 假設單輸入線性定常延續系統(A,B)的約旦規范形的系統矩陣為某個特

23、征值有多于一個約旦塊的約旦矩陣,那么該系統形狀不完全能控。v形狀能控性的模態判據在運用時需將普通的形狀空間模型變換成約旦規范形,屬于一種間接方法。v下面我們給出另一種方式的形狀能控性模態判據, 稱為PBH秩判據。v該判據屬于一種直接法。v定理 線性定常延續系統(A,B)形狀完全能控的充必條件為:對于一切的A的特征值,下式成立:vrankI-A B=n q 解 由方程|I-A|=0,可解得矩陣A的特征值分別為1,2和3。q 對特征值1=1,有uxx111112310020231q 例 試判別如下系統的形狀能控性。nBI-A3112101101012230rankrank1 對特征值2=2,有nB

24、I-A3111101100012231rankrank2 對特征值3=3,有nBI-A2110101101012232rankrank3 由定理可知,由于對應于特征值3,定理的條件不成立,故該系統形狀不完全能控。q 能控性判據小結斷定方法特點判據矩陣指數函數判據代數判據模態判據1模態判據2矩陣函數e-AtB的各行函數線性獨立能控性矩陣Qc=B AB An-1B滿秩約旦規范形中同一特征值對應的B矩陣分塊的最后一行線性無關對于一切特征值 , rankI-A B=n需求求矩陣指數函數并斷定函數相關,計算復雜 計算簡便可行。 缺陷為不知道形狀空間中哪些變量(特征值/極點)能控 易于分析形狀空間中哪些變

25、量(特征值/極點)能控。 缺陷為需變換成約旦規范形 易于分析哪些特征值(極點)能控。 缺陷為需求系統的特征值線性定常延續系統的輸出能控性線性定常延續系統的輸出能控性在控制系統分析和設計中在控制系統分析和設計中,系統的被控制量往往不是系統的形狀系統的被控制量往往不是系統的形狀變量變量,而是系統的輸出變量。而是系統的輸出變量。因此因此,有必要研討系統的輸出能否控制的問題。有必要研討系統的輸出能否控制的問題。經典控制實際討論的為經典控制實際討論的為SISO系統輸入輸出的分析和綜合問題系統輸入輸出的分析和綜合問題,其其輸入輸出間動態關系可以獨一地由傳送函數所確定。輸入輸出間動態關系可以獨一地由傳送函數

26、所確定。因此因此,對給定的期望輸出呼應對給定的期望輸出呼應,輸入那么獨一地確定輸入那么獨一地確定,不存在輸出能不存在輸出能否控制的問題。否控制的問題。但對于但對于MIMO系統系統,由于輸入向量和輸出向量是多維的由于輸入向量和輸出向量是多維的,因此因此,存存在在r維的輸入能否控制維的輸入能否控制m維的輸出的能控性問題。維的輸出的能控性問題。v定義假設線性定常延續系統(A,B,C,D),v對初始時辰t0(t0T,T為系統的時間定義域)和恣意初始輸出值y(t0),v存在另一有限時辰t1(t1t0,t1T),可以找到一個輸入控制向量u(t),v能在有限時間t0,t1內把系統從初始輸出y(t0)控制到原

27、點,即y(t1)=0,v那么稱系統輸出完全能控,簡稱為系統輸出能控。v即,假設數學邏輯關系式vy(t0) t1T u(t) (t1t0)(tt0,t1)(y(t1)=0) v為真,那么稱系統輸出完全能控。假設系統存在某個初始輸出值y(t0)不滿足上述條件,那么稱此系統是輸出不完全能控的,簡稱為輸出不能控。定理 線性定常延續系統(A,B,C,D)輸出完全能控的充要條件為輸出能控性矩陣CB CAB CAn-1B D滿秩,即rank CB CAB CAn-1B D=m其中m為輸出變量向量的維數。 v例試判別如下系統的輸出能控性例試判別如下系統的輸出能控性uxyuxx0 11 110000q 解 由輸

28、出能控性的代數判據有q rankCB CAB D=rank2 0 0=1=mq 故系統輸出完全能控。 q 對該系統,由于210101rankrankABB故系統是形狀不完全能控的。v因此, 輸出能控性與形狀能控性是不等價的兩個不同概念,它們之間亦沒有必然的聯絡。線性時變延續系統的形狀能控性線性時變延續系統的形狀能控性以上討論的形狀能控性判據是針對線性定常延續系統而言的以上討論的形狀能控性判據是針對線性定常延續系統而言的,對對時變系統不成立。時變系統不成立。下面給出線性時變延續系統形狀能控性的充分必要判據。下面給出線性時變延續系統形狀能控性的充分必要判據。定理定理 (格拉姆矩陣判據格拉姆矩陣判據

29、) 線性時變延續系統線性時變延續系統(A(t),B(t)在初始時在初始時辰辰t0上形狀完全能控的充分必要條件為上形狀完全能控的充分必要條件為:存在存在t1(t1t0),使得如下能控格拉姆使得如下能控格拉姆(Gram)矩陣為非奇特的矩陣為非奇特的100100( , )( , ) ( )( )( , )dtctW t tt t B t B tt ttv在運用由定理給出的線性時變延續系統的形狀能控的判據時,需先求出時變的系統矩陣A(t)的形狀轉移矩陣(t,t0),然后再求能控格拉姆矩陣Wc(t1,t0),計算量較大。v而且形狀轉移矩陣(t,t0)的計算,對普通的時變矩陣A(t)還無法得到以有限項表示的解析解。v因此,利用定理斷定線性時變系統的形狀能控性有一定困難。v下面給出一個較為適用的時變系統形狀能控性判據,該判據只需利用矩陣A(t)和B(t)的信息即可。v (