1、2015年陜西省咸陽市高考 數學三模試卷（文科）一、選擇題（每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的）1若集合M=1，2，3，4，N=x|x240，則MN=（） A 2，3，4 B 2，2 C 2 D 2，+）2已知復數z=，則（） A z的虛部為1 B z的實部為1 C |z|=2 D z的共軛復數為1+i3設向量=（x，1），=（4，x），若，方向相反，則實數x的值是（） A 0 B ±2 C 2 D 24一算法的程序框圖如圖，若輸出的y=，則輸入的x的值可能為（） A 1 B 0 C 1 D 55下列函數既是偶函數又是周期為的函數是（） A y=cos

2、（x） B y=sin2xcos2x C y=cos2 D y=tan2x6下列結論中正確的是（） A 若p（q）為真命題，則q為真命題 B 回歸直線方程=x+一定經過（，） C 將一組數據中的每個數據都減去同一個數后，平均數與方差均沒有變化 D 某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人為了解該單位職工的健康情況，應采用系統抽樣的方法從中抽取樣本7設雙曲線方程mx2ny2=1（mn0），則“離心率e=”是“m=n”的（） A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件8某幾何體的三視圖如圖所示，其中三角形的三邊長與圓的直徑均

3、為2，則該幾何體的表面積為（） A B 5 C 6 D 79已知各項不為0的等差數列an滿足2a3a72+2a11=0，數列bn是等比數列，且b7=a7，則b5b9=（） A 2 B 4 C 8 D 1610已知1a3，2b5，則方程x2bx+a2=0有實數解的概率是（） A B C D 11若圓C：x2+y2+2x4y+3=0關于直線2ax+by+6=0對稱，則由點（a，b）所作的切線長的最小值是（） A 2 B 3 C 4 D 612已知x表示不超過實數x的最大整數，如1，2=2，1，2=1，1=1，則函數f（x）=x+2x（0x3）的值域中不可能取到的一個正整數是（） A 1 B 3 C

4、 5 D 6二、填空題（本大題有4小題，每小題5分，共20分）13已知數列an是等差數列，且a3+a4+a5=12，則a1+a2+a3+a7的值為14在平面直角坐標系中，若不等式組（a為常數）所表示的平面區域內的面積等于2，則a=15給出下列等式：12=112+22=×2×3×512+22+32=×3×4×712+22+32+42=×4×5×912+22+32+42+52=×5×6×11則按照此規律可以猜想第n個等式為16若函數f（x）=2sin（x+）（2x14）的圖象與x

5、軸交于點A，過點A的直線與函數的圖象交于B、C兩點，則（+）=（其中O為坐標原點）三、解答題（本大題有8小題，共70分）（一）必做題17設函數f（x）=sinxcosx+cos2x（1）求函數f（x）的最小正周期；（2）已知ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（）=，b+c=2，求a的最小值18某企業工會對清明假期在省內旅游的職工進行統計，用分層抽樣的方法從去漢中、安康、延安、渭南、寶雞五地旅游人員中抽取若干人成立旅游愛好者協會，相關數據統計如下：旅游地 相關人數 抽取人數漢中 30 a安康 b 1延安 24 4渭南 c 3寶雞 12 d（）求a，b，c，d的值；（）若從去延安和

6、寶雞兩地抽取的人數中選2人擔任旅游愛好者協會與工會之間的聯絡員，求這兩人來自不同旅游地的概率19如圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD平面ABCD，ECPD，且PD=AD=2EC=2（1）求證：AC平面BPE；（2）求三棱錐BPAC的體積20已知橢圓C：+=1（ab0）的左右焦點分別為F1，F2，離心率e=，點F2到直線y=x的距離為（）求橢圓C的方程（）過F2任意作一條直線l交橢圓C于A、B兩點，是否存在以線段AB為直徑的圓經過F1，若存在，求出直線l方程；若不存在，請說明理由21設aR，函數f（x）=lnxax（1）求函數f（x）的單調區間；（2）已知x1=（e為自然對數的底數）

7、和x2是函數f（x）的兩個不同的零點，求a的值并證明：x2e（二）選做題（從第22、23、24題中任選一題作答，若多做，則按所做的第一個題目計分）【選修4-1：幾何證明選講】22如圖，AB為圓O的直徑，BC為圓O的切線，連結AC交圓O于D，P為AD的中點，過P作不同于AD的弦交圓O于M、N兩點，若BC=6，CD=4（）求MPNP的值（）求證：C=AMD【選修4-4：坐標系與參數方程】23已知直線l：（t為參數）曲線C的極坐標方程：p=3（）設A、B是直線l與曲線C的交點，求|AB|（）若P是曲線C上任意一點，求ABP面積的最大值【選修4-5：不等式選講】24已知x，yR+，且x+y=2（）要使

8、不等式+|a+2|a1|恒成立，求實數a的取值范圍（）求證：x2+2y22015年陜西省咸陽市高考數學三模試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的）1若集合M=1，2，3，4，N=x|x240，則MN=（） A 2，3，4 B 2，2 C 2 D 2，+）考點： 交集及其運算專題： 集合分析： 求出N中不等式的解集確定出N，找出M與N的交集即可解答： 解：由N中不等式變形得：（x+2）（x2）0，解得：x2或x2，即N=（，22，+），M=1，2，3，4，MN=2，3，4，故選：A點評： 此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的

9、定義是解本題的關鍵2已知復數z=，則（） A z的虛部為1 B z的實部為1 C |z|=2 D z的共軛復數為1+i考點： 復數代數形式的乘除運算專題： 數系的擴充和復數分析： 化簡已知復數可得其虛部，可得答案解答： 解：化簡可得z=1i，z的虛部為1，故選：A點評： 本題考查復數的代數形式的乘除運算，屬基礎題3設向量=（x，1），=（4，x），若，方向相反，則實數x的值是（） A 0 B ±2 C 2 D 2考點： 平行向量與共線向量專題： 平面向量及應用分析： 利用向量共線定理即可得出解答： 解：，x24=0，解得x=±2又，方向相反，x=2故選：D點評： 本題考查了

10、向量共線定理，屬于基礎題4一算法的程序框圖如圖，若輸出的y=，則輸入的x的值可能為（） A 1 B 0 C 1 D 5考點： 程序框圖專題： 圖表型；算法和程序框圖分析： 模擬執行程序可得程序功能是求分段函數y=的值，根據已知即可求解解答： 解：模擬執行程序可得程序功能是求分段函數y=的值，y=，sin（）=2k+，kZ，即可解得x=12k+1，kZ當k=0時，有x=1故選：C點評： 本題主要考查了程序框圖和算法，正弦函數的圖象和性質，屬于基礎題5下列函數既是偶函數又是周期為的函數是（） A y=cos（x） B y=sin2xcos2x C y=cos2 D y=tan2x考點： 三角函數的

11、周期性及其求法專題： 三角函數的圖像與性質分析： 由三角函數的周期性及其求法依次求得各個選項的周期，即可判斷解答： 解：y=cos（x）=sinx，可求其周期為2，故A不滿足條件；y=sin2xcos2x=cos2x，由余弦函數的奇偶性及周期性可求此函數既是偶函數又是周期為的函數，故B滿足條件；y=cos2=cosx，可求其周期為2，故C不滿足條件；y=tan2x，可求其周期為，故D不滿足條件；故選：B點評： 本題主要考查了誘導公式，三角函數恒等變換，三角函數周期性及其求法等知識的應用，屬于基本知識的考查6下列結論中正確的是（） A 若p（q）為真命題，則q為真命題 B 回歸直線方程=x+一定

12、經過（，） C 將一組數據中的每個數據都減去同一個數后，平均數與方差均沒有變化 D 某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人為了解該單位職工的健康情況，應采用系統抽樣的方法從中抽取樣本考點： 命題的真假判斷與應用專題： 簡易邏輯分析： A利用復合命題的真假關系進行判斷B利用回歸直線方程的定義和性質進行判斷C根據平均數和方差的公式判斷D根據抽樣的定義進行判斷解答： 解：A若p（q）為真命題，則q為真命題，即q為假命題故A正確，B根據回歸直線的性質可知回歸直線方程=x+一定經過（，），故B正確，C將一組數據中的每個數據都減去同一個數后，平均數有變化，方差沒有變

13、化，故C錯誤，D由于青年職工，中年職工和老年職工差異比較明顯，故用分層抽樣，故D錯誤，故選：B點評： 本題主要考查命題的真假判斷，要求熟練掌握各知識點的判斷方法7設雙曲線方程mx2ny2=1（mn0），則“離心率e=”是“m=n”的（） A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷專題： 簡易邏輯分析： 根據充分條件和必要條件的定義以及雙曲線的性質進行判斷解答： 解：若離心率e=，則雙曲線為等軸雙曲線，則m=n，則當m=n，雙曲線為等軸雙曲線，則e=，故“離心率e=”是“m=n”的充要條件，故選：C點評： 本題主要考查

14、充分條件和必要條件的判斷，比較基礎8某幾何體的三視圖如圖所示，其中三角形的三邊長與圓的直徑均為2，則該幾何體的表面積為（） A B 5 C 6 D 7考點： 由三視圖求面積、體積專題： 空間位置關系與距離分析： 根據幾何體的三視圖，得出該幾何體是球與圓錐的組合體，結合圖中數據求出它的表面積解答： 解：根據幾何體的三視圖，得：該幾何體是底部為球體，上部為圓錐體的組合體，且球的半徑與圓錐底面圓的半徑都為1，圓錐的母線長為2；所以，球的表面積為412=4，圓錐體的表面積為12+12=3，該幾何體的表面積為4+3=7故選：D點評： 本題考查了利用空間幾何體的三視圖求表面積的應用問題，解題的關鍵是由三視

15、圖得出幾何體的結構特征9已知各項不為0的等差數列an滿足2a3a72+2a11=0，數列bn是等比數列，且b7=a7，則b5b9=（） A 2 B 4 C 8 D 16考點： 等差數列的性質；等比數列的性質專題： 計算題分析： 根據等差數列的性質化簡已知條件，得到關于a7的方程，求出方程的解得到a7的值，進而得到b7的值，把所求的式子利用等比數列的性質化簡，將b7的值代入即可求出值解答： 解：根據等差數列的性質得：a3+a11=2a7，2a3a72+2a11=0變為：4a7a72=0，解得a7=4，a7=0（舍去），所以b7=a7=4，則b5b9=a72=16故選D點評： 此題考查學生靈活運用

16、等差數列的性質及等比數列的性質化簡求值，是一道基礎題10已知1a3，2b5，則方程x2bx+a2=0有實數解的概率是（） A B C D 考點： 幾何概型專題： 概率與統計分析： 本題考查的知識點是幾何概型的意義，關鍵是要找出方程x22ax+b2=0有實數解對應的可行域面積的大小和實數a，b滿足1a1，1b1對應的圖形面積的大小解答： 解：x2bx+a2=0有實數解的充要條件是=b24a20即或如下圖所示，區域1a3，2b5的面積為6，在1a3，2b5前提下，區域不等式組表示的區域面積為，由幾何概型等式可得方程x2bx+a2=0有實數解的概率是：；故選A點評： 本題考查幾何概型公式的運用；幾何

17、概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、含面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關11若圓C：x2+y2+2x4y+3=0關于直線2ax+by+6=0對稱，則由點（a，b）所作的切線長的最小值是（） A 2 B 3 C 4 D 6考點： 直線與圓的位置關系專題： 直線與圓分析： 由題意可知直線經過圓的圓心，推出a，b的關系，利用（a，b）與圓心的距離，半徑，求出切線長的表達式，然后求出最小值解答： 解：將圓C：x2+y2+2x4y+3=0化為標準方程得：（x+1）2+（y2）2=2，圓心C（1，2），半徑r=，圓C關于直線2ax+by+6=0對稱，直線

18、2ax+by+6=0過圓心，將x=1，y=2代入直線方程得：2a+2b+6=0，即a=b+3，點（a，b）與圓心的距離d=，點（a，b）向圓C所作切線長l=4，當且僅當b=1時弦長最小，最小值為4故選C點評： 本題考查直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，兩點間的距離公式，勾股定理，以及圓的切線方程的應用，其中得出a與b的關系式是本題的突破點12已知x表示不超過實數x的最大整數，如1，2=2，1，2=1，1=1，則函數f（x）=x+2x（0x3）的值域中不可能取到的一個正整數是（） A 1 B 3 C 5 D 6考點： 函數的值域專題： 函數的性質及應用分析： 由新定義列舉出f（x）

19、所有可能的取值，比較選項可得解答： 解：由新定義可得當0x1時，02x2，x=0，2x=0或1，故f（x）=x+2x=0或1；當1x2時，22x4，x=1，2x=2或3，故f（x）=x+2x=3或4；當2x3時，42x6，x=2，2x=4或5，故f（x）=x+2x=6或7；當x=3時，x=3，2x=6，故f（x）=x+2x=9，故選：C點評： 本題考查函數的值域，涉及新定義，列舉是解決問題的關鍵，屬基礎題二、填空題（本大題有4小題，每小題5分，共20分）13已知數列an是等差數列，且a3+a4+a5=12，則a1+a2+a3+a7的值為28考點： 等差數列的前n項和專題： 等差數列與等比數列分

20、析： 由等差數列的性質結合已知求得a4=4然后由a1+a2+a3+a7=7a4得答案解答： 解：數列an是等差數列，且a3+a4+a5=12，由等差數列的性質得：3a4=12，則a4=4a1+a2+a3+a7=7a4=7×4=28故答案為：28點評： 本題考查了等差數列的性質，考查了等差數列的前n項和，是基礎的計算題14在平面直角坐標系中，若不等式組（a為常數）所表示的平面區域內的面積等于2，則a=3考點： 簡單線性規劃分析： 先根據約束條件（a為常數），畫出可行域，求出可行域頂點的坐標，再利用幾何意義求關于面積的等式求出a值即可解答： 解：當a0時，不等式組所表示的平面區域，如圖中

21、的M，一個無限的角形區域，面積不可能為2，故只能a0，此時不等式組所表示的平面區域如圖中的N，區域為三角形區域，若這個三角形的面積為2，則AB=4，即點B的坐標為（1，4），代入y=ax+1得a=3故答案為：3點評： 本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題15給出下列等式：12=112+22=×2×3×512+22+32=×3×4×712+22+32+42=×4×5×912+22+32+42+52=×5×6×11則按照此規律可以

22、猜想第n個等式為12+22+32+n2=考點： 歸納推理專題： 排列組合分析： 根據題中式子各邊的規律進行歸納猜想，即可得出第n個等式解答： 解：12=1，12+22=×2×3×5，12+22+32=×3×4×7，12+22+32+42=×4×5×9，12+22+32+42+52=×5×6×11，由以上可得從第二個式子左邊是連續數的平方和，右邊分別是與三個數的乘積，且這三個數分別構成三個數列是：2、3、4、5、6；3、4、5、6；5、7、9、11，照此規律，第n個等式可為：1

23、2+22+32+n2=，故答案為：12+22+32+n2=點評： 本題考查歸納推理，難點是根據已知的幾個式子的特點發現其中的規律，注意從運算的過程中去尋找，考查觀察、分析、歸納的能力，屬于基礎題16若函數f（x）=2sin（x+）（2x14）的圖象與x軸交于點A，過點A的直線與函數的圖象交于B、C兩點，則（+）=72（其中O為坐標原點）考點： 平面向量數量積的運算專題： 計算題；平面向量及應用分析： 根據函數解析式求出周期，判斷在2x14時圖象僅與x軸交于點A（6，0）且關于點A對稱，得到+=2，進而可以計算出（+）的值解答： 解：f（x）=2sin（x+）的周期是16，f（x）=2sin（x

24、+）（2x14）的圖象僅與x軸交于點A（6，0）且關于點A對稱，故A是線段BC的中點，則（+）=2=2×36=72故答案為：72點評： 本題考查了向量的數量積，考查了數形結合的思想，解題的關鍵是判斷函數f（x）的圖象僅與x軸交于點A（6，0）且關于點A對稱三、解答題（本大題有8小題，共70分）（一）必做題17設函數f（x）=sinxcosx+cos2x（1）求函數f（x）的最小正周期；（2）已知ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（）=，b+c=2，求a的最小值考點： 余弦定理；三角函數中的恒等變換應用；正弦函數的圖象專題： 三角函數的圖像與性質；解三角形分析： （1）

25、由三角函數中的恒等變換應用化簡函數解析式可得f（x）=sin（2x+）+，由周期公式即可得解；（2）由（1）可得sin（A+）=1，結合A的范圍可求A由余弦定理，解得a2=（b+c）23bc，由b+c=2知bc的最大值，從而可求a的最小值解答： 解：（1）f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，f（x）的周期T=（6分）（2）f（）=sin（A+）+=，sin（A+）=1，由A（0，），可得A=在ABC中，由余弦定理，得a2=b2+c22bccos=（b+c）23bc，由b+c=2知bc（）2=1，當b=c=1時bc取最大值，此時a取最小值1（12分）點評：

26、本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，正弦定理，余弦定理，基本不等式的綜合應用，屬于基本知識的考查18某企業工會對清明假期在省內旅游的職工進行統計，用分層抽樣的方法從去漢中、安康、延安、渭南、寶雞五地旅游人員中抽取若干人成立旅游愛好者協會，相關數據統計如下：旅游地 相關人數 抽取人數漢中 30 a安康 b 1延安 24 4渭南 c 3寶雞 12 d（）求a，b，c，d的值；（）若從去延安和寶雞兩地抽取的人數中選2人擔任旅游愛好者協會與工會之間的聯絡員，求這兩人來自不同旅游地的概率考點： 列舉法計算基本事件數及事件發生的概率；頻率分布直方圖專題： 概率與統計分析： （）由表格可知抽取比例為，易

27、得要求的值；（）設去“延安”4人分別為a、b、c、d，去“寶雞”的人分別為：1、2，列舉可得總的基本事件共15個，其中兩人來自不同旅游地的共8個，由概率公式可得解答： 解：（）由表格可知抽取比例為=，a=30×=5，b=1÷=6，a，b，c，d的值分別為5，6，18，2；（）設去“延安”4人分別為a、b、c、d，去“寶雞”的兩人分別為：1、2，則從中任選2人的基本事件有（a，b）（a，c）（a，d）（a，1）（a，2）（b，c）（b，d）（b，1）（b，2）（c，d）（c，1）（c，2）（d，1）（d，2）（1，2）共15個，其中兩人來自不同旅游地的基本事件有（a，1）（a

28、，2）（b，1）（b，2）（c，1）（c，2）（d，1）（d，2）共8個，則兩人分別來自兩個旅游地的概率為點評： 本題考查列舉法計算基本事件數及事件發生的概率，涉及分層抽樣，屬基礎題19如圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD平面ABCD，ECPD，且PD=AD=2EC=2（1）求證：AC平面BPE；（2）求三棱錐BPAC的體積考點： 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定專題： 空間位置關系與距離分析： （）連接AC，設AC與BD相交于O，取PB的中點H，連接HE，HO證明四邊形OCEH為平行四邊形，利用直線與平面平行的判定定理證明AC面BPE（）利用VBPAC=VPABC，求

29、解底面面積與高，即可求出幾何體的體積解答： 證明：（）如圖，連接AC，設AC與BD相交于O，取PB的中點H，連接HE，HOHO是BDP的中位線，OHPD，又CEPD，OHCE四邊形OCEH為平行四邊形，HE面PBE，AC面PBEAC面BPE，（6分）（）VBPAC=VPABC=SABCPD=（12分）點評： 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面平行的判定定理的應用，考查計算能力以及空間想象能力20已知橢圓C：+=1（ab0）的左右焦點分別為F1，F2，離心率e=，點F2到直線y=x的距離為（）求橢圓C的方程（）過F2任意作一條直線l交橢圓C于A、B兩點，是否存在以線段AB為直徑的圓經過F1，

30、若存在，求出直線l方程；若不存在，請說明理由考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題專題： 圓錐曲線中的最值與范圍問題分析： （）由題意得：b2=3，求得橢圓方程（）設滿足條件的直線為l，其方程為x=my+1，兩交點坐標為A（x1，y1）B（x2，y2），直線與圓錐曲線聯立，利用韋達定理列得條件，求得所需直線解答： 解：（）由題意得：b2=3，所求橢圓方程為（）設滿足條件的直線為l，其方程為x=my+1，兩交點坐標為A（x1，y1）B（x2，y2）由消去x得：（3m2+4）y2+6my9=0，以AB為直徑得圓過點F1故有：（x1+1）（x2+1）+y1y2=（my1+2）（my2+2）+y1y2=（m

31、2+1）y1y2+2m（y1+y2）+4=0代入化簡得9m27=0，m=即存在滿足條件的直線l，其方程為3x點評： 本題主要考查圓錐曲線的方程和直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于中檔題21設aR，函數f（x）=lnxax（1）求函數f（x）的單調區間；（2）已知x1=（e為自然對數的底數）和x2是函數f（x）的兩個不同的零點，求a的值并證明：x2e考點： 利用導數研究函數的單調性專題： 導數的綜合應用分析： （1）先求出函數的導數，通過討論a的范圍，從而得到函數的單調性；（2）先求出a的值，得到函數f（x）的表達式，從而證出結論解答： 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+）求導數，得f（x）=

32、a=若a0，則f（x）0，f（x）是（0，+）上的增函數；若a0，令f（x）=0，得x=當x（0，）時，f（x）0，f（x）是增函數；當x（，+）時，f（x）0，f（x）是減函數綜上所述，當a0時，f（x）的遞增區間為（0，+）；當a0時，f（x）的遞增區間為（0，），遞減區間為（，+）（2）因為x1=是函數f（x）的零點，所以f（）=0，即a=0，解得a=所以f（x）=lnxx因為f（）=0，f（）=0，所以f（）f（）0所以x2（，），即：x2點評： 本題考查了函數的單調性問題，考查不等式的證明，是一道中檔題（二）選做題（從第22、23、24題中任選一題作答，若多做，則按所做的第一個題目計分）【選修4-1：幾何證明選講】22如圖，AB為圓O的直徑，BC為圓O的切線，連結AC交圓O于D，P為AD的中點，過P作不同于AD的弦交圓O于M、N兩點，若BC=6，CD=4（）求MPNP的值（）求證：C=AMD考點： 與圓有關的比例線段專題： 選作題；推理和證明分析： （）利用切割線定理、相交弦定理