1、九章算術與幾何原本思想方法特點和意義的比較一、思想方法特點九章算術內容極為豐富，是從春秋至秦漢千年時間內社會生產發展過程中各方面積累的數學知識的總匯集。全書246題，包含有方田、黍米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股等九章，基本上包含當時所有數學分支的內容，涉及了相當多的社會問題，舉凡算術、代數、幾何以及某些數論知識全包括在內，近乎是那個時代的數學百科全書。其中算術和代數水平最高，幾何方面的水平也不低，特別是有些復雜的體積計算法則是幾何原本中所沒有的，如對一些楔形體體積的計算。但在數論方面水平不如幾何原本高，不過內容也有涉及幾何原本主要講幾何問題，但其中七、八、九三卷講數論問題，如求

2、兩數的最大公約數的方法、素數的個數為無限的證法等。此外也講到了比例理論、正方形的對角線和一邊不可公度等。值得一提的是，在九章算術中，幾何方面也頗有建樹，但其解決方法與幾何原本的截然不同。前者是幾何代數化，即用計算的方式解決幾何方面的問題，這或許就是代數法解幾何問題的先例，筆者以為這一點對笛卡爾創建解析幾何或許產生了一定的影響，或是不同文化背景下的殊途同歸；后者是代數幾何化，其中的數論題都是通過嚴格的邏輯得以解決，幾何問題更是如此。整體上看，兩書各有長短。九章算術以實用性、計算性和豐富性優于幾何原本，而幾何原本則以幾何、數論和邏輯性超過九章算術。九章算術與幾何原本互為長短。這既是兩書的特點，也大

3、體代表了古代東西方數學的特色。二、意義 1.數學教育觀 數學教育觀是對數學教育整體的、系統化的看法，分為數學觀和教育觀。其中數學觀又有動態和靜態之分，教育觀也是如此。動態的數學觀認為數學是一項人類活動，是一個有內部聯系的、動態發展的學科；靜態的數學觀認為數學是定理、公式的靜態積累，是一個永恒不變的學科；動態的教育觀認為學生不是空著腦袋進教室的，教學活動的開展要建直在學生原有認知發展水平及已有知識經驗基礎之上，學生主體，教師主導，筆者認為，這實際L是建構主義教育觀；靜態的教育觀認為教學活動是一種程序化的過程即概念一定理一例題一練習，學生被動地接受教師傳授的知識，是一種傳統的教

4、育觀。執此以19世紀以前的中同的數學教育觀，其深受九章算術的影響，認為數學是來源于生活實際并服務于生產發展的，具有濃厚的實用及功利色彩。九章算術雖然邏輯性不強，但是其內容豐富，結構嚴謹，層次分明，各數學知識之間緊密聯系。從隋時期，一直為我國學生學習數學的教材之一。學生學習數學是為解決生活實際中碰到的問題，學生能將所學知識運用到實踐中去，數學教育實際上成為一種技術教育，在調動學生的積極性方面表現一定的作用，因而此時的數學教育呈現出動態的數學教育觀。然而，到了19世紀，幾何原本開始傳人我國，并在相當長的時間里占據我國課堂，我們開始接觸片逐漸深入學習演繹式的數學知識體系，九章算術動態式的數學教育觀被

5、逐漸淡化，以至于在學習幾何原本時，過分地追求形式化，忽視數學內在的本質，只是將現成的公式、定理等灌輸給學生，致使大多學生、教師認為數學是一些公式、定理等的堆積，數學是一成小變的，靜態的數學教育觀慢慢地占據了統治地位。所以，筆者認為，我們應該樹立動態的數學教育觀，但這并非意味著簡單回歸19世紀以前的數學教育，而是對其進行理性地超越。我們不僅要認識到數學源于現實，更要認識到數學并非是從現實中提煉的數學知識的簡單積累，而是一個內部聯系緊密，邏輯性很強的學科。所以在教學數學時，我們應該教授學生有聯系的數學，應該從數學與它所依附的學生親身體驗的現實之間尋找這種聯系，實現基于學生現實情境的數學化。

6、0;2.數學教育目的 基于以上對兩書的分析，我們不難看出九章算術注重數學與數學以外的世界的聯系，折射出的中國古代數學教育注重現實性及功利性，注重數學教育與生產實踐的緊密結合，注重培養學生應具備的數學解決實際問題的意識和能力，彰顯數學服務于實踐的本質。這種數學教育是一種實用技術育，雖有利于數學與實踐的緊密聯系，但卻阻礙自然科學在古代中同的發展，理性精神也因此沒有發展起來。幾何原本極度關注數學內部的邏輯結構，具有高度的嚴密性和抽象性，由此而反映出的占希臘數學教育注重培養學生思維的邏輯性、嚴密性和表達方式的簡潔性；培養學生善于用數學的眼光看問題、抽象問題；將數學與哲學聯系起來，通過數學理解

7、世界的本質。受幾何原本的影響，19世紀以來，我國的數學教育由注重實用性轉向過多地強調空間想象能力、基本運算能力和邏輯推理能力的培養，忽視了數學應用意識和能力的培養。我們知道，對整個科學技術(尤其是高新科技)水平的推進與提高，對科技人才的培養和滋潤，對經濟建設的繁榮，對全體人民的科學思維與文化素質的哺育，數學都發揮著不可替代的作朋。然而，數學教育有別于應用數學及基礎數學等數學學科，它不能像應用數學或基礎數學那樣對社會產生直接的效益。對此，我們的數學教育應該何為?普通高中數學課程標準(實驗稿)中指出“數學教育在學校教育中占有特殊的地位，它使學生掌握數學的基礎知識、基本技能、基本思想，使學生表達清晰

8、、思考有條理，使學生具有實事求足的態度、鍥而不舍的精神，使學生學會用數學的思考方式解決問題、認識世界”。顯然，九章算術與幾何原本的精神已滲透其中，而且學生態度等非認知因素也得到了重視，我國的數學教育逐漸趨于完善。然而，筆者認為，在某些方面仍有不足之處。幾何原本折射出的古希臘數學教育將數學與哲學聯系起來，通過數學理解世界的本質。我國的數學教育雖然提到了“用數學的思考方式解決問題、認識世界”，但充其量只是將數學當作認識和手段。德國哲學家海德格爾曾說過“語言是存在的家”，把語言從一種手段提升到一種目的，實現了從手段論到本體論的飛躍。數學也是一種語言，不僅是一種服務于生活實際的工具，更應是立足于現實生

9、活的一種存在，筆者認為在某種意義上數學語言是數學與哲學聯系的橋梁。基于此，筆者認為，我同的數學教育應該當作數學語言的使用，但不能僅局限于使用數學交流，當然這也不是指對單個數學詞語的理解和使用，而是通過數學教會一個人：如何正確掌握數學的含義，如何避免循環定義，如何正確運用語言構造命題。 3. 數學教材 九章算術不僅是作為一部數學專著在長久的歷史時期中成了中國數學家著書立說的典范，而且在數學教育方面還是一部重要的教科書。自我國隋唐時期數學教育制度建立以來，九章算術就成為國家統一審定的數學課程之一，并形成了以九章算術為中心的古代數學課程體系。直到19世紀，幾何原本作為傳

10、播初等幾何的教科書逐漸進入中同課堂，逐漸打破九章算術式的課程體系，致使我國的數學課程過分地追求形式化，忽視數學內在的本質，使數學與實際問題相脫節。值得一提的是，多次數學課程改荸都在平面幾何方面大做文章，曾認為關于幾何知識的實用價值不大而建議削弱甚至取消幾何課程。幾何是集知識形態與理性思維于一身的，所以幾何課程是不可能被取消的，只能是從處理方式上加以完善，以適合中小學的教學。我們已經意識到這種數學課程的缺陷，并由此進行一輪又一輪的課程改革。數學課程改革是一個循序漸進的過程，我們要避免一刀切。在教材的編寫上，一方面我們要借簽幾何原本的邏輯體系，以其彰顯數學內部的邏輯結構，揭示數學知識的本質；另一方

11、面，我們應該反思本土文化，認真解讀九章算術的編寫精神，把數學與現實生活有機地聯系起來，這并非是將數學簡單地同歸現實生活，而是超越、引導現實生活，結合學生的心理特點以及各數學知識之間的聯系，某些數學內容要適時地、有選擇性地反映數學知識發生、發展的過程，通過觀察、分析、歸納、最終概括出抽象的結論，正確把握教材中形式化與非形式化的辯證關系。不管是作為教材的九章算術，還是作為傳播初等幾何教科書的幾何原本，其本身都是不完全的，是有缺陷的，但絕非是過時的。我們應該對其認真分析，相互借鑒，取其成功之處，來指導數學課程的改革。正如各國數學教育不是孰優孰劣的問題，而是相互借鑒，取長補短的問題。只有這樣，我們的數

12、學課程乃至數學教育才能立于不敗之地。 4. 數學文化 九章算術與幾何原本的差異之所以如此之大，筆者認為，根本原因是由于中西方文化的不同，尤其是傳統文化的不同而形成的數學文化的不同。數學文化是在一定歷史發展階段，由數學共同體在從事數學實踐活動過程中所創造的物質財富和精神財富的總和。物質財富以物質形式存在，如數學教學的教具、數學實驗設備等；精神財富以精神形式存在，如數學思想方法、數學家的探索精神、理性精神等。在精神財富層面上，九章算術體現的是觀察一實驗一歸納一分析一概括的數學研究方式，形成了以歸納體系為主的數學思想方法體系，這樣勢必形成技藝實用而非理性思辨的數學文化觀

13、念。幾何原本呈現定義一公理一定理一例題的數學研究方式，形成了數學知識的演繹體系，這就孕育了西方數學純理性的特征。在物質財富層面上，由于中暇方在人類文明發展的進程中所創造的物質財富有一定的相似性，有時由于技術條件的限制，出現的時間不同而已。鑒于此，筆者認為，兩書的差異主要體現在數學文化的精神層面。普通高巾數學課程標準(實驗稿)明確指出“數學是人類文化的重要組成部分，數學課程中要體現數學的文化價值。”這說明對數學文化的重視已成為數學教育作者的共識。在新課程中也設有有關數學文化的選題及其相關的要求和教學建議，增強數學文化教學的可操作性。然而，筆者基于對九章算術與幾何原本的比較，認為數學文化選題在內容

14、上比較單一，而且有所偏重，選題內容大多是西方數學的成就，很少涉及我國在數學上的成就，如九章算術與幾何原本幾乎是同時代的數學典范，選題卻只涉及幾何原本及其公理化思想；平面解析幾何、微積分、非歐幾何等都是西方數學的成就。鑒于此，筆者認為，應該增加我國在數學上的成就以及我國一些數學家的精神和思想，尤其是九章算術及其歸納一概括思想。此外，筆者還發現，數學文化教學存在這樣的現象：只在教學過程中加入數學史的一些小故事或在數學內容上硬加一些一般性的思想方法，僅立足于學生學習數學興趣的提高。教師對數學文化的教學自覺性不高。數學教育應該是數學文化的教育，數學不僅是學科，更是一種文化形態。數學文化的學習是潛移默化、耳濡目染的過程。所以筆者認為，我們應該重視教師自身的感染力量和示范作用，教師應該引導學生盡力去體驗和領悟數學本身所具有的文化底蘊，在過程中滲透數學思想方法、數學意識、數學精神等的教育，欣賞數學形式和實質的美，領略數學的無窮魅力。參考文獻  1吳文俊九章箅術與劉徽M北京：北京師范大學出版社，