1、安徽省淮北市第五中學高考數學總復習 數列求和及其綜合應用知識梳理【知識網絡】數列前n項和公式法錯位相減倒序相加裂項相消分組求和綜合應用與函數、方程、不等式等與幾何、實際問題等【考點梳理】縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關數列的試題出現的頻率較高，不僅可與函數、方程、不等式、復數相聯系，而且還與三角、立體幾何密切相關；數列作為特殊的函數，在實際問題中有著廣泛的應用，如增長率、銀行信貸、濃度匹配、養老保險、圓鋼堆壘等問題.這就要求同學們除熟練運用有關概念式外，還要善于觀察題設的特征，聯想有關數學知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數列題的速度.與計算有關的問題主要有：求數列的某項，確定數列的通

2、項公式，求有窮數列或無窮數列之和，計算數列的極限，將數列與方程，與不等式，與某些幾何問題等聯系起來，從而解決有關問題.有關定性問題的論證問題主要有：考察或論證數列的單調性，將數列分類定性，考察數列的圖像特征，考察數列的極限存在與否等等.有關實際應用問題：某些與非零自然數有關的實際應用題，可用數列的各項與之對應，然后利用數列有關知識解答此類應用題.數列的函數屬性：因數列是函數的特例，故解答有關問題時，常與函數知識聯系起來考慮. 【典型例題】類型一：數列與函數的綜合應用例1. 若數列的相鄰兩項、是方程的兩根，又，求數列的前項和.解析：由韋達定理得，得 ， 數列與均成等比數列，且公比都為，由，得,(

3、I)當為偶數時，令（）,.(II)當為奇數時，令（）， .舉一反三：【高清課堂：函數的極值和最值388566 典型例題三】【變式1】已知數列和滿足：，其中為實數，n為正整數.（）對任意實數，證明數列不是等比數列；（）試判斷數列是否為等比數列，并證明你的結論；解析：（）假設存在實數，使得數列是等比數列，則，必然滿足由得，顯然矛盾，即不存在實數使得數列是等比數列。（）根據等比數列的定義：即又所以當時，數列不是等比數列；當時，數列是等比數列.【變式2】對于數列，規定數列為數列的一階差分數列，其中；一般地，規定為的k階差分數列，其中且kN*，k2。（1）已知數列的通項公式。試證明是等差數列；（2）若數

4、列的首項a1=13，且滿足，求數列及的通項公式；（3）在（2）的條件下，判斷是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，說明理由。解析：（1）依題意：，數列是首項為1，公差為5的等差數列。（2），（3）令，則當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增；又因，而，所以當n=2時，數列an存在最小值，其最小值為18。類型二：數列與不等式例2.設數列an的前n項和Sn滿足Sn+1a2Sna1，其中a20. （I）求證：an是首項為1的等比數列；（II）若a21，求證：Sn(a1an)，并給出等號成立的充要條件.解析：（）證明：由S2a2S1a1得a1a2a2a1a1，即a2a2a1因a20，故a11

5、，得又由題設條件知Sn2a2Sn+1a1，Sn1a2Sna1兩式相減得，Sn+2Sn+1a2(Sn+1Sn)，即an2a2an1，由a20，知an+10，因此綜上，對所有nN成立從而an是首項為1，公比為a2的等比數列。 （II）證明：當n1或n2時，易知，等號成立，設n3，a21且a20，由（）知，a11，ana2n1，所以要證的不等式化為1a2a22a2n1(1a2n1)（n3）即證：1a2a22a2n(1a2n)（n2）當a21時，上面不等式的等號成立；當1a21時，a2r1與a2nr1（r1,2，n1）同為負；當a21時，a2r1與a2nr1（r1,2，n1）同為正。因此當a21且a2

6、1時，總有(a2r1)(a2nr1)0即a2ra2nr1a2n(r1,2，n1)上面不等式對r從1到n1求和得2(a2a22a2n1)(n1)(1a2n)由此得1a2a22a2n綜上，當a21且a20時，有Sn(a1an)，當且僅當n1,2或a21時等號成立。舉一反三：【變式1】在數列an中，a1=2，an+1=4an-3n+1，. (1)證明數列an-n是等比數列； (2)求數列an的前n項和Sn； (3)證明不等式，對任意皆成立.解析： (1)證明：由已知， 又a1-1=1，數列an-n是首項為1，公比為4的等比數列(2)解：由(1)可知an-n=4n-1， an=4n-1+nSn=a1+a2+an=(40+1)+(41+2) +(4n-1+n) = (3)證明：對任意- =n1， n-10，3n+4>0即Sn+14Sn【變式2】已知an是公比為q的等比數列，且a1，a3，a2成等差數列.()求q的值；()設bn是以2為首項，q為公差的等差數列，其前n項和為Sn，當n2時，比較Sn與bn的大小，并說明理由.解析：()由題設2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,a10，2q2-q-1=0，或， ()若q=1，則當n2時，若當n2時， 故對于nN+，當2n9時，Sn>bn；當n=10時，Sn=b