1、第一節(jié)第一節(jié) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 一一 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二二 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算與應(yīng)用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算與應(yīng)用三三 幾何與物理意義幾何與物理意義一一 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在平面所假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在平面所占弧段為占弧段為AB , 其線密度為其線密度為( , ),x y “大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限” (,)kkks 可得可得 nk 10lim M為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量, ,(,)kk 1.1.引例引例: : 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)

2、件的質(zhì)量采用采用A0M 1M2M1kM kM1nM nM Bks 設(shè)設(shè)L 是平面中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線是平面中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在義在 L上的一個(gè)有界函數(shù)上的一個(gè)有界函數(shù), (,)kkkfs 存在存在,( , )f x yL上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作記作( , ) dLf x ys 若通過(guò)對(duì)若通過(guò)對(duì) L的任意分割的任意分割局部的任意取點(diǎn)局部的任意取點(diǎn), 2.定義定義( , )f x y 是是定定以下以下“乘積和式極限乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)在曲線在曲線一類曲線積分一類曲線積分.( , )f x y稱為被積函稱為被積函L 稱為積分弧段稱為積分弧段 .曲

3、線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量( , )dLMx ys nk 10lim 和對(duì)和對(duì)或第或第數(shù)，數(shù)，ds稱為弧元素稱為弧元素(,)kk A0M 1M2M1kM kM1nM nM Bks 存在條件：存在條件：( ,),( , ).Lf xyLf x y ds 當(dāng)當(dāng)在在光光滑滑曲曲線線弧弧上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的曲曲線線積積分分存存在在性質(zhì)性質(zhì)（1） 設(shè)設(shè)ba,為常數(shù)，那么為常數(shù)，那么 Ldsyxbgyxaf),(),( Ldsyxfa),( Ldsyxgb),(（2） 設(shè)設(shè),21LLL 那么那么 Ldsyxf),( 1),(Ldsyxf 2),(Ldsyxf類似可以將定義推廣到三元函數(shù)類似

4、可以將定義推廣到三元函數(shù)),(zyxf在空間在空間曲線曲線 上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 dszyxf),(0lim nk 1kkkksf ).,( ( , )( , ).Lf x yLf x y ds 注注意意：函函數(shù)數(shù)在在閉閉曲曲線線上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的曲曲線線積積分分記記為為二、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算與應(yīng)用二、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算與應(yīng)用 tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22定理定理:),(yxf設(shè)設(shè)且且)()( tty上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù),證證: :是定義在光滑曲線弧是定義在光滑曲線弧則曲線積分則曲線積分),(:txL ,d),(存在存在 Lsyxf根據(jù)定義

5、根據(jù)定義 kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),(, ,1kkktt 點(diǎn)點(diǎn)),(kk tttskkttkd)()(122 ,)()(22kkkt nk 10lim Lsyxfd),(kkkt )()(22 )(, )(kkf 連連續(xù)續(xù)注注意意)()(22tt 設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為),1 ,0(nktk 對(duì)應(yīng)參數(shù)為對(duì)應(yīng)參數(shù)為 那么那么,1kkktt nk 10lim kkkt )()(22 )(, )(kkf xdydsdxyo L 說(shuō)明說(shuō)明:, 0, 0)1( kkts因此積分限必須滿足因此積分限必須滿足! (2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxs tttd)

6、()(22 x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法換元法”. 因而因而sd),(yxfdttt)()(22 )(),(ttf 如果曲線如果曲線 L 的方程為的方程為),()(bxaxy 則有則有 Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: L那那么么syxfL d),( )sin)(,cos)(f推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(: ttztytx那那么么 szyxfd),(ttttd)()()(222 xx d)(12 d)()(22 baxxf) )(,( )(),(, )(tttf例例1. 計(jì)算

7、計(jì)算,dLsx其中其中 L 是拋物線是拋物線2xy 與點(diǎn)與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧之間的一段弧 . 解解:)10(:2 xxyL Lsxd 10 xxxd)2(12 xxxd41102 10232)41(121 x)155(121 上點(diǎn)上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (Bxyo例例2 設(shè)設(shè)C 是由極坐標(biāo)系下曲線是由極坐標(biāo)系下曲線,a 0 及及4 所圍區(qū)域的邊界所圍區(qū)域的邊界, 求求seICyxd22 2)24( aea a4xy 0ya 解解 xe ae 2xe分段積分分段積分0a04 022a Ixd01 22sina 22cosa d1 xd1例例3 3cos

8、 ,:().sin ,LxatIxyds Lybt 求求橢橢圓圓第第 象象限限解解 tbtaIsincosdttbtattab222220cossincossin 2022)(2 baab.)(3)(22bababaab dttbta22)cos()sin( 02 tbab2222sin)( )sin)(2222tbabd 例例4 4.)2, 1()2 , 1(,4:,2一一段段到到從從其其中中求求 xyLydsIL解解 yI. 0 例例5 5,:cos ,sin ,. (02 )Ixyzdsxayazk 求其中求其中的一段的一段解解.21222kaka ka sincos2 Ixyo(1,2

9、)(1, 2) 24yx dyy2)2(1 2 2 dkaa22222cossin 02 d d s例例6. 計(jì)算計(jì)算,d)(222szyxI 其中其中為球面為球面22yx 解解: , 11)(:24122121 zxyx: 20 2)sin2( 2)cos2( 2)sin2( 18d22920 I d2 cos221 z. 1的交線的交線與平面與平面 zx292 z化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程 21cos2 x sin2 y那么那么例例7. 計(jì)算計(jì)算,d2sx 其中其中為球面為球面 2222azyx 被平面被平面 所截的圓周所截的圓周. 0 zyx解解: 由對(duì)稱性可知由對(duì)稱性可知sx d2 sz

10、yxsxd)(31d2222 sa d312 aa 2312 332a sy d2 sz d2 xoyz三三 幾何與物理意義幾何與物理意義(1)( , ),x yL 當(dāng)當(dāng)表表示示的的線線密密度度時(shí)時(shí);),( LdsyxM (2)( , )1,;Lf x yLds 弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)(3)( , )( , ),f x yLx y當(dāng)當(dāng)表表示示立立于于 上上的的柱柱面面在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的高高時(shí)時(shí)( , ).LSf x y ds 柱面面積柱面面積L( , )x y( , )f x yS(4),xy曲曲線線弧弧對(duì)對(duì) 軸軸及及 軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量22,.xyLLIydsIxds(5) 曲線弧的重心坐標(biāo)曲線弧的重心坐標(biāo)., LLLLdsdsyydsdsxx 例例8. 計(jì)算半徑為計(jì)算半徑為 R ,中心角為中心