1、n元函數的微分中值定理及其應用數學系20021111班 指導教師 摘 要：對凸區域上的元可微函數，采用構造“輔助函數”的方法，把元函數轉化為一元函數，利用一元函數的微分中值定理，將一元函數微分中值定理推廣到元，得到了元函數的拉格朗日定理、羅爾定理、柯西定理和泰勒定理，并構造不同的“輔助函數”，得到了元函數柯西定理的另一種證明方法，最后討論了元函數微分中值定理的一些具體應用。關鍵詞：元函數；微分中值定理；輔助函數The Differential Mean-value Theorem in n-Variate Functionsand Its ApplicationAbstract: The n-

2、variate functions defined on a convex domain in are converted to the single variate function by using the method of structuring auxiliary functions, and the differential mean-value theorems for single variate function are generalized to n-variate functions by means of the differential mean-value the

3、orems for single variate function. Then the Lagrange Theorem, the Rolle Theorem, the Cauchy Theorem and the Taylors Theorem for n-variate functions are obtained. Another method of proving the Cauchy Theorem for n-variate functions is given by making up different auxiliary functions. Some examples of

4、 application of the differential mean-value theorems for n-variate functions are furnished.Key words: n-variate functions; differential mean-value theorem; auxiliary functions1引言微分中值定理是微分學中的重要基本定理，是微分應用的理論基礎，是微分學的核心理論1.在實際應用中，很多情況下都要突破一元微分學和平面領域這些局限，并不都是一元和平面領域的，為了充分利用微分中值定理這個重要工具，這就需要把它進行推廣，使之也能夠在元

5、微分學和維空間下得以使用.文獻2給出了元函數的拉格朗日公式、羅爾定理的公式及柯西公式；文獻3給出了二元函數的微分中值定理；文獻4給出了多元函數的一階泰勒公式；文獻5和文獻6給出了二元函數的階泰勒公式.本文在文獻3中的二元函數微分中值定理的基礎上給出了與文獻2不同描述及證明過程的元函數的微分中值定理，并在文獻7給出的微分中值定理的一種新的證明方法的基礎上給出了元函數的柯西定理的另一種證明方法，以及在文獻4、5、6中的多元函數的一階及階泰勒公式的基礎上給出了元函數的一階及階泰勒公式及詳細的證明，并討論了元函數的微分中值定理的應用.2 元函數的微分中值定理我們考慮維歐氏空間，是的某個子集到的某個子集

6、的映射，即為元函數.若區域上任意兩點的連線都含于，則稱為凸區域.若為凸區域，則對任意兩點和一切，恒有2.1 元函數的拉格朗日定理定理1 設元函數在凸開域上連續，在的所有內點都可微，則對內任意兩點，使得 （1）證明 令.它是定義在上的一元函數，由定理中的條件知在上連續，在內可微.于是根據一元函數微分中值定理，使得由復合函數的求導法則而所以在定理1中，若時，則由（1）式有， 這就是一元函數的拉格朗日公式.2.2 元函數的羅爾定理當時，（1）式就成為 這就是元函數的羅爾定理的公式.定理2 設元函數在凸開域上連續，在的所有內點都可微，對內任意兩點，有，則，使得， （2）在定理2中，若時，則由（2）式有

7、， 即， 這就是一元函數的羅爾定理的公式.2.3 元函數的柯西定理定理3 設元函數和在凸開域上連續，在內關于各個變元具有連續的偏導數，對內任意兩點，（其中），則有 （3）證法一 首先證明.用反證法，假設，即.根據元函數的羅爾定理，使得.與已知條件矛盾.其次作輔助函數（其中）由定理中的條件知在上連續，在內可微,且,因此根據一元函數的羅爾定理,存在使得.由復合函數的求導法則又.所以證法二 首先證明，即.為此，不妨先假設.令， 于是有，則在區間上對函數應用一元函數的羅爾定理，故，使.由復合函數的求導法則.所以.但這與已知條件矛盾.故.再作輔助函數 顯然,在上連續，在內可導,并且有.由于在上連續,所以

8、在上可以取得最大值與最小值,又由于,因此在開區間內至少存在一點使在處取得最大值或最小值,又在內可導,根據費馬定理,有,.由復合函數的求導法則又,所以在元函數的柯西中值定理中,若時,(3)式就成為這就是元函數的微分中值定理的公式.在元函數的柯西中值定理中,若時,則由(3)式就有這就是一元函數的柯西中值定理的公式.2.4 元函數的泰勒定理定理4 設函數在點的某一鄰域內連續,且具有一階及二階連續偏導數,則,使得 （4）其中,稱為余項4.證明 考慮函數, ,則,.由于函數在點的某一鄰域內連續,且具有一階及二階連續偏導數,從而復合函數在的鄰域內對有連續的一階及二階導數.由一元函數的泰勒公式可以得到, .

9、 （5）由于,所以,把代入(5)式后再令,便得到泰勒公式(4).定理5 設函數在點的某一鄰域內連續,且具有階連續偏導數,則,使得 （6）其中，稱為拉格朗日型余項5.證明 作輔助函數, ,則,.因為.用數學歸納法可以得到. 由一元泰勒公式，. （7）將，代入（7）式得，.3 元函數微分中值定理的應用例1. 設元函數在凸開域上可微，上取定一點，且，有，則，有（常數），即是常數函數.證明 元函數在上滿足元函數的拉格朗日定理的條件，根據元函數的拉格朗日定理，使得因為點，所以.所以.設，即，有（常數），即是常數函數.例2. 若元函數和在凸開域上連續，在內關于各個變元具有連續的偏導數，上取定一點，且，有.

10、且（其中），則，有，其中是常數.證明 因為元函數和在滿足元函數的柯西定理的條件，則 ，. ，設（常數），即，有，其中是常數.例3. 證明：設元函數在凸開域上可微，對內任意兩點，有，且（是常數且），.則.證明 因為元函數在上滿足元函數的羅爾定理的條件，所以，使得，因為點，有，.所以，所以.例4. 通過對施用中值定理，證明對某，有.證明 三元函數在凸開域上連續，在的所有內點都可微，則對內任意兩點，根據元函數的拉格朗日定理，使得即令，則取，則即.例58. 若在區域內的諸偏導數存在、有界，則在內連續.證明 設，.任取，設與連接及的直線段（設充分小）全部包含在內，則由元函數的拉格朗日定理，得.其中，.于

11、是，使當時，就有.所以在點連續.由的任意性知在內連續.例69. 將函數在點（1，1，1）展成泰勒公式.解 .，.高于3階的偏導數都恒為0.于是，由元函數的泰勒公式，有 4結 論微分中值定理是溝通函數與其導數之間的橋梁，是利用導數的局部性質推斷函數的整體性質的有力工具.本文將一元函數微分中值定理推廣到元，得到了元函數的微分中值定理，并討論了一些具體應用.雖然本文的結論在表述與證明上與前人有所不同，但推廣的基本思路都是一致的.其實，對一元函數微分中值定理還可以從多個函數及高階方面進行推廣，有待于進一步研究.參考文獻1 劉玉璉,傅沛仁.數學分析講義(上冊)M.北京:高等教育出版社,1992:2033

12、46.2 胡龍橋.元函數的微分中值定理J.工科數學,1994,10(4):263265.3 華東師范大學數學系.數學分析(下冊)M.北京:高等教育出版社,2001:133135.4 馬知恩,王綿森.工科數學分析基礎(下冊)M.北京:高等教育出版社,1998:5155.5 羅漢,曹定華.多元微積分與代數M.北京:科學出版社,1999:132134.6 方企勤.數學分析(第三冊)M.上海:上海科學技術出版社,2002:7071.7 胡龍橋.微分中值定理的一種新的證明方法J.天津工業大學學報,2001,20(4):7072.8 周忠群.數學分析方法選講M.重慶:西南師范大學出版社,1990:3133

13、15.9 劉玉璉,傅沛仁.數學分析講義(下冊)M.北京:高等教育出版社,1992:309417.指導教師評語：微分中值定理是微分學的基本定理，很多人對該定理進行過研究。該文采用構造“輔助函數”的方法，將一元函數微分中值定理進行推廣，得到了與前人不同描述及證明過程的n元函數的微分中值定理，并討論了推廣后的一些具體應用。全文論證清晰，表達準確，寫作規范，有創新， 具有一定的科學意義。tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGM

14、eR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcW

15、A3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWG