1、學習必備歡迎下載一元二次方程單元知識復習與總結一、引例瑞士的列昂納德.歐拉(17071783),既是一位偉大的數學家，也是一位教子有方的父親，他曾親自編過許多數學趣題用以啟發孩子們思考。如下題：“父親臨終時立下遺囑，要按下列方式分配遺產：老11 1大分得 100 克朗和剩下的 一；老二分得 200 克朗和剩下的 一；老三分得 300 克朗和剩下的 一；101010以此類推分給其他的孩子，最后發現，遺產全部分完后所有孩子分得的遺產相等；遺產總數、孩子人數和每個孩子分得的遺產各是多少？”這道題需要列方程求解。12解析 設孩子數為 x 人，則最后一個孩子分得遺產為100 x 克朗，老大分得遺產100

2、+ (100 x2-100)1012克朗，得方程 100+(100 x -100)=100 x.10同學們，你會解此方程嗎？整理方程得X2-10X+9=0.(x-9)(x-1)=0,x 1=9,x2=1(舍去).遺產總數是 8100 克朗；有 9個孩子，每個孩子分得的遺產是900 克朗。點評：二、一元二次方程的解法運用因式分解法時，首先應將右邊各項移到方程的左邊，使方程右邊為 0;然后再將方程左邊的式子分解因式，使原方程化為兩個一元一次方程，常借助于提公因式法、公式法、十字相乘法等來分解因式。例 1 :用適當的方法解下列一元二次方程：(1)(2x-1)2-9=0;(2)x2+x-1=0;(3)

3、x2-4x=1;(4)3x2-16x+5=0;(3X+2)2 2=4(x-3);(6)(y-1)2=2y(1-y); (7)3a2x2- . 3 abx-2b2=0(a 工 0) (8)x2+2mx=( n+m)( n-m)解析 (1)兩邊開平方，得2x-仁 3 或 2x-1=- 3, x1=2,x2=-1;-1、5-1-5(2)已知：a=1,b=1,c=- 1. x1=,x2=522整理原方程，得 x2-4x-仁 0,2 (x -2) =5. x1=2+ . 5 , x2=2-丿5原方程可化為(3x-1)(x-5)=0, x1=丄,x23尸 5;學習必備歡迎下載兩邊開平方，得 3x+2=2(

4、x-3)或 3x+2=-2(x- 3), x1=-8, x2=_45.(6)原方程可化為1(y-1)(3y- 1)=0, y1=1, y2=- .3(7)原方程可化為 (3ax+b)( J3 ax- b)=0, x1=3D,x2=2 3b3a3a(8)原方程可化為 (x+ n+m)(x+m_ n)=0, x1=_n_m, x2=n-m.點評此題主要考慮怎樣選擇一元二次方程的解法，使運算達到最簡便。(1)由原方程得(2x-1)2=9,顯然適合用直接開平方法，當然也可用因式分解法；(2)由 4=5 不是完全平方數，不適合用因式分解法，因一次項系數不是偶數，也不適用配方法，本題適用公式法；(3)因二

5、次項系數為 1, 一次項系數為偶數故本題適用配方法；(4)本題適用因式分解法(記住符號的選擇);(5)本題可用因式分解法，也可用直接開平方法；(6)把(y-1)看作一個整體，用因式分解法比較合適；(7)注意到 3=( , 3 )2,即可用因式分解法；(8)因二次項系數為 1, 一次項系數為 2的倍數，故適用配方法；因字母系數較簡單，也可用因式分解法。例 2 :解方程X4+(X-4)4=626.解析 設X_X_4=y 即 y=x-2,則原方程可化為(y+2)4+(y-2)4=626,24 2 2 2 2化簡，得 y+24y- 297=0,則(y -9)(y +33)=0, / y -9=0.則

6、yi=3,y2=- 3,.xi=5,x2=-1.點評：此方程是一個高次方程，若展開(x-4)4 不但解決不了問題，還使方程變得更無規律可循了，故此處可用“平均值換元法”.432例 3:解方程 2x+3x-16x +3x+2=0.2232解析 觀察原方程可知XM0,所以方程兩邊可同除以x2,得 2x2+3x-16+ - 呂=0,x x211 2(x +2)+3(X+)-16=0 x2x121配方,得 2(x+ )2+3(x+ )-20=0 xx學習必備歡迎下載12設 x+ =y,貝 y 2y +3y-20=0,x-(2y -5)(y+4)=0.,y2=_4.21解得 xi=2,x2=;2由 x+

7、-=-4,x解得 X3二 2+, 3,x4=-2-3.原方程的解為 xi=2,x2=1, x3=- 2+3,x4=-2-13.2點評：1若對于一個方程(未知數為 x),以-代替 x 方程不變,則稱為倒數方程,本題即是倒數方程,其系數特點x是：與首末兩項等距離的兩項系數相等且XM 0,由此，可在方程兩邊同除以x2,然后配方成關于(x+1)的一x元二次方程，再利用換元法來解.例 4 :九年義務教育三年制初級中學教科書代數第三冊第52 頁的例 2 是:解方程X4-6X2+5=0.這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的通常解法是：設 x2=y,那么 x4=y2,于是原方程可變為 y2-6y+5=

8、0.解這個方程,得 yi=1,y2=5.2當 y=1 時,x =1,x= 1;當 y=5 時,x2=5,X= . 5 .故原方程有四個根x1=1,x2=-1,x3=5,x4=-5。(1)填空：在由原方程得到方程的過程中，利用_法達到降次的目的，體現了 _的數學思想；2 2 2(2)解方程(x -x) -4(x -x)-12=0.解析(1)換元,轉化；(2) 設 x2-x=y,原方程變為2y -4y- 12=0, .y1=6,y2=-2.2當 y=6 時,x -x-6=0,解得 X1=3,x2=-2;當 y=-2 時,x2-x+2=0, / 0,.此方程無實根.原方程的根為 x1=3,x2=-2

9、.學習必備歡迎下載點評：高次方程一般可通過換元的方法轉化為低次方程，較復雜的一元二次方程可通過整體代換的方法轉化為較簡單的一元二次方程(如本例 2),這是一種重要的數學思想.例 5 :當 m 為何值時,關于 x 的方程2無實根？x x_xX _1解析原方程可化為-=1 丄，x x(x_1)x -1去分母,整理,得 x-x+2- m=0,(1)把增根 x=0 代入,得 m=2,把增根 x=1 代入,得 m=2;(2)令厶=(-1)2=4(2-m)0,得 m/ ,4綜上所述,當 mI或 m=2 時,原方程無實根.4點評：分式方程轉變成一元二次方程時，根的范圍擴大了，所以解分式方程時必須驗根若使分式

10、方程無解，則有兩種情況：一元二次方程的解使分母為0；一元二次方程無解，即厶0.方程總有 2 個不同的實數根，按題設原方程只有 1 個解，因此必有一根是原方程的增根，從原方程知道，增根只可能是使 x2-x=0 即 x=0 或 x=1.11顯然,0 不是的根，故 x=1 是方程的根，代入得 k=-,由根與系數的關系得原方程的根為-=-2,2k當 k=0 時，方程的解為 x=2;1當 k=時,方程的解為 x=-2.2點評：本題首先想到化為整式方程，這個整式方程是含參系數的二次方程形式，應討論，將分式方程化為整式方程時，常會出現增根，本題考點就在于此學習必備歡迎下載例 7:設關于 x 的二次方程(k2

11、-6k+8)x2+(2k2- 6k-4)x+k2=4 的兩根都是整數，求滿足條件的所有實數k 的值.2 2解析原方程可化為(k-4)(k-2)x+(2k -6k-4)x+(k-2)(k+2)=0,(k-4)x+(k-2)(k-2)x+(k+2)=0./ (k -4)(k- 2)工 0學習必備歡迎下載k一2彳2.xi=-=-1-,k -4k -4k+24k 2k22 2k-4=,k-2= 一x11x21,(咅=1,x2= -1)消去 k,得 xi X2+3xi+2=0. x i(x2+3)=-2.由于 xi,x2都是整數.fXi二2fXi二11;1;Xi=21:x2亠3 = 1 x2亠3 - -

12、2| x2亠3 - -1口x1- -2x|x2- -2 xi1f Xi二2:22 - -5Jx_-410 k=6, 3,.3經檢驗，k=6,3.10滿足題意.3點評本題方程整理成關于 x 的一元二次方程的一般形式后 數 k 用方程兩根表示并最終消去參數k是解題的關鍵.練習卷21.解方程 169x-39x-2=0.,二次項系數不為 0 是隱含的條件，應考慮將參學習必備歡迎下載2.解關于 x 的方程 3x2-2(a+2b)x+b2-a2=0.3.解方程(x+2)4+(x-4)4=272.4324.解方程 2x +3x -x +3x+2=0.6.解方程13x x2x+18.當1-1-一1-0時,求b

13、-的值.a b abab2 27.當方程(m+1)x -(m+1)x-3=0的一個根為 x=-1,則 m 的值為多少？9.已知 a 是方程 x2+x-=0 的根，求三-4a-a的根.八X+1丄42.學習必備歡迎下載10.已知方程(x-19)(x-97)=p有實根 ri和2,試求方程(x-ri)(x-r2)=-p 的最小實根222m+ch+d11.已知兩個二次方程 x+ax+b=O,x +cx+d=O 有一個公共根 1,求證：二次方程 x +x=0 也有一個2 2根為 1.12.x表示不超過實數 x 的最大整數，令x=x-x.(1)找出一個實數 x,使x+1=1;lxJ(2) 證明：滿足上述等式

14、的 x 都不是有理數X1X2X3山耳98=1g X2X3II)-耳98=1-x11998113.已知方程組Lx1x2-x3xdl|HIIH*2(1%97一耳98二1求x1990.A 卷答案：彳3+7173_折71.X1=,x2=26 26b -a ,1=,x2=a+b.2.x學習必備歡迎下載學習必備歡迎下載提示：原方程可變形為 3x2-4bx+b2=2ax+a2,2 2(2x-b)=(x+a)2x- b= (x+a), 即有 xi=b a,x2=a+b.33. m=524.J5提示:去分母整理得 a2+ab-b2=0,5.6.19Tr1、r2是一元二次方程(x-19)(x-97)=p的兩個根，

15、.(x-19)(x-97)-p=(x-r1)(x-r2)=0,則(x-r J(x-r2)+p=(x-19)(x-97)可見,19、97 為方程(x-r1)(x-r2)+p=0 的兩根,19 為所求.B 卷答案:1. 略2.0,2提示：令(X2)(x-4)=x-仁 y,原方程變為(y+3)4+(y-3)4=272,即得 y= 1.2故 X1=0,x2=2.2 2113.方程兩邊除以 x 得 2(x +飛)+3(右+x)-1=0 xx12令 x+ =y,則有 2y +3y- 5=0, .yx、1求得 X1=-2,x2=2 15.5 由已知 a +a=-4a3-13a -a2 2(a -1)(a a

16、 1) a a 1a(a -1)(a 1)a(a 1)1141 =551=,y2=1學習必備歡迎下載1 14.(1)設 x=m+a,m 為整數,0 a1,=n+b,n 為整數,0 b3 時,x= (k _、k2一4)是滿足題設條件的全體實數，如取 k=3,則 x=2丄(3_ .5).2下面證明形如的數不是有理數，這只需證 k2-4 不是完全平方數，設 k2-4=s2,其中 s 為正整數，則f k亠s =2(k+s)(k-s)=4, 而 k+s 與 k-s 的奇偶性相同，又它們的積為偶數，故有或k s_2k - s = 2解得 k=2,s=0,與|k | 3 矛盾.故 k2-4 不是完全平方數.5.設 Xi=yi,XiX2=y2,x1X2Xi997=%997,則方程組化為X1X2H IX1998 1% 丄1y1丄=1y2y2miny19971y19971+5求得沖2=