1、第一節第一節 定積分在幾何上的應用定積分在幾何上的應用微元法微元法平面圖形的面積平面圖形的面積立體的體積立體的體積平面曲線的弧長平面曲線的弧長一一 微元法微元法回顧曲邊梯形求面積的問題與變速直線運動的路回顧曲邊梯形求面積的問題與變速直線運動的路程問題，程問題， 當所求量當所求量U具有下列三個特點具有下列三個特點有關的量；有關的量；（1）U是與一個變量是與一個變量x的變化區間的變化區間,ba（2）U對于區間對于區間具有可加性，具有可加性，,ba niiUU1而而（3）可以）可以“以勻代不勻以勻代不勻”求部分量求部分量iU 的近似值的近似值個小區間個小區間即如果用分點即如果用分點,babxxxxa

2、n 210把區間把區間分成分成n), 2 , 1(,1nixxii U相應地分成相應地分成則則n個部分量個部分量,iU ), 2 , 1()(nixfUiii 其中其中.,11iiiiiixxxxx 于是于是 niiixfU1)( 令令, 0max1 inix 得得iinixfU )(lim10 badxxf)(這里這里iiixfU )( 含義是含義是是較是較()iiiUfx ix 高階無窮小高階無窮小. 即即iixf )( 是是iU 的線性主部的線性主部.一般地一般地, 如果某個實際問題具有上述的三個特點如果某個實際問題具有上述的三個特點,在利用定積分求解時在利用定積分求解時,可以按下述的步

3、驟求解可以按下述的步驟求解:這個方法通常叫做這個方法通常叫做元素法元素法應用方向：應用方向： 平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等壓力；引力和平均值等二二 平面圖形的面積平面圖形的面積1 直角坐標系平面圖形的面積直角坐標系平面圖形的面積xyo( )f x( )g xab設設,ba上連續函數上連續函數)(),(xgxf滿足滿足,)()(baxxgxf 則由曲線則由曲線)(xfy 與與),(xgy bxax ,所圍的平面圖形的面積所圍的平面圖形的面積為為 badxxgxfS)()(xyo( )f xabxdxx ( )g x事

4、實上事實上(1) 平面圖形介于平面圖形介于直線直線bxax ,之間之間,因此選取因此選取x作為積分作為積分變量變量,ba作為積分作為積分區間區間;(2) 在在,ba上任取一個區間上任取一個區間,dxxx 相應于該小相應于該小區間的平面圖形可以近似看成以區間的平面圖形可以近似看成以)()(xgxf 為高為高,dx為底長的長方形為底長的長方形, 所以得面積的微元素所以得面積的微元素dxxgxfdS)()( (3) 以以dxxgxf)()( 作為定積分的被積表示式作為定積分的被積表示式,在在,ba作定積分得作定積分得 badxxgxfS)()(同理由同理由,dc上連續曲線上連續曲線)()()(),(

5、ygyfygxyfx 與直線與直線dycy ,所謂的平面所謂的平面圖形的面積圖形的面積xyo( )f y( )g ycd ),(yyf),(yygy dcdyygyfS)()(為為解解兩曲線的交點兩曲線的交點) 1 , 1 () 0 , 0(面積元素面積元素dxxxdS)(2 選選 為積分變量為積分變量x 1 , 0 xdxxxS)(210 103)332(23xx .31 或選或選y為積分變量為積分變量,1 , 0 y,)(2dyyydS 102)(dyyyS103)332(23yy .31 xyo2yx yx (1,1)x xdx 例例2 求由曲線求由曲線2,2 yxyx所圍的平面圖形的所

6、圍的平面圖形的面積面積xyoyx yx 2yx)1, 1( )2 , 4(1解法解法I解方程組解方程組 22yxyx得兩曲線的交點為得兩曲線的交點為),4 , 2(),1, 1( 該圖形可以看成是由該圖形可以看成是由1, xxyxy圍成的平面圍成的平面圖形與圖形與1, 2, xxyxy所圍成的平面圖形兩個所圍成的平面圖形兩個部分構成的部分構成的, 因此取因此取x為積分變量為積分變量,積分區間分別為積分區間分別為4 , 1,1 , 0得得 10)(dxxxS 41)2(dxxxxx2xy 2xy xyo)2 , 4()1, 1( 412231023)2232(34xxxx 635 解法解法II取

7、取y為積分變量為積分變量,積分區間為積分區間為,2 , 1 則則 212)2(dyyyS2132)322( yyy635 y解解兩曲線的交點兩曲線的交點).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdS)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdS)6(322 2xy xxy63 于是所求面積于是所求面積21SSS dxxxxS)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 ( 2,4) (3,9)例例4 在曲線在曲線)42(ln xxy上求一點上求一點P，使得，使得,ln xy 直線直線4,

8、 2 xx所圍成所圍成該點的切線與曲線該點的切線與曲線的平面圖形的面積最小。的平面圖形的面積最小。lnyx xyo24)ln,(tt解解則切線方程為則切線方程為)(1lntxtty 因此因此 42)lnln1()(dxxttxtS2ln6ln26 tt)42()ln,( ttt設切點為設切點為,26)(2tttS 0929294)3( S3 t因此當因此當時，面積最小。時，面積最小。, 30)( ttS所求點為所求點為).3ln, 3(解解橢圓的參數方程橢圓的參數方程 tbytaxsincos由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于4 4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxA04 0

9、2)cos(sin4 tatdbdttab 202sin4.ab tbytaxsincos 則則令令2 極坐標系下平面圖形的面積極坐標系下平面圖形的面積設由曲線設由曲線)( 及射線及射線 ,圍成一曲邊扇形，圍成一曲邊扇形，求其面積，求其面積， 這里這里)( 在在, 上連續上連續.( ) xo d 選積分變量選積分變量, 積分區間積分區間, 在區間在區間, 上任取一小區間上任取一小區間, d 相應相應地得到一小的曲邊扇形地得到一小的曲邊扇形, 它可以用半徑為它可以用半徑為),( ( ) 中心角中心角為為 dd 的扇形近似代替的扇形近似代替, 因此因此,)(212 ddS dS)(212同理同理,

10、由連續曲線由連續曲線),(1 )()(0(21 )(2 及射線及射線)(, 所圍的平面圖形的面積為所圍的平面圖形的面積為1( ) 2( ) xo dS)()(212122解解 dadS22)cos1(21 利用對稱性知利用對稱性知 o(1cos )a .232a d2)cos1( 02212aS d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0解解由對稱性知總面積由對稱性知總面積=4=4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積14SS daS2cos214402 .2a o4 1cos3cos ox3 例例8 求由曲線求由曲線 cos1,cos3 所圍成的平所圍成的平面圖形面圖形

11、(如圖所示陰影部分如圖所示陰影部分)的面積的面積.解解解方程組解方程組 cos1cos3得得,3 取積分變量取積分變量, 積分區間積分區間,3,3 因此因此 3322)cos1(cos921 dS 3021cos2cos8 d 三三 立體的體積立體的體積1 已知平行截面面積的立體的體積已知平行截面面積的立體的體積設空間某立體是由一曲面和過設空間某立體是由一曲面和過ba,且垂直于且垂直于x軸軸的兩平面圍成的兩平面圍成, 如果已知該立體上且垂直于如果已知該立體上且垂直于x個截面面積個截面面積軸的各軸的各),(xSS 求此立體體積求此立體體積. 其中其中)(xS為區為區間間,ba上連續函數上連續函數

12、.xdxx oxab取取x為積分變量，為積分變量，,ba為積分區間，為積分區間，在在,ba任取任取一小區間一小區間,dxxx 可以近似地看可以近似地看成以成以)(xS為底，為底，dx為高的柱體，為高的柱體，截下的物體截下的物體相應相應所以所以dxxSdV)( badxxSV)(解解取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R xRR xyo解解取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積

13、立體體積dxxRhVRR 22.212hR 2 旋轉體體積旋轉體體積( )yf x xyoabx設空間物體是由連續曲線設空間物體是由連續曲線)0)()( xfxfy與直線與直線bxax ,及及x軸圍成的平軸圍成的平面圖形繞面圖形繞x軸旋轉一周而得軸旋轉一周而得的的, 求此物體的體積求此物體的體積.取取x為積分變量為積分變量,ba為積分區間為積分區間, 在在,ba上任取上任取一點一點,x相應物體的截面是以相應物體的截面是以)(xf為半徑的圓為半徑的圓, 因此其因此其面積為面積為),()(2xfxS 所以所求的物體體積為所以所求的物體體積為 badxxfV)(2 ( )g yxoycdy同理同理,

14、空間物體是由連續曲空間物體是由連續曲)0)()( ygygx線線與直與直dycy ,及及y軸圍成的平軸圍成的平面圖形繞面圖形繞y軸旋轉一周而得軸旋轉一周而得的的,線線此物體的體積為此物體的體積為 dcdyygV)(2 例例11求由曲線求由曲線,xy 直線直線4 x及及x軸所圍平軸所圍平面圖形繞面圖形繞yx,軸旋轉一周所得立體的體積軸旋轉一周所得立體的體積.解解繞繞x軸旋轉軸旋轉yx x4xyo取取x為積分變量為積分變量,4 , 0為積分為積分區間區間, 則則 402)(dxxVx 8 繞繞y軸旋轉軸旋轉2xy 4yxyo取取y為積分變量為積分變量,2 , 0為為積分區間積分區間, 對對2 ,

15、0上任一上任一, y相應的截面面積為相應的截面面積為)16()(4yyS 因此因此 204)16(dyyVy 5128 1e1xye yex 例例12求由曲線求由曲線xey 及及xey 在點在點), 1( e處的切線和處的切線和y平面圖形繞平面圖形繞yx,立體的體積立體的體積.解解 xey 在點在點), 1( e處切線方程處切線方程為為.exy x 10222)(dxxeeVxx )2161(2 e1e1lnxy yxe 軸圍成的軸圍成的軸旋轉一周所得軸旋轉一周所得yy 1022dyeyVy dyyeye)ln(1222 )322(e 解解由對稱性得旋轉體的體積由對稱性得旋轉體的體積32323

16、2ayx 的參數方程為的參數方程為 taytax33sincos adxyV022 taytax33sincos 則則令令 02273cossin6 tdtta 202323coscos)cos1(6 ttdta310532a ( )yf x aboxy例例14求由連續曲線求由連續曲線)(xfy 直線直線bxax ,及及x軸所圍的曲邊梯形軸所圍的曲邊梯形繞繞y軸旋轉一周所得立軸旋轉一周所得立體體積體體積.解解取取x為積分變量為積分變量,ba為積分區間為積分區間, 在在,ba上上任取小區間任取小區間,dxxx 相應的曲邊梯形可以近似地看相應的曲邊梯形可以近似地看成底長為成底長為dx高為高為)(x

17、f的矩形的矩形,xxdx 其繞其繞y軸旋轉一周軸旋轉一周所得的旋轉體體積為所得的旋轉體體積為222)()(2)()(dxxfdxxxfxfxdxx dVdxxxf )(2 所以所以 badxxxfV)(2 xoy0MA nMB 1M2M1 nMBMMMMMAnni ,110四四 平面曲線弧長平面曲線弧長1 直角坐標表示的平面曲線的弧長直角坐標表示的平面曲線的弧長 設曲線弧為設曲線弧為)(xfy ),(bxa 其中其中)(xf在在,ba上有一階連續導數上有一階連續導數, 取積分取積分,x變量為變量為在在,ba上任取小上任取小,dxxx 區間區間以對應小切以對應小切線段的長代替小弧段的長度線段的長

18、代替小弧段的長度.小切線段的長為小切線段的長為22)()(dydx dxy21 弧長元素弧長元素dxyds21 弧長弧長.12dxysba abxdxx xyo( )f x dy解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長為所求弧長為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例16解求曲線解求曲線 xdtty323的全長的全長.解解定義域為定義域為,3, 3 ,32xy 3321dxys 3324dxx 332cos4 tdt334 2 參數方程所表示的平面曲線的弧長參數方程所表示的平面曲線的弧長設曲線弧的參數方程為設曲線弧的參數方程為,)()( tytx )( t其中其中)(),(tt 在在, 上具有連續導數上具有連續導數, ,且且, 0)()(22 tt 則則22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 所以所以.)()(22