1、數(shù)列前n項和的求法 求數(shù)列前n項和是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是一個難點。求等差等比數(shù)列的前n項和，主要是運用公式。對于一些既不是等差也不是等比的數(shù)列，就不能直接套用公式，而應(yīng)根據(jù)它們的特點，對其進展變形、轉(zhuǎn)化，利用化歸的思想，來尋覓解題途徑。一、拆項轉(zhuǎn)化法例1知數(shù)列 中， 且 ， ,且t為常數(shù)，求 na3ntannNn0tnS例1知數(shù)列 中， 且 ， ,且t為常數(shù)，求 na3ntannNn0tnS解：當(dāng)t=1時，當(dāng) 時，2)3(2)3(2nnnnnSn1t2)5(1)1(nntttSnn分析：察看數(shù)列的通項公式，數(shù)列 可以“分解為一個公比為t的等比數(shù)列 和一個公差為1的等差數(shù)列 ，因此，只需分別求出

2、這兩個數(shù)列的前n項之和，再把它們相加就可得 。留意等比數(shù)列前n項和公式對公比q的要求，可得如下解法:nant3 nnS總結(jié)：拆項轉(zhuǎn)化常用于通項 是多項式的情況。這時，可把通項 拆成兩個或多個根本數(shù)列的通項，再求和。有時也運用自然數(shù)的方冪和公式求 ，常用的有： nananS)12)(1(6112nnnknk2213)1(41nnknk2)1(1nnknk例2、求數(shù)列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4 ， ，1+2+3+n，的前n項和Sn。解:該數(shù)列通項nnnan21213212令 ， ，那么221nbnncn21nnncba數(shù)列 的前n項和nb)21 (21222nSN)12)(1(121n

3、nn數(shù)列 的前n項和nc) 1(41)21 (21nnnSn)2)(1(61nnnSSSnnn二、裂項相消法 常用的消項變換有：111)1(1nnnnan)121121(21) 12)(12(1nnnnan) 2)(1(1) 1(121) 2)(1(1nnnnnnnan!)!1(!nnnnan)1() 1()2)(1(31) 1(nnnnnnnnan:nnnnan111:二、裂項相消法 常用的消項變換有：:)2)(1(nnnan)2)(1() 1() 3)(2)(1(41nnnnnnnn例3、求 ) 2)(1(432321nnnSn解：由上面 知： ) 43215432 () 32104321

4、(41nS) 3)(2)(1(41nnnn)2)(1() 1() 3)(2)(1(nnnnnnnn例4、求 3441451211512nnSn解：其“通項 )32)(12(134412nnnnan)321121(41nn )121321()9151()7131()511(41nnSn)321121(nn) 32)(12 ( 3) 54 ()321121311 (41nnnnnn三、 倒序相加法 課本等差數(shù)列前n項和公式 就是用倒序相加法推導(dǎo)的。nS例5、知數(shù)列 是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求na1322110nnnnnnnaCaCaCaCS分析：留意到 且當(dāng)m+n=p+q時， 有： 等差數(shù)

5、列的性質(zhì)knnknCCqpnmaaaa解： ，又1322110nnnnnnnaCaCaCaCS101211aCaCaCaCSnnnnnnnnnnn兩式相加得： nnnnnnnnaaCCCaaS2)()(2111011nnnnnnnaaS2) 1(2)22 (2)(1111四、錯位相消法 課本推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式的方法。利用 可求兩類數(shù)列的和，其通項分別是：nnqSS 分母是等比數(shù)列分子是等差數(shù)列字母是等比數(shù)列系數(shù)是等差數(shù)列例6、求數(shù)列 的前n項和 ,212,43,21nn 解： (1)nnnS212167854321 (2) 1212232165834121nnnnnS (1)(2)，得

6、12122216282422121nnnnSnnnnnnS232321221412122五、 并項法例7，知數(shù)列 的通項 ，求數(shù)列前2n項和na21)1(nannnS2解： 2222222)2 () 12 (4321nnSn令 14)2() 12(22212nnnaabnnn 是首項為-3，公差為-4的等差數(shù)列nb)12(141173212nnnbbbSnn評注：用并項法把相鄰的一正一負(fù)兩項并作一項，從而使通項降次，得以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求解。六、逐差求和法又叫加減法，迭加法 當(dāng)所給數(shù)列每依次相鄰兩項之間的差組成等差或等比數(shù)列時，就可用迭加法進展消元 例8，求數(shù)列 ：1，3，7，13，21，31，的 和na解： 1212aa2223aa3234aa4245aa121naann132121naannans兩邊相加得：例8，求數(shù)列 ：1，3，7，13，21，31，的 和na1212aa2223a