1、 Department of Mathematics第一節第一節 級數和序列的基本性質級數和序列的基本性質(2)(2)復變函數項級數復變函數項級數設fn(n)(n=1,2,),在復平面點集E上有定義，那么：.)(.)()(21zfzfzfn是定義在點集E上的復變函數項級數，記為，或)()(1zfzfnnn設函數f(z)在E上有定義，如果在E上每一點z，此級數都收斂于f(z)，那么我們說它在E上收斂于f(z)），或者此級數在E上有和函數f(z)，記作),()(1zfzfnn復變函數序列設),.(),.,(),(21zfzfzfn是E上的復變函數列，記作 或 。1)(nnzf)(zfn設函數 在E

2、上有定義，如果在E上每一點z，)(z序列 都收斂于 ），那么我們說此序列在E上收斂于 ），或者此序列在E上有極限函數 ，記作)(zfn)(z)(z)(z),()(limzzfnn注解：注解1、復變函數項級數 收斂于f(z)的 定義可以敘述為：)(zfnN有時使得當, 0, 0NnN注 解 2 、 復 變 函 數 序 列 f n ( n ) 收 斂 于 的 定義可以敘述為：.| )()(|1zfzfnkk)(zN有時使得當, 0, 0NnN.| )()(|zzfn一致收斂 如果任給 ，可以找到一個只與 有關，而與z無關的正整數 ，使得當 時，有0EzNn,)(NN .| )()(|zzfn.|

3、)()(|1zfzfnkk或那么我們說級數 或序列 在E上一致收斂于f(z)或 ）。)(zfn)(zfn)(z注解：注解1、和實變函數項級數和序列一樣，我們也有相應的柯西一致收斂原理：柯西一致收斂原理復變函數項級數）：復變函數項級數 在E上一致收斂的必要與充分條件是：任給 ，可以找到一個只與 有關，而與z無關的正整數 ，使得當 ，p=1,2,3,時，有0)(NN EzNn,.| )(.)()(|21zfzfzfpnnn)(zfn柯西一致收斂原理復變函數序列）：復變函數序列fn(n)在E上一致收斂必要與充分條件是：任給 ，可以找到一個只與 有關，而與z無關的正整數 ，使得當時，有注解：0)(NN

4、 EzNnm,.| )()(|zfzfmn注解：注解2、一致收斂的魏爾斯特拉斯判別法M-判別法）：設在復平面點集E上,.)2 , 1)(nzfn有定義，并且設.21naaa是一個收斂的正項級數。設在E上，)(zfn,.),2 , 1( | )(|nazfnn那么級數 在E上一致收斂。定理1、2：定理2.1 設復平面點集E表示區域、閉區域或簡單曲線。設在集E上fn(n)(n=1,2,),連續，并且級數 或序列 在E上一致收斂于f(z)或 ，那么f(z)或 在E上連續。)(zfn)(zfn)(z)(z定理2.2 設在簡單曲線C上fn(n)(n=1,2,),連續，并且級數 或序列fn(n)在C上一致

5、收斂于f(z)或 ，那么)(zfn)(z或,)()(1CnCndzzfdzzf.)()(CCndzzdzzf注解：注解1、在研究復變函數項級數和序列的逐項求導的問題時，我們一般考慮解析函數項級數和序列；注解2、我們主要用莫勒拉定理及柯西公式來研究和函數與極限函數的解析性及其導數。內閉一致收斂：設函數序列,.)2 , 1)(nzfn在復平面C上的區域D內解析。如果級數)(zfn序列fn(n)在D內任一有界閉區域或在一個緊集上一致收斂于f(z)或 ，那么我們說此級數或序列在D中內閉或內緊一致收斂于f(z)或 。)(z)(z定理3：定理2.3魏爾斯特拉斯定理設函數,.)2 , 1)(nzfn在區域D

6、內解析，并且級數 或序列fn(n)(zfn在D內閉一致收斂于函數f(z)或 ，那么f(z)或)(z 在區域D內解析，并且在D內)(z或, )()(1)()(nknkzfzf,.).3 , 2 , 1(),(lim)()()(kzfzknnk定理3的證明級數）：證明：先證明f(z)在D內任一點z0解析，取z0的一個鄰域U，使其包含在D內，在U內作一條簡單閉曲線C。由定理2.2以及柯西定理, 0)()(1nCnCdzzfdzzf因為根據莫勒拉定理，可見f(z)在U內解析。再由于z0是D內任意一點，因此f(z)在D內解析。其次，設U的邊界即圓K也在D內，于是110)()(nknzzzf定理3的證明級

7、數）：對于 一致收斂于 。由定理2.2，我們有Kz10)()(kzzzf,)()(21)()(2111010nKknKkdzzzzfidzzzzfi也就是,.)3 , 2 , 1( , )()(1)()(kzfzfnknk因而，定理中關于級數的部分證明結束。定理3的證明序列）：對于序列，我們也先證明 在D內任一點z0)(z取它的一個鄰域U，使其包含在D內，在U內作一條簡單閉曲線C。由定理2.2以及柯西定理, 0)(lim)(lim)(CnnCnnCdzzfdzzfdzzf因為根據莫勒拉定理，可見 在U內解析。再由于z0是D內任意一點，因而 在D內解析。)(z)(z其次，設U的邊界即圓K也在D內，于是10)()(knzzzf定理3的證明：對于 一致收斂于 。由定理2.2，我們有Kz10)()(kzzzdzzzzfidzzzziKknnKk1010)()(lim21)()(21也就是dzzzzfiKknn10)()(21lim,.).3 ,