1、直方圖(Histogram)一、前 言 現場工作人員經常都要面對許多的數據，這些數據均來自于生產過程中抽樣或檢查所得的某項產品的質量特性。如果我們應用統計繪圖的方法，將這些數據加以整理，則生產過程中的質量散布的情形及問題點所在及過程、能力等，均可呈現在我們的眼前；我們即可利用這些信息來掌握問題點以采取改善對策。通常在生產現場最常利用的圖表即為直方圖。二、直方圖的定義什么是直方圖：即使諸如長度、重量、硬度、時間等計量值的數值分配情形能容易地看出的圖形。直方圖是將所收集的測定值特性值或結果值，分為幾個相等的區間作為橫軸，并將各區間內所測定值依所出現的次數累積而成的面積，用柱子排起來的圖形。因此，也

2、叫做柱狀圖。使用直方圖的目的：了解分配的形態。研究制程能力或計算制程能力。過程分析與控制。觀察數據的真偽。計算產品的不合格率。求分配的平均值與標準差。用以制定規格界限。與規格或標準值比較。調查是否混入兩個以上的不同群體。了解設計控制是否合乎過程控制。116 品管七大手法3.解釋名詞：次數分配將許多的復雜數據按其差異的大小分成若干組，在各組內填入測定值的出現次數，即為次數分配。相對次數在各組出現的次數除以全部的次數，即為相對次數。累積次數(f)自次數分配的測定值較小的一端將其次數累積計算，即為累積次數。極差(R)在所有數據中最大值和最小值的差，即為極差。組距(h)極差/組數=組距算數平均數(X)

3、=X=X1+X2+ +Xnn數據的總和除以數據總數，通常一X（X-bar）表示。X=SfnX0+h中位數(X)將數據由大至小按順序排列，居于中央的數據為中位數。若遇偶位數時，則取中間兩數據的平均值。各組中點的簡化值()= , Xi - X0組距(h)X0=次數最多一組的組中點Xi=各組組中點眾數(M)次數分配中出現次數最多組的值。第八章 直方圖 117例：不合格數35791011次 數111518241316次數最多為24，不合格數是9，故眾數為9。組中點(m)一組數據中最大值與最小值的平均值，（上組界+下組界）÷ 2=組中點標準差（）s=n-1 = h×=0 = h

4、15; 樣本標準差(S)三、直方圖的制作直方圖的制作方法步驟1：收集數據并記錄收集數據時，對于抽樣分布必須特別注意，不可取部分樣品，應全部均勻地加以隨機抽樣。所收集的數據個數應大于50以上。118 品管七大手法例:某廠成品尺寸規格為130至160mm，今按隨機抽樣方式抽取60個樣本，其測定值如附表，試制作直方圖。13813914413114014513413513713614214013812713014113613413213114814113913813613513713213013114513813613712813113313413513914013813713713813613412

5、1135136141139137133132131132129134135步驟2：找出數據中的最大值(L)與最小值(S)先從各行（或列）求出最大值，最小值，再予比較。最大值用“”框起來，最小值用“”框起來EX:No.1No.2No.3No.4No.5No.6138139144131140145134135137136142140138127130141136134132131148141139138136135137132130131145138136137128131133134135139140138137137138136134121135136141139137133132131132

6、129134135得知：No.1No.2No.3No.4No.5No.6L1=145L2=142L3=148L4=145L5=140L6=141S1=131S2=127S3=130S4=128S5=121S6=129求得L=148 S=121第八章 直方圖 119步驟3：求極差(R)數據最大值(L)減最小值(S)=極差(R)例：R=148-121=27步驟4：決定組數 組數過少，雖然可得到相當簡單的表格，卻失去次數分配的本質與意義；組數過多，雖然表格詳盡，但無法達到簡化的目的。通常，應先將異常值剔除再進行分組。 一般可用數學家史特吉斯(Sturges)提出的公式，根據測定次數n來計算組數k，公

7、式為：k=1+3.32 log n例：n=60 則k=1+3.32 log 60=1+3.32(1.78)=6.9即約可分為6組或7組 一般對數據的分組可參照下表：數據數組 數5057511006101012507122501020例：取7組277Rk步驟5：求組距(h)組距=極差÷組數(h= )為便于計算平均數及標準差，組距常取為2，5或10的倍數。例：h= =3.86，組距取4步驟6：求各組上限，下限(由小而大順序)最小測量單位2第一組下限=最小值120 品管七大手法第一組上限=第一組下限+組界第二組下限=第一組上限 最小測定單位整數位的最小測量單位為0.1小數點1位的最小測量單

8、位為0.1小數點2位的最小測量單位為0.01最小數應在最小一組內，最大數應在最大一組內；若有數字小于最小一組下限或大于最大一組上限值時，應自動加一組。例：第一組=121-1/2=120.6124.5第二組=124.5128.5第三組=128.5132.5第四組=132.5136.5第五組=136.5140.5第六組=140.5144.5第七組=144.5148.5步驟7：求組中點該組上限+該組下限2組中點(值)=例：第一組=(120.5+124.5)÷2=122.5第二組=(124.5+128.5)÷2=126.5第三組=(128.5+132.5)÷2=130.5

9、第四組=(132.5+136.5)÷2=134.5第五組=(136.5+140.5)÷2=138.5第六組=(140.5+144.5)÷2=142.5第七組=(144.5+148.5)÷2=146.5第八章 直方圖 121步驟8：作次數分配表將所有數據，按其數值大小記在各組的組界內，并計算其次數。將次數相加，并與測定值的個數相比較；表示的次數總和應與測定值的總數相同。次數分配表組號組 界組中點劃 記次數f2f1234567120.5124.5124.5128.5128.5132.5132.5136.5136.5140.5140.5144.5144.514

10、8.5122.5126.5130.5134.5138.5142.5146.51212181953-4-3-2-10+1+2-4-6-24-180+5+6161848180512合 計60f=-7f =-412f=117 2f （f）2 / n 117 （-41）2 / 60= h * - = 4 * - = 4.871 n 60 2f （f）2 / n 117 （-41）2 / 60S = h * - = 4 * - = 4.91 n 1 60 1步驟9：制作直方圖將次數分配表圖表化，以橫軸表示數值的變化，縱軸表示次數。橫軸與縱軸各取適當的單位長度。再將各組的組界分別標在橫軸上，各組界應為等距

11、分布。以各組內的次數為高，組距為寬；在每一組上畫成矩形，則完成直方圖。在圖的右上角記入相關數據履歷（數據總數n，平均值x，標準差），并劃出規格的上、下限。填入必要事項：產品名稱、工序名稱、時間、制作日期、制作者。122 品管七大手法2015105SL=130S=160n=60=135.8=4.87s = n-1=4.91120.5 124.5 128.5 132.5 136.5 140.5 144.5 148.5說明：1.分組后再計算的，s為近似值2.如直接以原始數據60個，依公式計算，可得真值。n=60 =135.8=4.87 s =4.722.用計算機計算統計量若手邊有函數型計算機，可使用

12、次數分配表中，輸入組中點與次數，迅速求得各統計量n, ,與s。如目前使用最普遍的CASIO fx-3600PV,其計算步驟如下：按 鍵 功 能 說 明 熒幕顯示MODE 3SHIFT KAC122.5×1 DATA136.5×2 DATA130.5×12 DATA134.5×18 DATA138.5×19 DATA142.5×5 DATA146.5×3 DATAKOUT 3SHIFT xSHIFT xnSHIFT xn-1KONT 2KNOT 1進入統計計算系統清除記憶輸入組中點及次數數據 " " &qu

13、ot; " " "輸出統計量n " X " " s " X " X2SD0122.5126.5130.5134.5138.5142.5146.560135.7664.8714.91281461107379第八章 直方圖 1233.常見的直方圖形態正常型說明：中間高，兩邊低，有集中趨勢。結論：左右對稱分布（正態分配），顯示過程運轉正常。缺齒型（凸凹不平型）說明：高低不一，有缺齒情形。不正常的分配，由于測定值或換算方法有偏差，次數分配不妥當所形成。結論：檢驗員對測定值有偏好現象，如對5，10之數字偏好；或是假造數據。測

14、量儀器不精密或組數的寬度不是倍數時，也有此情況。切邊型（斷裂型）說明：有一端被切斷。結論：原因為數據經過全檢，或過程本身經過全檢，會出現的形狀。若剔除某規格以上時，則切邊在靠近右邊形成。124 品管七大手法離島型說明：在右端或左端形成小島。結論：測量有錯誤，工序調節錯誤或使用不同原料所引起。一定有異常原因存在，只要去除，就可滿足過程要求，生產出符合規格的產品。高原型說明:形狀似高原狀。結論:不同平均值的分配混在一起，應分層后再做直方圖比較。雙峰型說明：有兩個高峰出現。結論：有兩種分配相混合，例如兩臺機器或兩家不同供應商，第八章 直方圖 125有差異時，會出現這種形狀，因測量值不同的原因影響，應

15、先分層后再作直方圖。偏態型（偏態分配）說 明：高處偏向一邊，另一邊低，拖長尾巴。可分偏右型、偏左型。偏右型：例如，微量成分的含有率等，不能取到某值以下的值時，所出現的形狀。偏左型：例如，成分含有高純度的含有率等，不能取到某值以上的值時，就會出現的形狀。結 論：尾巴拖長時，應檢查是否在技術上能夠接受，工具磨損或松動時，也有此種現象發生。4.直方圖使用的注意事項異常值應去除后再分組。從樣本測量值推測群體形態，直方圖是最簡單有效的方法。應取得詳細的數據資料（例如：時間、原料、測量者、設備、環境條件等）。126 品管七大手法進行過程管理及分析改善時，可利用層別方法，將更容易找出問題的癥結點，對于質量的

16、改善，有事半功倍的效果。四、直方圖的應用計算過程能力，作為改善制程的依據從過程中所收集的數據，經整理成為次數分配表，再繪成直方圖后，就可由其集中或分散的情形來看出過程的好壞。直方圖的重點在于平均值（X），經整理后的分配如為正態分配，則自拐點中引起一橫軸的平行線，可得到表現差異性的標準差（）。良好的過程，平均數應接近規格中心，標準差則越小越好。計算產品不合格率質量改善循環活動中，常需計算改善活動前、中、后的不合格率，用以比較有無改善效果。其不合格率可直接從次數分配表中求得；也可從直方圖中計算出來。50403020108121520304050383028201062930313233343536

17、373839404142SLSU例如，某產品的重量直方圖如圖圖示，其規格為35±3(g)。由圖與規格界限比較,可知在規格下限以下的有35件,超出規格上限的有64件,合計有99件,占總數307件的32.25%,即不合格率為32.25%.觀察分配形態(參閱第三.3節)由直方圖的形狀，得知過程是否異常。用以制定規格界限在未訂出規格界限之前，可依據所收集編成的次數分配表，計算 次數分配是否為正態分配；如為正態分配時，則可根據計算得到第八章 直方圖 127的平均數與標準差來訂出規格界限。一般而言，平均數減去3個標準差得規格下限，平均數加上3個標準差則得規格上限；或按實際需要而制定。與規格或標準

18、值比較要了解過程能力的好壞，必須與規格或標準值比較；一般而言，我們希望過程能力（直方圖）在規格界限內，且最好過程的平均值與規格的中心相一致。滿足規格(a) 理想型下限上限規格制品范圍過程能力在規格界限內，且平均值與規格中心一致，平均數加減4倍標準差為規格界限。過程稍有變大或變小都不會超過規格值，是一種最理想的直方圖。表示產品良好，能力足夠。(b)一側無余地下限上限規格制品范圍產品偏一邊，則另一邊還有很多余地，若過程再變大（或變小）很可能會有不合格發生，必需設法使產品中心值與規格中心值吻合才好。128 品管七大手法(c)兩側無余地產品的最大值與最小值均在規格內，但都在規格上下限兩端，也表示其中心

19、值與規格中心值吻合，雖沒有不合格品發生，但若過程稍有變動，就會有不合格品產生的危險，要設法提高產品的精度才好。下限上限規格制品范圍(d)余地太多下限上限規格制品范圍實際制程在規格界限內，但兩邊距規格界限太遠。亦即產品質量均勻，變異小。如果此種情形是因增加成本而得到，對公司而言并非好現象，故可考慮縮小規格界限或放松質量變異，以降低成本、減少浪費。不滿足規格(a)平均值偏左（或偏右）如果平均值偏向規格下限并伸展至規格下限左邊，或偏向規格上限并伸展至規格上限的右邊，但產品呈正態分配，即表示平均位置有偏差，應針對固定的設備、機器、原料等方向去追查。第八章 直方圖 129SLSUSLSU(b)離散度過大

20、下限上限規格制品范圍實際產品的最大值與最小值均超過規格值，有不合格品發生（斜線部分），表示標準太大，過程能力不足，應針對變動的人員、方法等方向去追查，要設法使產品的變異縮小；或是規格訂得太嚴，應放寬規格。(c)完全在規格外規格制品范圍表示產品的生產完全沒有依照規格去考慮；或規格訂得不合理,根本無法達到規格。調查是否混入兩個以上不同群體如果直方圖呈現雙峰形態，可能混合了兩種不同群體，亦即過程為兩種不同群體，比如兩個不同班級、不同生產線、不同材料、不同操作人員、不同機臺等。生產出來的產品混合在一起。此時，130 品管七大手法需將其分層，將不同班級、生產線、材料、操作人員、機臺、制造出來的產品分開堆

21、放，以便趁早找出造成不合格的原因。研判設計時的控制界限可否用于過程控制計量值控制圖如XR控制圖，當未知，以X作為中心線，X + A2R作為控制上限，X-A2R作為控制下限，做為設計的控制界限。當每天計算的結果（X，R）點繪在設計控制界限內，若未呈現任何規則，一般即可將此設計控制界限延伸為實際的過程控制界限。但是，如果產品本身有規格界限時，應將所收集的數據，作次數分配表，并繪成直方圖；此直方圖如在規格界限內，才可將此控制界限作為控制過程用。五、過程能力過程精密度CP(Capability of Precision)的求法：(a)雙邊規格T6SSU-SL6S（上限規格)（下限規格）6X（標準偏差）

22、CP= T=SU-SL標準差X第八章 直方圖 131(b)單邊規格（i）上限規格（上限規格)（平均值）3X（標準偏差）SU-X3SCP=（ii）（平均值)（下限規格）3X（標準偏差）X- SL3SCP=No.CP分布與規格的關系過程能力判斷處 置1CP1.67 SL SU太 佳過程能力太好，可酌情縮小規格，或考慮簡化管理與降低成本。ss21.67>CP1.33SL SU合 格理想狀態，繼續維持。s31.33>CP1.00 SL SU警 告使過程保持于控制狀態，否則產品隨時有發生不合格品的危險，需注意。s41.00>CP0.67 SL SU不 足產品有不合格品產生，需作全數檢驗

23、，過程有妥善管理及改善的必要。s50.67>CP SL SU非常不足應采取緊急措施，改善質量并追究原因，必要時規格再作檢驗。132 品管七大手法2.制程精密度(CP值)與不合格率的關系-+ 制程精密度（CP值）與不合格率的關系CP規格公差（T）不合格率（規格以外比率）單邊規格雙邊規格0.332(±1)15.87%31.74%-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +668.26%95.46%99.73%99.9937%99.999943%99.9999998%0.574(±2)2.27%4.54%1.006(±3)0.14%0.

24、27%1.338(±4)31.5 PPM63 PPM1.669.6(±4.8)0.81 PPM1.62 PPM1.7610.4(±5.3)0.06 PPM0.12 PPM注：1.Ca值等于0時CP=CPk2.PPMParts Per Million3. PPBParts Per Billion2.0012.0(±6)1.0 PPB2.0 PPB六、實例演練案例1：某公司分別在兩廠（A，B）生產同樣的產品；最近，兩地均發現有不符規格值(200275g)的異常產品產生，今公司派員分別到兩廠去實地了解生產過程，并分別測定60批產品，數據如附表；請分析并回答下列

25、問題：作全部數據的直方圖。針對兩廠分別做層別直方圖。計算全部數據，A廠、B廠的平均(X)，標準差()及過程精密度(CP)。直方圖上填入必要事項。敘述由直方圖所得的結果。第八章 直方圖 133A 廠B 廠2152382452502212592602552462382112232382312492512472031982432572602332102172602632732192412102052432372342292132312092432002562712602512372422222212012452742532382272042372332402452372432502212312482

26、51211201260261242231250261273189221241250261270229231239241201196184221237250247260263264241239227249255261270231223219215241223247258229217210201257263257253205B廠最大值273最小值184A廠最大值274最小值198解：(1)全部數據的最大值：274，最小值：184組數(k) = 1+3.32log n = 1+3.32log120 = 1+3.32(2.08) = 7.9 取8組組距 = (274-184)/8 = 11.2512最

27、小一組的下限 = 1841/2 = 183.5作次數分配表No.組 界組中點全 體A 廠B 廠劃 記次數劃 記次數劃 記次數12345678183.5195.5195.5207.5207.5219.5219.5231.5231.5243.5243.5255.5255.5267.5267.5279.5189.5201.5213.5225.5237.5249.5261.5273.521113202622206688161183255121011123合 計1206060134 品管七大手法302010189.5201.5213.5237.5249.5261.5273.5225.5SL=200SU=

28、275Xn=120x=236.8=20.74s=20.83直方圖（全數）(2)針對A、B廠的層別直方圖249.52015105SL=200SU=275Xn=60x=236.3=19.80s=19.97201.5226.5213.5273.5237.5261.5237.52015105SL=200SU=275Xn=60x=237.3=21.63s=21.81189.5213.5201.5261.5225.5249.5273.5 A廠直方圖 B廠直方圖(3)全數，A廠、B廠的平均值(X)，標準差()及過程精密度(CP)(a)全數數據中心值X次數ff2f12345678189.5201.5213.5

29、225.5237.5249.5261.5273.521113202622206-4-3-2-10123-8-33-26-200224018329952200228054f=120f=-72f=359第八章 直方圖 135平均數 樣本標準差工序能力指數(b)A廠數據中心值X次數f12345678189.5201.5213.5225.5237.5249.5261.5273.50688161183-4-3-2-101230-18-16-80111690543280113227 平均值 樣本標準差 工序能力指數科建顧問136 品管七大手法(c)B廠數據中心值X次數f12345678189.5201.5

30、213.5225.5237.5249.5261.5273.5255121011123-3-2-101234-6-10-5010223612182050104410848平均數樣本標準差 工序能力指數 (4)將n， ，s，規格上下界限，平均數，記入直方圖。第八章 直方圖 137 (5)項 目全 體A廠B廠 S Cp =236.8 S =20.76 Cp=0.60 =236.3 =19.97 =0.626 =237.3 =21.81 =0.573形 狀1. 稍為偏左2. 分散程度過大1.稍為偏左2.分散程度過大1.稍為偏左2.分散程度過大與規格比較分布中心與規格中心相較,稍為偏左,且出現不良品,超

31、出規格下限。(同左)(同左)綜合評斷1. A廠、B廠均發生超出規格下限的情形，有必要加以改善，使平均值右移至規格中心。2. 兩廠之過程變差甚大，均有不良品發生，需做全數檢驗，過程必須妥善管理與改善。138 品管七大手法案例2: 某國校五年乙班學生之身高、體重，做抽樣調查。 期望目標:身高125150 體重: 2540kg,其結果如下:男 生女 生身高(cm)體重(kg)身高(cm)體重(kg)123 131 135118 125 132127 144 141124 124 131132 127 140138 129 149139 130 121137 151 123131 142 125123

32、 128 12927 28 2723 30 2828 31 3829 30 2635 29 4034 29 3940 38 3535 51 3633 31 4640 46 33131 129 117130 128 125119 145 140122 136 148125 131 141132 134 120135 128 118138 119 127130 120 130124 123 13525 31 2128 28 2420 32 3825 34 4824 30 3530 25 2532 47 2246 18 2531 21 2929 23 32(1) 計算直方圖表達其分布。 (包含全數、

33、男、女生)(2) 計算平均身高、體重。(包含全數、男、女生)(3) 計算身高、體重之標準差。(包含全數、男、女生)(4) 計算評論其結果。解: 身高全數數據之最大值: 151cm,最小值為: 117cm 組數(k)=1+3.32log n-1+3.32log60=1+3.32(1.78) =6.91 取7組 組距=(151-117)/7=4.86à5cm 最小一組的下限=117-0.5=116.5cm 體重全部數據最大值: 48kg, 最小值: 20kg 組數(k)=1+3.32 log 60=6.91 以7組 組距=(51-18)/7=4.71à5kg 最小一組的下限=18-0.5=17.5第八章 直方圖 139 (1)身高的次數分配表組 界組中點全 班男 生女 生劃記次數劃記次數劃記次數1234567116.5121.5121.5126.5126.5131.5131.5136.5136.5141.5141.5146.5146.5151.5