1、探索型問題一（開放性問題）【考點(diǎn)透視】習(xí)慣上，人們把命題者對解題者的要求，將數(shù)學(xué)問題分為兩類：一類是問題的條件和結(jié)論都有確定要求的題型；另一類是條件和結(jié)論中至少有一個沒有確定要求的題型，并稱前者為封閉題型，后者為開放題型.開放性問題的基本形式有：條件開放題（問題的條件不完備）；結(jié)論開放題（問題的結(jié)論不確定或不唯一），這些問題的解決，需解題者經(jīng)過探索確定結(jié)論或補(bǔ)全條件，將開放性問題轉(zhuǎn)化為封閉性問題，然后選擇合適的解題途徑完成最后的解答. 現(xiàn)在還出現(xiàn)一些其他形式的開放題，如解題策略的開放題和題干結(jié)構(gòu)的開放題. 前者主要側(cè)重于解題方法或策略的選擇和設(shè)計(jì)，后者主要是所給題目不完整，需要解題者把題目補(bǔ)充

2、完整，然后完成解答.開放性問題對于訓(xùn)練和考查學(xué)生的發(fā)散思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力是十分有益的.教育部在2000年初中畢業(yè)、升學(xué)考試改革的指導(dǎo)意見中特別指出：數(shù)學(xué)考試“應(yīng)設(shè)計(jì)一定結(jié)合情境的問題和開放性問題”.由于各地認(rèn)真貫徹執(zhí)行這一指導(dǎo)意見，所以在近年的各地中考中，開放性試題越來越受到命題者的青睞，也越來越受到廣大初中教師和學(xué)生的重視.【典型例題】一、條件開放題BACD圖7.1 解條件開放題，一種是直接補(bǔ)齊條件，使題目結(jié)論成立；另一種是需要我們作出探索去補(bǔ)齊條件使題目結(jié)論成立. 這兩種情況所需補(bǔ)充的條件往往不惟一. 例1 （1）如圖7.1，ABC中，AB=AC，D為AC邊上的一點(diǎn)，要

3、使ABCBCD，還需要添加一個條件，這個條件可以是_ _（只需填寫一個你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件即可）.（2001年淄博市中考題）ABCDEF圖7.2（2）如圖7.2，在ABC和FED中，AD=FC，AB=FE，當(dāng)添加條件：_時，就可得到ABCFED（只需填寫一個你認(rèn)為正確的條件）. （2003年無錫市中考題）解：（1）BD=BC.（也可以是：ABC=BDC；或A=DBC；或BCCD=ACBC；或BC2=ACCD中的某一個）（2）A=F. （或BC=ED等）說明：開放題的一個顯著特點(diǎn)是：答案的不唯一性. 第（1）小題中，我們只需給出能使結(jié)論成立的一個答案即可.例2 一個二元一次方程和一個二元二次方程組成

4、的二元二次方程組的解是和，試寫出符合要求的方程組_.（只要填寫一個即可）（2000年安徽省中考題）分析：我們只要分別構(gòu)造出一個既含x，又含y的一個二元一次方程和一個二元二次方程. 構(gòu)造方程實(shí)際上就是尋找x與y之間的關(guān)系.解：說明：方程與函數(shù)有著緊密的聯(lián)系，如果我們把方程組的解看作對應(yīng)于平面直角坐標(biāo)系中的兩個點(diǎn)A（2，4），B（-2，-4），則我們可以寫出過這兩個點(diǎn)的一個一次函數(shù)的解析式（也是一個二元一次方程）和一個二次函數(shù)的解析式（也是一個二元二次方程，這個方程不唯一）.本題在解法上可以用代數(shù)的方法來解，也可用幾何的方法來解（形數(shù)結(jié)合一種重要的數(shù)學(xué)思想方法）；可以用待定系數(shù)法，運(yùn)用演繹推理的方

5、法來解，也可用直覺思維的方法來解，所以本題既是一個條件開放題，也是一個策略開放題.例3 已知：如圖7.3.1，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，A是的中點(diǎn)，過A點(diǎn)的切線與CB的延長線交于點(diǎn)E.（1）求證：ABDA=CDBE；（2）若點(diǎn)E在CB延長線上運(yùn)動，點(diǎn)A在上運(yùn)動，使切線EA變?yōu)楦罹€EFA，其它條件不變，問具備什么條件使原結(jié)論成立？（要求畫出示意圖，注明條件，不要求證明）（2000年北京海淀區(qū)中考題）BACDOE圖7.3.1ABCEDOF圖7.3.2分析：本題的（2）是一個條件開放題.由于本題的結(jié)論與（1）相同，所以這一條件的獲得，我們可以從（1）的證明過程中受到啟示.（1）證明：連結(jié)AC.

6、A是的中點(diǎn),ACB=ACD.EA切O于A，EAB=ACB. 又ABE=D，EABACD，ABCD=EBAD，ABAD=CDBE.（2）解：如圖7.3.2中，若有EABACD，則原結(jié)論成立，故我們只需探求使EABACD的條件.由于ABE=D，所以只要BAE=DAC即可，這只要即可.所以本題只要，原結(jié)論就成立.說明：探求條件的過程，是一個由果索因的過程，這是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法分析法.HBAEPOCDF圖7.4例4 如圖7.4，AB、AC分別是O的直徑和弦，D為劣弧上一點(diǎn)，DEAB于點(diǎn)H，交O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，P為ED的延長線上一點(diǎn).（1）當(dāng)PCF滿足什么條件時，PC與O相切？為什么？（

7、2）點(diǎn)D 在劣弧的什么位置時，才能使AD2=DE·DF？為什么？(2002年濟(jì)南市中考題)分析：（1）連OC.要使PC與O相切，則只需PCO=900即可.由OCA=OAC，PFC=AFH，即可尋找出PCF所要滿足的條件（2）要使AD2=DE·DF，即，也就是要使DAFDEA，這樣問題就較容易解決了.解：（1）當(dāng)PC=PF（或PCF=PFC，或PCF是等邊三角形）時，PC與O相切.連OC. PC=PF，PCF=PFC，PCO=PCF+OCA=PFC+OAC=AFH+AHF=900,PC與O相切.（2）當(dāng)點(diǎn)D是的中點(diǎn)時，AD2=DE·DF.連結(jié)AE.，DAF=DEA.

8、又ADF=EDA，DAFDEA，即AD2=DE·DF.說明：本題是探索性開放題,在解決這類問題時,我們常從要獲得的結(jié)論出發(fā)來探求該結(jié)論成立的條件.如第(1)小題中,若要PC與O相切,則我們需要怎樣的條件.第(2)小題也是如此.二、結(jié)論開放題結(jié)論開放題通常是結(jié)論不確定或不惟一，解題時，需作出探索來確定結(jié)論是否成立或會有那些結(jié)論. 例5 如圖7.5.1，以等腰三角形ABC的一腰AB為直徑的O交BC于D，過D作DEAC于E，可得結(jié)論DE是O的切線. ABOECD圖7.5.1問：（1）若點(diǎn)O在AB上向點(diǎn)B移動，以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓仍交BC于D，DEAC的條件不變，那么上述結(jié)論是否還成

9、立？請說明理由. （2）如果AB=AC=5cm, sinA=,那么圓心O在AB的什么位置時，O與AC相切？ （2001年黑龍江省中考題）分析：（1）連OD. OB=OD，OBD=ODB=C， ODAC，從而可得ODDE，結(jié)論仍然成立. （2）若O與AC相切，設(shè)切點(diǎn)為F，連OF，則由RtAOF中可求得OF=，即OB=. 解：（1）結(jié)論仍然成立. 如圖7.5.2，連OD，則OD=OB，OBD=ODB. 又AB=AC，B=C，ODB=C，ODAC. DEAC，ODDE，DE是O的切線. ABCOF圖7.5.3AOBECD圖7.5.2（2）如圖7.5.3，若AC與O切于點(diǎn)F，連OF，則OFAC，即AO

10、F是直角三角形，sinA=，OB=，即當(dāng)OB=時，O與AC相切. 說明：本例的兩小題都屬于結(jié)論不確定性的開放性問題. 第（1）小題是直接從題設(shè)條件出發(fā)探求結(jié)論是否成立；第（2）小題是從題設(shè)的結(jié)論出發(fā)來探求結(jié)論成立的條件，這也是解決這類問題的常用方法. 例6 如圖7.6.1，O的直徑AB，過半徑OA的中點(diǎn)G作弦CEAB，在上取一點(diǎn)D，分別作直線CD、ED，交直線AB于點(diǎn)F、M. DAFCEDMOGBAFCEMOGB圖7.6.1圖7.6.2（1）求COA和FDM的度數(shù)；（2）求證：FDMCOM；（3）如圖7.6.2，若將垂足G改取為半徑OB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D改取在上，仍作直線CD、ED，分別交直線A

11、B于點(diǎn)F、M. 試判斷：此時是否仍有FDMCOM？證明你的結(jié)論. （2003年蘇州市中考題）（1）解：AB是O的直徑，CEAB，CG=EG. 在RtCOG中，OG=OC，OCG=，COA=. 又CDE的度數(shù)=的度數(shù)=的度數(shù)=COA=，F(xiàn)DM=-COA=. （2）證明：COM=-COA=，COM=FDM. 在RtCGM和RtEGM中，GM=GM，CG=EG，RtCGMRtEGM，GMC=GME. 又DMF=GME，OMC=DMF，F(xiàn)DMCOM. （3）解：結(jié)論仍然成立. FDM=-CDE，CDE的度數(shù)=的度數(shù)=的度數(shù)=COA，F(xiàn)DM=-COA=COM. AB為直徑，CEAB，在RtCGM和RtE

12、GM中，GM=GM，CG=EG，RtCGMRtEGM，GMC=GME，F(xiàn)DMCOM. 說明：本題的第（3）小題是在第（2）小題改變條件的情況下，探求結(jié)論是否還成立. 在探求時應(yīng)尋著（2）的解題思路來進(jìn)行. 三、解題策略開放題 解題策略開放題，現(xiàn)在更多的是以要求解題者設(shè)計(jì)解題方案來設(shè)計(jì)題目. 例7 一副三角板由一個等腰直角三角形和一個含300的直角三角形組成，利用這副三角板構(gòu)成一個含150角的方法很多，請你畫出其中兩種不同構(gòu)成的示意圖，并在圖上作出必要的標(biāo)注，不寫作法.（2000年荊州市中考題）ABCDEFG圖7.7.1圖7.7.1分析：本題可利用這副三角板中的角做“加減運(yùn)算”：600-450，

13、或450-300，或600+450-900等來得到150的角.解：如圖所示. 圖7.7.1中就包含有兩中構(gòu)造方法，ABD和ACD都等于；圖7.7.2中，EFG=. 請同學(xué)們試著拼出其它的圖形.說明：這類拼圖組合，給出了一定的條件，但解決問題的辦法需要我們自己來尋找. 通常解決這類問題的方法不惟一. 用現(xiàn)有的工具去解決問題，這在實(shí)際生產(chǎn)和生活中常會遇到.例8 如圖，把邊長為2cm的正方形剪成四個全等的直角三角形.請用這四個直角三角形拼成符合下列要求的圖形（全部用上，互不重疊且不留空隙），并把你的拼法仿照圖1按實(shí)際大小畫在方格紙內(nèi)（方格為1cm×1cm）.圖7.8（1）不是正方形的菱形（

14、一個）；（2）不是正方形的矩形（一個）；（3）梯形（一個）；（4）不是矩形和菱形的平行四邊形（一個）；（5）不是梯形和平行四邊形的凸四邊形（一個）；（6）與以上畫出的圖形不全等的其他凸四邊形（畫出的圖互不全等，能畫出幾個畫幾個，至少畫三個）. （2001年徐州市中考題）解：（1） （2） （3）（4）（5） （6） 說明：本例是一道設(shè)計(jì)圖形的開放性試題，這類題近幾年在全國各地的中考試題中經(jīng)常出現(xiàn).設(shè)計(jì)型開放題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力，有利于充分發(fā)揮學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力，這對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神具有著積極的作用，例9 有一種“二十四點(diǎn)”游戲，其規(guī)則是這樣的：任取四個1至13之間的

15、自然數(shù)，將這四個數(shù)（每個數(shù)用且只用一次）進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算，使其結(jié)果等于24.例如對1，2，3，4，可以運(yùn)算得（123）×424（注意上述運(yùn)算與4×（123）應(yīng)視作相同方法的運(yùn)算）.現(xiàn)有四個有理數(shù)3，4，6，10，用上述規(guī)則寫出三種不同方法的算式，使其結(jié)果等于24，運(yùn)算如下：（1）_；（2）_；（3）_.另有四個有理數(shù)3，5，7，13，可通過運(yùn)算式（4）_，使其結(jié)果等于24. （2001年杭州市中考題）分析：“二十四點(diǎn)”游戲，小學(xué)生也可參加. 本題將數(shù)的范圍擴(kuò)大到整數(shù)范圍，變成新的游戲，其實(shí)就是有理數(shù)的運(yùn)算.本題具有開放性，答案是不唯一的.解：（1）3×4（6）

16、1024；（2）4（6）÷3×1024；（3）（104）3×（6）24. （4）（5）×（13）7÷324.說明：本題將有理數(shù)的運(yùn)算與學(xué)生熟知的游戲結(jié)合起來，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具趣味性.四、題目結(jié)構(gòu)開放題以看作是一個條件開放題.例10 某一學(xué)生在做作業(yè)時，不慎將墨水瓶打翻，使一道作業(yè)題只看到如下字樣：“甲、乙兩地相距40千米，摩托車的速度為45千米/時，運(yùn)貨汽車的速度為35千米/時， ？”（涂黑部分表示被墨水覆蓋的若干文字）請將這道作業(yè)題補(bǔ)充完整，并列方程解答.（2001年吉林省中考題）分析：這里“距離”和“速度”都有了，故我們可以考慮從時間上去把本

17、題補(bǔ)完整.解一：摩托車和運(yùn)貨汽車同時從甲地駛向乙地，則摩托車比運(yùn)貨汽車早到幾分鐘？設(shè)摩托車比運(yùn)貨汽車早到x分鐘，則，x=.答：摩托車比運(yùn)貨汽車早到分鐘.解二：摩托車和運(yùn)貨汽車分別從甲地和乙地同時相向而行，則幾分鐘后它們相遇？設(shè)摩托車與運(yùn)貨汽車出發(fā)x分鐘后相遇，則（45+35）×= 40，x=30.答：摩托車與運(yùn)貨汽車出發(fā)30分鐘后相遇.解三：運(yùn)貨汽車從甲地出發(fā)10分鐘后，摩托車從甲地出發(fā)去追趕運(yùn)貨汽車，問在到達(dá)乙地前，摩托車能否追上運(yùn)貨汽車？運(yùn)貨汽車走完全程需小時，摩托車走完全程需小時，摩托車比運(yùn)貨汽車少用小時.，摩托車在運(yùn)貨汽車到達(dá)乙地前能追上.解四：摩托車和運(yùn)貨汽車分別從甲、乙兩

18、地沿由甲地往乙地的方向同向而行，問經(jīng)過幾小時摩托車可追上運(yùn)貨汽車？設(shè)經(jīng)過x小時摩托車可追上運(yùn)貨汽車，則45x=40+35x，解得x=4. 答：經(jīng)過4小時摩托車可追上運(yùn)貨汽車. 說明：由于行程問題是大家比較熟悉的應(yīng)用問題，所以我們還可以編出很多這樣的問題來，同學(xué)們不妨試試.習(xí)題七一、填空題1（1）寫出和為6的兩個無理數(shù)_.（2003年紹興市中考題）（2）若關(guān)于x的方程x2+kx-12=0的兩根均是整數(shù)，則k的值可以是_.（只要求寫出兩個） （2001年浙江省中考題）2如圖，在ABC中，以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D，連結(jié)AD，請你添加一個條件，使ABDACD，并說明全等的理由. 你添加的條件是_.

19、（2002年金華市中考題）二、解答題圖1 圖2 圖3 圖4第3題3.做一做:用四塊如圖1的瓷磚聘成一個正方形,使拼成的圖案成軸對稱圖形.請你在圖2、圖3圖4中各畫出一種拼法（要求三種拼法各不相同，所畫圖案中的陰影部分用斜線表示）. （2003年無錫市中考題）4先根據(jù)要求編寫應(yīng)用題，再解答你所編寫的應(yīng)用題. 編寫要求：（1）編寫一道行程問題的應(yīng)用題，使得根據(jù)題意列出的方程為；（2）所編應(yīng)用題完整，題意清楚，聯(lián)系生活實(shí)際且解符合實(shí)際. （2001年青島市中考題）5同學(xué)們知道：只有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.你如何處理和安排這三個條件，使這兩個三角形全等.請你仿照方案（1），寫出方案（

20、2）、（3）、（4）.解：設(shè)有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形.ABPTOO1第6題方案（1）：若這角的對邊恰好是這兩邊中的大邊，則這兩個三角形全等.（2000年廣東省中考題）6如圖，O與O1完外切于點(diǎn)T，PT為其內(nèi)公切線，AB為其外公切線，A、B為切點(diǎn)，AB與TP相交于點(diǎn)P，根據(jù)圖中所給出的已知條件及線段，請寫出一個正確結(jié)論，并加以證明.（2001年杭州市中考題）ABDCE第7題7如圖，在ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，給出5個論斷：CDAB；BEAC；AE=CE；ABE=；CD=BE. （1）如果論斷都成立，那么論斷一定成立嗎？答：_;（2）從論斷中選取3個作為條件，將論斷作為結(jié)論，

21、BACDEF第8題組成一個真命題，那么你選的3個論斷是_（只需填論斷的序號）；（3）用（2）中你選的3個論斷作為條件，論斷作為結(jié)論，組成一道證明題，畫出圖形，寫出已知、求證，并加以證明. （2003年徐州市中考題）8如圖，AB=AE，ABC=AED，BC=ED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn). （1）求證：AFCD；（2）在你連接BE后，還能得出什么新的結(jié)論？請寫出三個（不要求證明）. （2002年江西省中考題）9已知在直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，以AB為一邊的等腰ABC的底角為300，請?jiān)谧鴺?biāo)系中畫出ABC，并求出點(diǎn)C的坐標(biāo). （2000年北京市崇文區(qū)中考題）ABCMN第10題10如圖，已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)C，A=. （1）求ACM的度數(shù)；（2）在MN上是否存在點(diǎn)D，使ABCD=ACBC？為什么？（2001年廣州市中考題）參考答案：1. （1）和6-（有無數(shù)多個）（2） 1,-1(或4，-4；或11，-11