1、    均勻導電球模型中2n極子電位的解析解        本文借助電位多極展開的思想，發展了一種計算均勻導電球模型中2n極子電位的解析方法，并具體給出了常見的偶極子(n=1)和四極子(n=2)兩種特殊情況的電位公式。這些公式可用于以均勻導電球模型為基礎的，腦電、心電研究中的電位的精確計算。關鍵詞:2n極子；球模型；解析解；EEG分類號:R318.04 0前 言均勻導電球和偶極源模型是理論EEG，ECG和MEG等問題中常用的近似模型，四極子則常作為對偶極源模型的修正而用于同樣

2、的問題中。對于偶極源，文獻中已有關于它在多層球、橢球以及各向異性多層球中所產生電位的研究報道1，但一般都假設它是位于一些特殊的位置上的1，2。顯然，這樣的解對逆問題的研究是不合適的，因為在逆問題的研究中不宜對未知的源模型作過多的先驗性假設，或者說逆問題的研究需要電源任意分布情況的解析解。從筆者所及的文獻看，Wilson等在1950年首先推導了均勻導電球中偶極子電位的計算公式3，Frank在1952年進一步給出了略為簡潔的形式4，Brody等在1973年基于導聯場概念導出了適合球表面上各點的嚴格公式5，正是這些工作成了后來許多工作的基礎。然而，Wilson及Frank所給出的近似公式在一些特殊的

3、位置上會出現被零除或其他無意義的情況5，而Brody等所給出的公式又不能用于計算球內諸點的電位5。國內朱代謨先生近年在心電研究中導出的偶極子電位公式也只適合于球表面電位的計算6，7。我們最近在開展腦電三維映射成像研究的過程中，則導出了任意分布位置且任意取向的偶極子，在均勻導電球模型中所產生電位的解析計算公式，該公式既適合于球內，也適合于球表面，且對于球面上的場點，公式自動簡化為Brody(1973)等所導出的公式8。本文中，我們基于電位多極展開理論9，進一步導出了位于均勻導電球內任意位置，且任意取向的2n極子(n=1,2)在球內及球表面所產生電位的計算公式。對于n=1時的偶極子情況，公式與文獻

4、一致8，對于n>1時的四極子等情況，作者尚未見文獻有類似的研究報道。12n極子電位的解析解根據Frank(1952)的研究，均勻導電球內的電流元即零極子(2n,n=0)所產生的電位為4(1)式中為電導率，I為電流元的強度。設電流元位于(X1，X2，X3），場點位于(X，X，X），則式(1)中R為球的半徑，直角坐標系的原點位于球心。現假設在附近的小區域內有一電流元的分布，區域的線度為l，電流元的密度為i(標量)，則根據疊加原理，這些分布源在均勻導電球中所產生的電位為式中根據多元函數微分知識可知，如果u(,）有關于）的任意階連續偏導數，且-l，則u(,）可在處展成如下張量形式的Taylor級

5、數：式中為內某一點，表示對求導。將式(2b)代入式(2)得式中根據電位的多極展開理論9，I，,依次為位于處的電流零極子點電流的強度，電流偶極子的偶極矩矢量，電流四極子的四極矩張量，由此可見，附近的任意電流無分布所產生的電位，總可以用位于的零極子、偶極子、四極子2n極子的貢獻去合成，同時，在數學上，由后面的式(5)、式(8a)、(8b)可以看出，u(,)在處有關于的任意多階連續導數，因此，式(3)構成了標量電位的多極展開。特別地，若附近的電流元分布只相當于位于處的一個偶極子，即式(3a)、(3c)及更高階的矩均勻零，則式(3)自動退化為位于 處的一個偶極子的電位公式，即(4)式中Pxi為偶極矩的

6、直角坐標分量，類似地可以寫出四極子、八極子等任意2n極子的電位公式。由于公式中u(,)的形式是已知的(式(2a)，因此，只要利用簡單的微分運算即可求出想求的任意2n極子所產生電位的解析表達式，這說明式(3)實際上已給出了均勻導電球模型中任意2n極子所產生電位的解析解。作為示例，下一節中具體給出了偶極子和四極子的電位表達式。2示例(1) 零極子。零極子即點電流元，它的電位解為式(3)的第一項，也即式(1)。(2) 偶極子。本文所述的電流元偶極子由無限接近的異號電流元構成。沿I為電流元強度，為異號電流元-I到I的位移，則偶極矩=I。由式(2a)及式(1a)、(1b)、(1c)和(1d)有將式(5)

7、代入式(4)即得位于(X、X、X)，偶極矩為(Px1、Px2、Px3)的偶極子的電位解：式(6)既適合于球內(r<R),也適合于球表面(r=R)，對于球表面上的點，相應地式(6)簡化為式(6)、式(7)表明，當偶極子處于有限導電球內時，它的位場中不僅有偶極成分(式(6)、式(7)的第一項)，還包含有由有限區域所引入的非偶極感應場(式(6)、式(7)第一項以外的部分)。特別地，當偶極子位于球心時，Xi=0(i=1,2,3)式(7)簡化為式中為與場點的夾角，即=(,)。式(7a)表明，位于有限導體球心的偶極子在球面上所形成的電位，等于它在無界空間中相同球面上的電位的3倍，這一現象充分說明了有

8、限導電球模型對偶極子電位有巨大影響，將式(6)、式(7)與有關文獻結果比較可見，式(7a)與Brody等(1973)所給出的公式一致，式(6)則與文獻8所得結果一致。(3) 四極子。本文所述的電流元四極子由電流元偶極子按一定的規則構成，如Q33即是由沿X軸取向，且無限靠近的一對電流元偶極子+和-組成的9。根據式(3)，四極矩的電位解為：式中Qij為四極矩的分量，i,j=1,2,3,下面我們具體給出的形式。由式(5)得對于球面上的點，r=R,rPi=Rrp,式(8a),(8b)分別簡化為和若進一步假設四極矩位于球心，則式中i,j為球面上的場點與Xi,Xj軸間的夾角，作為示例，我們進一步考查一下Q

9、33的電位。由式(8)及(8f)得Q33在球面上所形成的電位為顯然的最大值位于z=0和處，即Z軸與球面的交點，最大值為，最小值位于Xy平面與球面的交線所形成的圓環上，最小值為-，又由文獻9知，當Q33位于無界空間中的坐標原點時，它在半徑為R的球面上的電位為顯然，與的最大值、最小值的位置相同，因而電位分布的形貌相似，但的最大值(Z=R)為，最小值(Z=0)為-,由此可見，與并不存在簡單的比例關系。式(9)和式(10)的差異充分顯示了有限導電球模型對四極矩電位的巨大影響。3結束語本文發展了一種計算位于均勻導電球模型中任意位置，且任意取向的2n極子所產生電位的解析方法，并具體導出了偶極子和四極子電位

10、的解析表達式。顯然，這些公式對于以均勻導電球模型為基礎的心腦電研究是有用的，同時，本文的研究思路也為進一步探討更復雜模型的解析解展示了一條可能的新途徑。最后，我們指出，隨著現代電子計算技術的發展，直接用計算機數值求得心腦電邊值問題的工作已取得很大的進展10，國內也在這方面作了一些有益的探索11，12。數值方法的好處是可以處理比較接近實際的模型，但存在計算量大、因果性不明顯等缺點，而解析法則具有計算量小、結果準確、可從解析表達式直接分析前因后果等優點，但是，解析法常常只能處理一些簡單規則的模型，因為無法求出復雜模型的解析解。因此，在實際工作中，應根據研究對象的特點、研究條件和研究目的，在解析法與

11、數值法間作合理的選擇，當然也可以在不同的階段使用不同的方法。(本文承中國醫學物理學雜志主編，第一軍醫大學教授朱代謨先生提供部分文獻，并承評閱人提出了許多好的意見，特此一并表示衷心的感謝!)國家自然基金資助項目1994年7月14日收稿,1995年5月15日修回4參考文獻1Munck JC. The potential distribution in a layered anisotropic spherical volume conductor. J Appl Phys, 1988,64(2):4644702Cuffin BN. Eccentric spheres models of the h

12、ead. IEEE Trans BME, 1991,38(9):8718783Wilson FN and Bayley RH. The electric field of an eccentric dipole in a homogeneous spherical conducting medium. Circulation, 1950, 1:84924Frank E. Electric potential produced by two-point current sources in a homogeneous conducting sphere. J Appl Phys, 1952,23

13、(11):122512285Brody DA. Eccentric dipole in a spherical medium: generalized expression for surface potentials. IEEE Trans BME, 1973,20:1411436朱代謨等.心電偶極學說研究.中國生物醫學工程學報，1993，12(4)：2612677朱代謨.偏心電偶極子在均勻弱導電介質球表面所產生的電勢的一種新計算方法.醫學物理，1991，8(3)：12158堯德中.均勻導電球頭模型中偶極子電位的一般性解析解.中國醫療器械雜志，1994，16(6)：3143189全澤松.電磁

14、場理論.成都：成都電訊工程學院出版社，1987，141910Kilpatrick D, Johnston PR. Qrigin of the Electrocardiogram. IEEE Eng Med Biol Mag, 1994,13(4):47948611徐振耀，符影杰，呂維雪.一種在微機上實現的心電仿真模型.北京生物醫學工程,1991，10(3)：13814612云正清，譚邦定，俞集輝.解心電場逆問題的正則化方法邊界元途徑.生物醫學工程雜志，1994，11(3)：222225CLOSE SOLUTION OF ELECTRICPOTENTIAL PRODUCED BY 2n TH-O

15、RDER MULTIPOLEIN A HOMOGENEOUS CONDUCTING SPHEREYao Dezhong(Department of Automation, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 610054)ABSTRACTBased on theory of multipole expansion, the close solution of electric potential produced by 2n th-order multipole in a homogeneous conducting sphere was derived, and the concrete expression of the potential produced by a dipole or a quadr