1、2011年江西省公務員考試備考：排列組合精講排 列 組 合 原 理 思維方法的衍生法或派生法我們在高中數學中已經學了排列組合的基礎知識了，因此大家對“排列組合”這概念應該不會是陌生的。宇宙中的萬事萬物嚴格地說就是元素、分子、細胞等基本單元排列組合的結果，如所有分子都是由原子排列組合而成的，復雜的化學反應也是由簡單的化學反應排列組合而成的；所有生物都是由不同的細胞排列組合而成的，可見排列組合知識是多么的重要 !為此下面就簡單介紹一下高中代數中所講到的排列組合的一些基礎知識 元   素 通常人們把被取的對象 (不管它是什么)叫做元素。 如若我們研究對象為數字 (如1、2、3、4、5等)那

2、么，這些數字也叫做元素；若我們研究的對象為地名(如：北京、上海、廣州、南京等)，那么這些地名也一樣可叫做元素；若我們研究的對象為字母(如：a、b、c、d等)，那么這些字母也可叫做元素；若我們研究的對象為分子(如：Cl、Br2、H2、HCl等)，那么這些分子也一樣可叫做元素；若我們研究的對象為一個人(如：張三、李四、王五等)，那么這些人也可叫做元素 排   列 那么，一般地說，從 n個不同元素中，任取m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，這就叫做從幾個不同元素中取m個元素的一個排列。 例如：已知 a、b、c、d這四個元素，寫出每次取出3個元素的所有排列。 對于初學者可以先畫下圖來算

3、出： 看上圖 V所指的字母及第二排字母三個排成一列即可得到下列排列(這就是a、b、c、d這四個元素中每次取3個元素所得的所有排列)： 有共 24個排列，這個數值24是可以根據乘法原理算出來的。數學中的乘法原理為：做一件事，完成它需要分成幾個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm2×m1×m3××mn種不同的方法。據此從a、b、c、d這四個元素中每次取出三個排成三位數的方法共有N××種。 數學中有一個排列數公式： 從 n個不同元素中取出m(m - n)個元素的所有

4、排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數。用符號Pnm表示，(P是“排列”一詞的英文Permatation的第一個字母)，在數學課本中根據乘法原理可推出排列數的公式為：     Pmnn(n）(n）(nm） 公式中的 n,mN,且m n 例如：從 8個元素中每次取3個元素出來排列，所得的排列數則為 38×（）（）×× (種) 例如：從 8個元素中每次取5個元素出來排列所得的排列數為 58×（）×（）×（）×（）×××× 例如：從 8個元素中每次

5、取2個元素出來排列，所得的排列數為 28×（）× 例如：從 8個元素中每次取4個元素出來排列，所得的排列數為P48×（）×（）×（） ××× 在排列數公式中，當 mn時，有： nnn（n）（n）×× 這表明， n個不同元素全部取出來排列的排列數等于自然數1到n的連乘積。n個不同元素，全部取出的一個排列叫做n個不同元素的一個全排列。自然數1到n的連乘積叫做n的階乘，用n!表示，所以n個不同元素的全排列數公式則為： nnn! 前面所講的排列數公式可作如下變形： mnn（n）（n）（nm） 因此排列數

6、公式還可寫成下列形式： (注意：為了使這個公式在mn時也成立，我們規定0!1，這時nnn!)例如，從8個元素中全部取出來的排列數則為：8的階乘。 P88××××××× 從上述幾個例子的分析可見，從 8個元素中分別取2、3、4、5、6、7、8個出來排到所得的排列數的總和高達數萬。要是我們將幾個思維法進行排列，也會得出許許多多不同思維順序的新思維法；要是我們思考問題時使用幾種思維法去思維，若這幾種思維法的使用先后順序不同，也會產生許許多多不同的思維效果?？梢?，排列是一種很重要的方法。組   合 一般地說，從 n個不同元

7、素中，任取m(m n)個元素出來拼成一組，就叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。 從 n個不同元素中取出m(m n)個元素的所有組合的個數，就叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號Cmn表示，C是“組合”的英文Combination的第一個字母。 例如，前面講到的從 a、b、c、d這四個元素中取3個元素出來的排列與組合的關系如下：組合數           排列數 由上分析可以看出，對于每一個組合都有 6個不同的排列，因此，求從4個不同元素中取3個元素出來排列的排列數為P34，可接下列兩

8、步來考慮。 第一步：從 4個不同元素中取出3個元素作組合，共有C34個組合； 第二步：對每一個組合中的 3個不同元素作全排列，各有P336個排列。 這樣，再根據乘法原理即得： P3434×33； 而從上式得： 將上述公式變成通式： 一般地說，求從 n個不同元素中取出m個元素排列的排列數為Pmn，可按下列兩步來考慮： 第一步：先求出從這 n個不同的元素中取出m個元素的組合數為Cmn； 第二步：求每一個組合中 m個不同元素的全排列數Pmm。根據乘法原理則得到： Pmnmn×mm 因此而得： 即 注意：這里的 n,mN，且m n，這個公式就叫做組合數公式。又因為所以上述組合數公式

9、還可以寫成： 例如：從 8個元素中每次取3個元素出來組合所得的組合數為：例如：從 4個元素中每次取3個元素出來組合所得的組合數為： 例如：從 8個不同元素中每次取5個元素出來組合所得的組合數為： 顯見，這個組合數與前面從 8個不同元素中每取3個元素出來組合所得的組合數是相等的，即C5838，同理C1434、C62C46、C52C35、 因此有公式： CnmCn-mn(這為組合數的性質定理1) (注意：為了使這個公式在nm時也成立，我們規定C0n) 這是組合數的其中一個性質，此外，組合數還有另一個性質為： CmnCmnCm-1n(這為組合數的性質定理2)。 例如：計算 C98100和C320C2

10、20 解：由組合數的性質定理 1可得：而由組合數的性質定理 2可得：下面我們就詳細算一算從 5個不同元素中每次分別取1、2、3、4、5種元素出來組合所得的組合數： 這 5個不同元素進行不同的組合所得的組合數共為5我們從5種不同元素中每次分別取出1、2、3、4、5種元素出來排列所得的排列數分別為：P15 P25×P35××P45××× P55×××× 這樣從 5種不同元素中每次每1、2、3、4、5種元素出來排列所得的排列總數為：5。 從上分析可見， 5種不同元素進行不同形式的組合的組合數為31，排

11、列數為325。若是從更多的元素中進行不同形式的組合和排列，其組合數和排列數都將非常之巨大。要是我們將排列組合方法真正運用到學習、科學研究和創造發明活動中去，其效果之巨大必定會使人難以想象。 我們在數學中從學過的二元坐標中可知，坐標平面上的任何一個點都是由 x軸和y軸上的一個點共同組合成的；而在三元坐標中，坐標的立體空間中的任何一個點都是由x、y、z軸上的一個點共同組合成的；同理，在四元坐標，五元坐標及多元坐標的空間中任何一個點都分別是由4個、5個及多個點共同組合成的?？梢姸腿鴺松喜贿^是組合法中的一個范例。前段時間我瀏覽了一下中國思維魔王一書，這本書實為發明“思維魔球”的發明人許國泰的傳

12、記，因為許國泰發明了“思維魔球”而名躁一時。其實，細心的讀者，一定會發現，許先生的“思維魔球”也就是我剛才講的多元坐標(即多個點共同組合成一個點)的一個應用范例；還有在我國策劃界小有名氣的陳放先生著的創意的革命和智能原子彈等書中講的什么拉線相干法等一大堆創意法等等沒一種不是排列組合法的翻板或變形或延伸。在此我要提醒廣大讀者，雖然目前新方法不斷涌現，層出不窮，有的大都是名稱非常玄的，甚至有令人耳目一新的感覺，但細細想來都不外是排列組合法的縮影或直接翻板或變形或延伸。認真細想起來，這些方法實質上根本沒有一點新意，也沒有一點創意。有的只不過是外表的翻新而已，實為一種換湯不換藥的做法。而在這個重視包裝

13、的年代里，舊方法被人拿來重新包裝，然后隆重推出去，引起一片掌聲也是常有的事。當然這對人們重新認識一種舊方法也是很有好處的，若舊方法不被人重新包裝，就往往會被人們遺忘了，從而慢慢地被消失在人們的腦海中。從這一角度說，舊方法被重新包裝也是件好事。 在宇宙中，任何事物都可以看成是一種元素，大至銀河系等星系、星球，小至原子和分子等都可以看成是一種種元素。這樣能供我們進行各種各樣排列組合的元素就多了，多至無窮無盡，這樣我們將宇宙中萬事萬物進行各種各樣不同層次或跨層次的排列組合，產生的組合數或排列數就多得數不勝數，以到無窮無盡，而在這無窮無盡的排列組合中就必定會產生一些新發現、新發明、新創造，提出一些新假

14、說、新原理、新理論等等。如錄音機與收音機組合可產生一種新發明收錄機，而目前出現的許多方法其實也是由排列組合法產生的，因此我認為方法也像化學中的化學反應方程式一樣，雖然看似千變萬化、錯綜復雜，但它們都只不過是幾種簡單反應排列組合的產物。我在化學新思想中講到所有元素看似各不相同，但它們都是由氫元素的三種不同的同位素氕、氘、氚進行不同形式的組合的結果；而所有單質和化合物多得數不勝數、錯綜復雜，但它們都無一不是由這百來種元素排列組合的結果；而我們人、動物和植物等生物體看似各不相同、豐富多彩，實質上也只不過是由不同細胞等元素進行各種各樣排列組合的結果；我們的日常用品也相當豐富多彩，如：彩電、冰箱、洗衣機

15、、電飯鍋、電炒鍋、電燙斗、電話、手機、傳真機、電腦、打印機、辦公桌等等，細細想起來，無一不是排列組合的產物。嚴格地說，世界上沒有絕對單一純凈的東西，所有東西都是由不同元素按一定順序排列組合而成的；就是我們現在讀的圖書也是由紙張、文字、膠水、薄膜、線或釘及各種色彩組合而成的；就是我們的漢字，雖然數以萬計，但無非也是由點、橫、豎、撇、捺等筆畫排列組合而得的；我們學習的英文單詞多得數不勝數，但無非也是由 26個字母中取某幾個出來進行不同排列組合的結果；其它任何文字也都一樣，都是排列組合的結果，無一例外。可見，世界上萬事萬物都是排列組合之結果。 要是我們將我們所見過的萬事萬物 (即各種不同的元素)進行

16、各式各樣不同層次的排列組合，我們肯定會在十分有趣的排列組合思維中產生更多更奇的新事物，因此說排列組合是新生事物之源泉。 我們可以從宇宙中 n(無窮多)種元素(即事物)中選取2種、3種、4種、5種、6種m種出來分別進行各種各樣的排列組合，其結果肯定會令人感到驚訝!原來世界是多么的美妙!宇宙中萬事萬物正在不斷地發生著各種各樣不同層次的排列組合，也正因為這樣，世界才在不斷地發生變化和發展。 我認為我們這個地球上的生物早已完成了生命自發的不同排列組合，現在人們正在利用人為的因素將不同事物進行不同的排列組合，從而產生出世界本來就沒有的新事物 (如一切創造發明等)，同時，利用人為的排列組合法我們人類正在不斷地認識各種新生事物(從地球的角度來說，我們認識的所謂新生事物，其實也不是新生的，是地球上早已存在的，只不過是我們在此之前尚未認識罷了，因此對地球來說實際上并沒有多少是新生事物的，許許多多是早就存在于地球上的，就好像我們現在用的高中課本，對未認識的人是新的 ，對已讀過的