1、2016屆高考備考沖刺階段（查缺補漏）試題數學（理科）1.某中學在高二年級開設大學先修課程線性代數，共有50名同學選修，其中男同學30名，女同學20名. 為了對這門課程的教學效果進行評估，學校按性別采用分層抽樣的方法抽取5人進行考核.（1）求抽取的5人中男、女同學的人數；（2）考核的第一輪是答辯，順序由已抽取的甲、乙等5位同學按抽簽方式決定. 設甲、乙兩位同學間隔的人數為，的分布列為3210求數學期望；（3）考核的第二輪是筆試：5位同學的筆試成績分別為115，122，105， 111，109；結合第一輪的答辯情況，他們的考核成績分別為125，132，115， 121，119. 這5位同學筆試成

2、績與考核成績的方差分別記為，試比較與的大小. 解：（1）抽取的5人中男同學的人數為，女同學的人數為. （2）由題意可得：. 因為 ， 所以 . 所以 . （3）. 2(). 某中藥種植基地有兩處種植區的藥材需在下周一、下周二兩天內采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區的采摘由于下雨會影響藥材品質，基地收益如下表所示：周一無雨無雨有雨有雨周二無雨有雨無雨有雨收益20萬元15萬元10萬元萬元 若基地額外聘請工人，可在周一當天完成全部采摘任務無雨時收益為20萬元；有雨時，收益為10萬元額外聘請工人的成本為萬元已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為 （1）

3、若不額外聘請工人，寫出基地收益的分布列及基地的預期收益； （2）該基地是否應該外聘工人，請說明理由【解析】（1）設下周一有雨的概率為，由題意，基地收益的可能取值為，則， ，基地收益的分布列為：201510，基地的預期收益為萬元（2）設基地額外聘請工人時的收益為萬元，則其預期收益（萬元），綜上，當額外聘請工人的成本高于萬元時，不外聘工人； 成本低于萬元時，外聘工人； 成本恰為萬元時，是否外聘工人均可以3. 高三年級有500名學生，為了了解數學學科的學習情況，現從中隨機抽出若干名學生在一次測試中的數學成績，制成如下頻率分布表：分組頻數頻率85,95)95,105)0.050105,115)0.20

4、0115,125)120.300125,135)0.275135,145)4145,155)0.050合計(1) 根據上面圖表，處的數值分別為_，_，_，_；(2)在所給的坐標系中畫出85,155的頻率分布直方圖；(3)根據題中信息估計總體平均數，并估計總體落在129,155中的頻率解析(1)隨機抽出的人數為40，由統計知識知處應填1；處應填0.1；處應填10.0500.10.2750.3000.2000.0500.025；處應填0.025401.(2)頻率分布直方圖如圖(3)利用組中值算得平均數：900.0251000.051100.21200.31300.2751400.11500.051

5、22.5；總體落在129,155上的頻率為0.2750.10.050.315.4. 某中學為研究學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系，對該校200名高三學生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間進行調查，如下表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）平均每天鍛煉 的時間（分鐘） 總人數 20 36 44 50 40 10 將學生日均課外課外體育運動時間在上的學生評價為“課外體育達標”（）請根據上述表格中的統計數據填寫下面列聯表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為 “課外體育達標”與性別有關？ 課外體育不達標課外體育達標合計男 女 20110 合計 （）將上述調查所得到的頻率視為概率現在

6、從該校高三學生中，抽取3名學生，記被抽取的3名學生中的“課外體育達標”學生人數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的數學期望和方差參考公式：，其中0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828參考數據： 解答：（） 課外體育不達標課外體育達標合計男 603090女9020110合計15050200 5分所以在犯錯誤的概率不超過的前提下不能判斷 “課外體育達標”與性別有關6分（）由表中數據可得，抽到“課外體育達標”學生的頻率為0.25，將頻率視為概率， 8分 12分5().某市環保知識競賽由甲乙兩支代表隊進行總決賽，每隊各有

7、3名隊員，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯或者不答都得0分，已知甲隊3人答對的概率分別為，乙隊每人答對的概率都是，設每人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示甲隊總得分。（1）求隨機變量的分布列及其數列期望； （2）求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率。解：（1）由題設知的可能取值為0，1，2，3， 所以分布列為： 0123 4分數學期望E（）=0+1+2+3=6分（2）設“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B，則 8分 10分 12分6().已知四棱錐,底面是直角梯形，,， 是邊長為的等邊三角形，（）求證：平面；E（）若點為中點,

8、求二面角的余弦值解答：（）是邊長為的等邊三角形, 底面是直角梯形， 又又 6分（）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系，則設平面的法向量為，則 取 8分為中點，則，設平面的法向量為，則取 10分由二面角的余弦值為 12分7. 如圖，菱形ABCD中，ABC = 60，AC與BD相交于點O，AE平面ABCD，CFAE，AB = AE = 2。（1）求證：BD平面ACFE；（2）當直線FO與平面BED所成角的大小為45時，求CF的長度。（）證明：四邊形是菱形， .平面,平面 ., 平面.4分（）解：如圖以為原點，為軸正向，軸過且平行于，建立空間直角坐標系.則

9、，.6分設平面的法向量為，則有，即令， .8分由題意解得或.由，得 . .12分8.如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA底面ABCD，PCD=90，PA=AB=AC（1）求證：ACCD；（2）點E在棱PC上，滿足DAE=60，求二面角BAED的余弦值 解答： （1）證明：因為PA底面ABCD，所以PACD， 因為PCD=90，所以PCCD， 所以CD平面PAC，所以CDAC；（2）解：底面ABCD是平行四邊形，CDAC，ABAC 又PA底面ABCD，AB，AC，AP兩兩垂直 如圖所示，以點A為原點，以為x軸正方向、以|為單位長度，建立空間直角坐標系 則B（1，0，0），C（0

10、，1，0），P（0，0，1），D（1，1，0） 設=（0，1，1），則=+=（0，1）， 又DAE=60，則cos，=， 即=，解得= 則=（0，），=（1，）， 所以cos，= 因為=0，所以 又，故二面角BAED的余弦值為 9().如圖，在三棱柱中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，過作平面平行于，交AB于D點， （1）求證：（2）若四邊形是正方形，且，求直線與平面所成角的正弦值。（1)證：連結AC1，設AC1與A1C相交于點E，連接DE，則E為AC1中點，-2分BC1平面A1CD，DEBC1， -4分 D為AB的中點，又，-6分(2) -7分又 ，又 -8分設BC的中點為O，的中點為，以

11、O為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系.9分則，.-10分平面的一個法向量所以直線A1D與平面CBB1C1所成角的正弦值為-12分10. 如圖，在五面體 ABCDEF 中，四邊形 ABCD是邊長為 4 的正方形，EFAD ，平面 ADEF 平面 ABCD，且BC = 2EF ， AE = AF ，點G 是EF 的中點。（1）證明： AG 平面ABCD 。（2）若直線BF 與平面ACE 所成角的正弦值為，求AG 的長。（3）判斷線段AC 上是否存在一點M ，使MG平面ABF ？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。 11().已知直線為參數), 曲線 （為參

12、數）. (I)設與相交于兩點,求； (II)若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍,縱坐標壓縮為原來的倍,得到曲線,設點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最小值.解：（I）的普通方程為的普通方程為聯立方程組解得與的交點為,則. 5分（II）的參數方程為為參數).故點的坐標是,從而點到直線的距離是,由此當時,取得最小值,且最小值為. 10分12().在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數），且曲線上的點對應的參數，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線是圓心在極軸上且經過極點的圓，射線與曲線交于點（）求曲線的普通方程，的極坐標方程；（）若是曲線上的兩點，求的值（）將及對應的參數代入為

13、參數），得，所以，所以曲線的普通方程為；4分設圓的半徑為，則圓的方程為，將點代入得，所以圓的極坐標方程為 6分（）曲線的極坐標方程為，將代入得，所以 10分13.在直角坐標系xOy中，直線的參數方程為（為參數），若以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知圓的極坐標方程為，設是圓上任一點，連結并延長到，使.() 求點軌跡的直角坐標方程；() 若直線與點軌跡相交于兩點，點的直角坐標為，求的值.解：（）圓的直角坐標方程為，設，則，這就是所求的直角坐標方程5分（）把代入，即代入得，即令對應參數分別為，則，所以10分14().已知參數方程為（為參數）的直線經過橢圓的左焦點，且交軸正半軸于點，與橢圓

14、交于兩點、（點位于點上方）（I）求點對應的參數（用表示）；（II）若，求直線的傾斜角的值解：（）在橢圓中，即，-2分故，在直線的參數方程中，令，解得；-4分（）解法1：把代入橢圓方程，并整理得：，-6分設點、對應的參數為、，由結合參數的幾何意義得：，即，-8分解得，依題意知，-10分【解法2：設A、B兩點的橫坐標分別為、，將直線的普通方程代入橢圓方程并整理得：，-6分則，-7分 -8分,解得，依題意知，得. -10分】15. 在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系半圓C(圓心為點C)的極坐標方程為=2sin，(，) (I)求半圓C的參數方程： (II)直線l與兩

15、坐標軸的交點分別為A，B，其中A(O，-2)，點D在半圓C上，且直線CD的傾斜角是直線l傾斜角的2倍，若ABD的面積為4，求點D的直角坐標解：（）半圓C的直角坐標方程為x2(y1)21（y1），它的參數方程是是參數且(0，)4分（）設直線l的傾斜角為，則直線l的方程為yxtan2，D(cos2，1sin2)，2(0，) |AB|，點D到直線l的距離為|sincos2cossin23cos|3cossincos2cossin2|3cossin，由ABD的面積為4得tan1，即，故點D為(0，2)10分16().動點到定點的距離與它到定直線的距離之比為.() 求動點的軌跡的方程；（） 已知定點，動

16、點在直線上，作直線與軌跡的另一個交點為,作直線與軌跡的另一個交點為，證明：三點共線.解： ()由題意得， 化簡并整理，得 .所以動點的軌跡的方程為橢圓. （）當時，點重合，點重合，三點共線. 當時，根據題意：由消元得：整理得：該方程有一根為另一根為,根據韋達定理，由 消元得：整理得：該方程有一根為另一根為,根據韋達定理，當時，由得：，三點共線；當時，；，三點共線. 命題恒成立. 17() 已知函數f (x) ln xa2x2ax (a)( I ) 當a1時，求函數f (x)的單調區間；( II ) 若函數f (x)在區間 (1，)上是減函數，求實數a的取值范圍解：（）當時，定義域是.，由，解得；由，解得；所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是. （）（法一）因為函數在區間上是減函數，所以在上恒成立，則，即在上恒成立. 當時，所以不成立. 當時，對稱軸.，即，解得所以實數a的取值范圍是. （法二），定義域是.當時，在區間上是增函數，所以不成立時，令，即，則， （i）當時，由，解得，所以函數的單調遞減區間是.因為函數在區間上是減函數，+所以，解得. （