1、希爾伯特黃變換 黃誠惕，希爾伯特-黃變換及其運用研討提要1)分析了時變信號處置的開展及現狀2)引見時變信號處置常用方法和新的時變信號處置方法，HHT信號分析方法1)分析了時變信號處置的開展過程及現狀 傳統的信號分析與處置都是建立在傅立葉分析的根底上的，它有三個根本的假設：線性、高斯性和平穩性，建立的是一種理想的模型。傅立葉分析在科學與技術的一切領域中發揚著非常重要的作用，但是它運用的是一種全局的變換，因此無法表述信號的時頻部分性能，而這種性質恰恰是非平穩(時變)信號最根本和最關鍵的性質，因此就不適宜用于分析非平穩信號。現實生活中存在的自然或是人工的信號大多是非平穩信號，如語音信號、機械振動信號

2、、心電信號、雷達信號及地震信號等。因此為了分析和處置非平穩(時變)信號，人們對傅立葉分析進展了推行乃至根本性的革命，提出并開展了一系列新的信號分析與處置實際，即非平穩(時變)信號分析與處置。 2 HHT Huang于2019年提出了一種新的信號分析方法希爾伯特一黃變換(HilbertHuang Transform，簡稱為HHT)。運用這個方法時需執行兩個根本步驟：首先，用EMD方法(The empirical mode decomposition method )把信號分解成一些本征模態函數(intrinsic Mode Function，簡稱為IMF)。接著，對分解得到的IMF分量進展Hib

3、ert變換，從而得出時頻平面上的能量分布譜圖(Hilbert譜)。下面對這個方法中所涉及到的一些概念進展簡要闡明： 對恣意的時間序列X(t)，Hilbert變換Y(t)定義為： (1)這里P表示柯西主值，變換對一切 類成立。根據這一定義，當X(t)與Y(t)構成一個復共軛時，就可得到一個解析信號Z(t)：Z(t)=X(t)+iY(t)=a(t) (2) (3)這樣，Hilben變換提供了一個獨特的定義幅度與相位的函數。式(1)定義Hilbert變換為X(t)與1/t的卷積；因此它強調了X(t)的部分特性：它是一個幅度與相位變化的三角函數X(t)的最好部分近似。在Hilbert變換中，用下式定義

4、瞬時頻率： (4) dtXPtY1pL tie tXtYttYtXtaarctan,22 dttd對于一個簡單的信號例如正弦信號，只需滿足部分對稱于零均值時，其瞬時頻率才有意義。 2.1本征模態函數(IMF)的概念在物理上，假設瞬時頻率有意義，那么函數必需是對稱的，部分均值為零，并且具有一樣的過零點和極值點數目。在此根底上，NordneE.Huang等人提出了本征模函數(Intrinsic Mode Function，簡稱IMF)的概念。本征模函數恣意一點的瞬時頻率都是有意義的。Hunag等人以為任何信號都是由假設干本征模函數組成，任何時候，一個信號都可以包含假設干個本征模函數，假設本征模函數

5、之間相互重疊，便構成復合信號。EMD分解的目的就是為了獲取本征模函數，然后再對各本征模函數進展希爾伯特變換，得到希爾伯特譜。 一個本征模態函數是滿足如下兩個條件的函數： (1)在整個數據序列中，極值點的數量與過零點的數量必需相等，或最多相差不能多于一個。 (2)在任一時間點上。信號的部分極大值和部分極小值定義的包絡平均值為零。第一個限定條件是非常明顯的；它近似于傳統的平穩高斯過程關于窄帶的定義。第二個條件是一個新的想法：它把傳統的全局限定變為部分限定。這種限定是必需的，它可去除由于波形不對稱而呵斥的瞬時頻率的動搖。 采用本征模態函數以下簡稱IMF這個稱號是由于它代表了信號數據中的振蕩方式。IM

6、F在按過零點定義的每一個周期中，只包括一個本征模態的振蕩，沒有復雜的疊加波存在。如此定義，一個根本的IMF并不限定為窄帶信號，也可以是幅度調制和頻率調制的。現實上，它可以是非平穩的。圖1是一個典型的本征模態函數。本征模態函數(IMF)概念的提出使得用Hnbcn變換定義的瞬時頻率具有實踐的物理意義，而提出IMF分量的EMD分解方法的出現那么使瞬時頻率可用于復雜的非平穩信號的分析。 22時間特征尺度 如今有三種丈量時間尺度的方法：相鄰兩過零點間隔的時間尺度，相鄰兩極值點間隔的時間尺度，相鄰兩曲率極值點間隔的時間尺度。三種情況中，時間間隔都是用來部分丈量事物時間變化的。部分極值時間間隔和曲率時間間隔

7、尺度代表了整個波形，無論波形能否穿過零線。Huang等人分析以為，時間尺度代表了信號的部分震蕩尺度，并且僅表示一種震蕩方式。這種震蕩從一個極值點到另一個相反的極值點，因此時間尺度是震蕩本身所隱含的尺度，稱為特征時間尺度。EMD方法運用的時間尺度是極值點間隔，它當然提供了一個很好的對時間尺度丈量的方法。所謂的部分是特征尺度是指信號分量臨近極大值點或者極小值點的時間間隔。HHT分析方法是經過對信號本身的部分特征進展分析，從部分特征時間尺度入手，獲得不同時間尺度特征的有限個IMF分量。2.3EMD分解方法 EMD是Empirical Mode Decomposition的簡寫，通常被稱為閱歷模態分解

8、法，是Huang在2019年提出的信號分解算法，這主要是從復雜信號里分別出IMF的過程，也稱為挑選過程 Sifting Process)。在此根底上，2019年Huang及其同事提出了較為完好的Hilbert Huang變換法。EMD是HHT方法中至關重要的一部分。 EMD方法假設任何信號都由不同的本征模態函數(IMF)組成，每個IMF可以是線性的，也可以是非線性的，IMF分量必需滿足下面兩個條件：一是其極值點個數和過零點數一樣或最多相差一個，二是其上下包絡關于時間軸部分對稱。這樣任何一個信號就可以分解為有限個IMF之和。分解過程基于以下假設：(1)信號最少有一個極大值和一個極小值；(2)時域

9、特性由極值間隔決議；(3)假設數據序列完全缺乏極值但是僅包含拐點，那么它也可經過求導一次或多次來提示極值點，而最終結果可以由這些成分求積分來獲得。詳細方法是由一個“挑選過程完成的： (1)首先找出 s(t)一切的極大值點并將其用三次樣條函數擬合成原數據序列的上包絡線：以及一切的極小值點并將其用三次樣條函數擬合成原數據序列的下包絡線；圖為一測試數據及其包絡線、均值線表示圖。 (2)計算上下包絡線的均值，記為m1(t)；將原數據序列s(t)減去該均值即可得到一個去掉低頻的新數據序列h1以下圖即為s(t)和h1的表示圖。 (3)h1普通仍不是一個IMF分量序列，為此需求對它反復進展上述處置過程。反復

10、進展上述處置過程k次，直到h1(t)符合IMF的定義要求，所得到的均值趨于零為止，這樣就得到了第1個IMF分量c1(t)，它代表信號s(t)中最高頻率的分量： h1(k-1)(t)-m1k(t)=h1k(t),c1(t)=h1k(t) (5)圖為分解得到的第一個IMF分量c1(t)，圖中可以看出極值點數與零點數目滿足IMF的要求。第一個IMF,c1(4)將c1(t)從s(t)中分別出來，即得到一個去掉高頻分量的差值信號r1(t)，即有： r1(t)=s(t)-c1(t) (6)將r1(t)作為原始數據，反復步驟(1)(2)(3)，得到第二個IMF分量c2(t) ,反復n次 ,得到n個IMF分量

11、。這樣就有： r1(t)-c2(t)=r1(t) (7) . rn-1(t)-cn(t)=rn(t) 當cn(t)或rn(t)滿足給定的終止條件(通常使rn(t)為一單調函數)時，循環終了。由 (6) (7)可得： (8) trtctsnnjj1)( 其中，rn(t)為剩余函數，代表信號的平均趨勢。而各個 IMF分量c1(t)， c2(t)cn(t)分別包含了信號不同時間特征尺度大小的成分，其尺度依次由小到大。因此，各分量也就相應地包含了從高到低不同頻率段的成分，每一個頻率段所包含的頻率成分都是不同的，且隨信號本身的變化而變化。2.4 Hilbert譜和邊沿譜 在IMF定義和EMD的根底上，H

12、uang等人系統地提出了一種分析信號的新實際或新方法。它包括兩個大組成部分，EMD和與之相應的Hilben譜分析方法。即首先用EMD將恣意信號s(t)分解成有限個IMF的和 然后分別對每一個IMF分量用Hilbert變換進展譜分析。最后得到信號的瞬時頻率表示: trtctsnnjj1)( (9)這里省略了剩余函數rn(t)，Re表示取實部。稱式(9)右邊為Hilbert時頻譜，簡稱Hilbert譜，記作 (10) 它是瞬時振幅在頻率,時間平面上的分布。在式(9)中省略剩余函數rn(t),是由于它或者是一個常數，或者是一個單調函數。雖然可以把rn(t)看作一個長周期波的一部分，但思索到長周期的不

13、確定性，及信號所包含的信息主要在高頻分量中，因此做了省略處置。 dttjniitjniiiietaetats11ReRe)( dttjniiietatH)(Re,1 tjiiieats1Re dttHH,展開式(9)中，每個分量的幅值和相位都是隨時間可變的，而同樣信號s(t)的Fourier變換展開式為 (11)其中ai,wi為常數。這清楚地闡明：HHT對信號的瞬時頻率表示是Fourier展開的普通化，它不僅提高了信號的效率，而且可以表示可變的頻率。因此，新方法突破了傅立葉變換的束縛。用Hilbert譜可以進一步定義邊沿譜為： (12)這里由HHT得到的邊沿譜與Fourier頻譜有類似之處，從統計觀念上來看，它