1、常微分方程模擬試題1一、填空題（每小題3分，本題共15分） 1一階微分方程的通解的圖像是 維空間上的一族曲線 2二階線性齊次微分方程的兩個解為方程的基本解組充分必要條件是 3方程的基本解組是 4一個不可延展解的存在在區間一定是 區間 5方程的常數解是 二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分） 6方程滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區域是（ ）（A）上半平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y軸外的全平面 7. 方程（ ）奇解（A）有一個 （B）有兩個 （C）無 （D）有無數個 8連續可微是保證方程解存在且唯一的（ ）條件 （A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分

2、9二階線性非齊次微分方程的所有解（ ） （A）構成一個2維線性空間 （B）構成一個3維線性空間 （C）不能構成一個線性空間 （D）構成一個無限維線性空間 10方程過點(0, 0)有（ ）(A) 無數個解(B) 只有一個解 (C) 只有兩個解(D) 只有三個解三、計算題（每小題分，本題共30分） 求下列方程的通解或通積分： 11. 12. 13. 14 15四、計算題（每小題10分，本題共20分） 16求方程的通解 17求下列方程組的通解 五、證明題（每小題10分，本題共20分） 18設在上連續，且，求證：方程的一切解，均有19在方程中，在上連續，求證：若恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基

3、行列式是上的嚴格單調函數常微分方程模擬試題1參考答案 一、填空題（每小題3分，本題共15分） 12 2線性無關（或：它們的朗斯基行列式不等于零）3 4開 5 二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分） 6D 7C 8B 9C 10A 三、計算題（每小題分，本題共30分） 11解 當，時，分離變量取不定積分，得 （3分） 通積分為 （6分） 12解 令，則，代入原方程，得 （3分） 分離變量，取不定積分，得 （） 通積分為： （6分） 13解 方程兩端同乘以，得 令 ，則，代入上式，得 （3分） 通解為 原方程通解為 （6分） 14解 因為，所以原方程是全微分方程 （2分） 取，原方程的通積分為

4、 （4分） 即 （6分） 15解 原方程是克萊洛方程，通解為 （6分） 四、計算題（每小題10分，本題共20分） 16解 對應齊次方程的特征方程為，特征根為， 齊次方程的通解為 （4分） 因為是特征根。所以，設非齊次方程的特解為 （6分） 代入原方程，比較系數確定出 ， 原方程的通解為 （10分） 17解 先解出齊次方程的通解 （4分） 令非齊次方程特解為 滿足 （6分）解得 積分，得 ，通解為 （10分） 五、證明題（每小題10分，本題共20分） 18證明 設是方程任一解，滿足，該解的表達式為 （4分） 取極限 = （10分） 19證明 設，是方程的基本解組，則對任意，它們朗斯基行列式在上有

5、定義，且又由劉維爾公式 ， （5分） 由于，于是對一切，有 或 故 是上的嚴格單調函數 （10分） 常微分方程模擬試題2 一、填空題（每小題3分，本題共15分）1方程所有常數解是 2方程滿足解的存在唯一性定理條件的區域是 3線性齊次微分方程組的解組為基本解組的 條件是它們的朗斯基行列式 4方程的任一非零解 與軸相交 5階線性齊次微分方程線性無關解的個數最多為 個 二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）6方程（ ）奇解（A）有無數個 （B）無 （C）有一個 （D）有兩個 7. 方程過點（ ）（A）只有一個解 （B）有無數個解 （C）只有兩個解 （D）無解 8有界是方程初值解唯一的（ ）條件

6、（A）必要 （B）必要非充分 （C）充分 （D）充分必要 9方程的任一非零解在平面上（ ）與軸相切 （A）不可以 （B）只有在點處可以 （C）只有在原點處可以 （D）只有在點處可以 10階線性非齊次微分方程的所有解（ ） （A）構成一個線性空間 （B）構成一個維線性空間 （C）構成一個維線性空間 （D）不能構成一個線性空間三、計算題（每小題分，本題共30分）求下列方程的通解或通積分： 11. 12. 13. 14 15四、計算題（每小題10分，本題共20分）16求方程的通解 17求下列方程組的通解 五、證明題（每小題10分，本題共20分）18設方程中，在上連續可微，且，求證：該方程的任一滿足初

7、值條件的解必在區間上存在 19設和是二階線性齊次微分方程的兩個線性無關解，求證：它們不能有共同的零點常微分方程模擬試題2 參考答案及評分標準 一、填空題（每小題3分，本題共15分） 1； 或 2平面3充分必要 4不能 5 二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分） 6B 7A 8C 9A 10D 三、計算題（每小題分，本題共30分） 11解 分離變量得 （3分）等式兩端積分得通積分 （6分） 12解 齊次方程的通解為 （2分） 令非齊次方程的特解為 代入原方程，確定出 （5分） 原方程的通解為 + （6分）13解 由于，所以原方程是全微分方程 （2分） 取，原方程的通積分為 （4分） 即 （6

8、分） 14解 令，則原方程的參數形式為 （2分） 由基本關系式 積分有 （4分） 得原方程參數形式通解 （6分） 15解 原方程為恰當導數方程，可改寫為 即 （2分） 分離變量，取積分 （4分） 得原方程的通積分為 （6分） 四、計算題（每小題10分，本題共20分） 16解 方程的特征根為 齊次方程的通解為 （3分） 因為是特征根所以，設非齊次方程的特解為 （5分） 代入原方程，可確定 ， （8分） 故原方程的通解為 （10分） 17解 特征方程為 即 特征根為 ， （2分） 對應特征向量應滿足 可確定出 （5分） 同樣可算出對應的特征向量為 （8分）所以，原方程組的通解為 （10分） 五、證明題（每小題10分，本題共20分） 18證明 由已知條件，方程在整個 平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件，因此，它的任一解都可延展到平面的無窮遠 （2分） 又由已知條件，知是方程的一個解 （4分）且在上半平面，有； 在下半平面，有 （7分） 現不妨取點屬于上半平面，并記過該點的解為由上面分