1、巧用圓錐曲線定義法解題摘 要：圓錐曲線是解析幾何中的重點，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重點章節(jié)之一，在教學(xué)過程和高考試卷中都占有很大的比例。在歷年高考的命題中都是熱點和重點之一。圓錐曲線的定義在初高中數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)中，都有廣泛的應(yīng)用。本論文首先對圓錐曲線的定義進(jìn)行歸納總結(jié)概述，運用類比和大量的舉例對圓錐曲線概念作了說明；其次給出了利用圓錐曲線定義巧解題的一些方法以及解題過程，然后對利用圓錐曲線定義巧解題中所涉及到的數(shù)學(xué)思想作了歸納和總結(jié)；最后通過調(diào)查分析了解了學(xué)生在學(xué)習(xí)利用圓錐曲線定義解題中常出錯的地方，并給出了應(yīng)對方法。關(guān)鍵詞：圓錐曲線定義解題方法一、圓錐曲線的定義圓錐曲線包括三類曲線，分別為

2、橢圓，雙曲線，拋物線。對于圓錐曲線，國際上總體上有兩大類的定義，第一種定義明確的標(biāo)出了圓錐曲線的三類曲線的特性，第二種定義則概括出了各圓錐曲線的本質(zhì)上的聯(lián)系。在數(shù)學(xué)中，定義是展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念之間區(qū)別的強有力的工具，定義反映了數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性和特征，對與數(shù)學(xué)定義的深刻理解，能夠為提高解題能力打下堅實基礎(chǔ)。在圓錐曲線中，有相當(dāng)多的問題是可以化歸到運用定義從而得以簡捷求解。1.1圓錐曲線的第一定義高中數(shù)學(xué)教材中對與圓錐曲線給出了兩種定義，第一定義展示了三類曲線各自獨特性質(zhì)和幾何特征，分別為：橢圓：平面與兩個定點距離的和等于定值的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離 叫做焦距。雙曲線

3、：平面與兩個定點距離的差的絕對值是定值的點的軌跡叫做雙曲線。這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做焦距。拋物線：平面到一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。幾何解析中，用垂直于圓錐錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面稍稍的傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當(dāng)平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。1.2圓錐曲線的第二定義圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）統(tǒng)一定義：平面一個動點M與一個定點F的距離與一條定直線I （點F不在直線I上）的距離比等于一個常數(shù) e。當(dāng)0 v e v 1時，動點M的軌跡是橢圓；當(dāng)e=1時，動點M的軌跡是拋物線； 當(dāng)e> 1時，

4、動點M的軌跡是雙曲線。圓錐曲線的第二定義，是圓錐曲線定義概念的重要組成部分， 揭示了圓錐曲線之間的在聯(lián)系。學(xué)習(xí)好圓錐曲線的 定義，不僅是研究圓錐曲線圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ)， 而且在許多高中數(shù)學(xué)問題的解題過程中。 具有不可磨滅的特殊作 用。第二定義（又叫做統(tǒng)一定義）深刻揭露了三類曲線的在聯(lián)系，使焦點，離心率，和準(zhǔn)線等構(gòu)成一個統(tǒng)一的整體，它揭示了圓錐曲線定義的本質(zhì)屬性。二、圓錐曲線定義的作用2.1導(dǎo)向作用：充分理解圓錐曲線的定義，對于很多高中數(shù)學(xué)以至于以后的高等數(shù)學(xué)，關(guān)于圓錐曲線的問題的解題過程上都有很大的導(dǎo)向作用，可以有助于拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維，啟迪解題思路。2.2簡化作用：幾何學(xué)學(xué)習(xí)中巧用圓錐曲線

5、的定義，能夠化簡復(fù)雜的變形與討論，從而使問題變得簡潔，也有利 于學(xué)生在考場上輕松解決與關(guān)于圓錐曲線考點的相關(guān)習(xí)題。2.3轉(zhuǎn)化作用：結(jié)合曲線圓錐的第一和第二定義，分析具體題目的獨特的結(jié)構(gòu)特征，有助于發(fā)掘隱含在考題當(dāng)中 的條件，從而使得題目化隱為顯，有效解決高考中的圓錐曲線問題。2.4聯(lián)絡(luò)問題：對于一些需要多種屬性思維和解題方法技巧的題目，圓錐曲線定義可以再其中起到橋梁紐帶作用,使得解題思路更連貫暢通。三、圓錐曲線的方程和圓錐曲線的基本性質(zhì)直角坐標(biāo)（中心為原點）2 2x2 - y21 (開口方向為x軸)a b2 2爲(wèi)-篤=1（開口方向為y軸）a b3.1圓錐曲線的方程223.1.1橢圓參數(shù)方程：x

6、cos ; yY bsin（為參數(shù)）直角坐標(biāo)（中心為原點）：務(wù)I 1ab23.1.2拋物線參數(shù)方程：x2 2pt（t為參數(shù)）直角坐標(biāo)：2y ax bx c （開口方向為y軸，ai 0)3.1.3雙曲線參數(shù)方程:x Xasec ; yY bta n (為參數(shù)）在近幾年高考對于考察圓錐曲線的考題中，大多數(shù)都是題目繁瑣， 且解答過程也很繁雜， 但如果能透徹的理解圓錐曲線的定義，并利用定義熟練解題，就會使問題化繁為簡，3.2橢圓、雙曲線和拋物線基本性質(zhì)曲 性線 質(zhì)橢圓雙曲線拋物線軌跡條件M | MF | + | MF2 |=2a, | F1F2 | v 2aM | | MF | - | MF | .=

7、± 2a, | F2F2 |> 2a.M | MF| =點 M 到直線l的距離.形狀Jlj J.r - 1LirJ10IfJIR 1標(biāo)準(zhǔn)方程2 2冷 + 3=1但 >b> 0)a b2 22- =1(a > 0,b > 0) a by2=2px(p > 0)頂點A(-a,O),A2(a,0);B(O,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)O(0,0)軸對稱軸x=0,y=0長軸長：2a短軸長：2b對稱軸x=0,y=0實軸長：2a虛軸長：2b對稱軸y=0焦占八'、八、F1（-c,0）,F2（c,0）焦點在長軸上F1(-c,0),

8、F2(c,0)焦點在實軸上PF（ , 0）2焦點對稱軸上焦距I F1F2 | =2c, c= Ja2 - b2I F1F2 | =2c,c= Ja2 b2準(zhǔn)線2,a x= ±c準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓外2x=± ac準(zhǔn)線垂直于實軸，且在兩頂點的側(cè)x=-衛(wèi)2準(zhǔn)線與焦點位于頂點兩側(cè)，且到頂點的距離相等離心率ce= ,0 v ev 1ac彳e= ,e > 1 ae=1四、巧用圓錐曲線定義解最值問題4.1. 橢圓第一定義在最值問題中的巧用橢圓第一定義：平面到兩定點Fi、F2的距離之和等于常數(shù) 2a的動點M的軌跡叫橢圓，即MFi | MF22X例1:橢圓362J 1上一點P到兩

9、個焦點距離之積為16m，求m的最大值，并求出當(dāng) m取得最大值時2a。P點的坐標(biāo)。分析：此題求P點到兩焦點之積，由不等式性質(zhì)和橢圓第一定義，可轉(zhuǎn)化為兩距離之和來求解。2 2解：設(shè)橢圓乞2_36161的左右焦點分別為F1、F2, PF1 PF2m10,PF1 PF2PF1 PF2225當(dāng)且僅當(dāng)PFj |PF2時取等號，此時點 P為短軸的端點。所以P的坐標(biāo)為(0，4)或(0,-4 )時，m能夠取最大值，最大值為36。考題中考察的是圓錐曲線的最值問題，而且題目中有涉及到圓錐曲線的焦點，我們此時可快速想到這種問題可以運用圓錐曲線的定義來解。此題考察的是動點到兩焦點距離之積，從而能夠很快速的想到該題能夠涉

10、及圓錐曲線的第一定義：動點到兩定點距離之和等于定值2a。再結(jié)合曾經(jīng)學(xué)過的不等式性質(zhì)，能夠很容易的把題目的考點轉(zhuǎn)化為曾經(jīng)學(xué)過的知識，從而使得問題得到輕松的解決。2 2V x例2、如圖，橢圓C的方程為 召 2 1 (a b 0)，A是橢圓C的短軸左頂點，過 A點作斜率為一1的a b9直線交橢圓于 B點，點P ( 1, 0),且BP/ V軸， APB的面積為，求橢圓C的方程；2分析：看似題目考查的是函數(shù)問題，按照經(jīng)驗似乎應(yīng)該做函數(shù)求峰值。但如果這樣一來，問題會變的很復(fù)得a212 ,所求橢圓方程為雜。但是我們可以巧用橢圓的第一定義，解答就相比較變得簡潔許多。1 9解：(1) Sapb - AP PB

11、,又/ PAB= 45°,2 2AP= PB 故 AP= BP= 3. / P ( 1,0 ), A (- 2,0 ) , B (1, - 3)124b=2 ,將B點坐標(biāo)代入橢圓得:如果題目問的是圓錐曲線的最值問題時如果由題目所給的條件，考慮用圓錐曲線的定義來求解，就能起到化繁為簡的效果。在解題中，要注意題目的已知條件，對問題中所給的條件反復(fù)推敲，舉一反三。假以時日, 以后遇到相同或者相近的習(xí)題時，就都可以此類推，下面列出一題，因解法類似，在此就不做解答了。題：已 知兩點 M(-2, 0) , N(2, 0)，動點P(x, y)在y軸上的射影為 H, PH是2和PM PN的等比中項.

12、(1)求動點P的軌跡方程；(2)若以點M N為焦點的雙曲線 C過直線x+y=1上的點Q,軸最長的雙曲線 C的方程.4.2. 雙曲線的第一定義在最值問題中的巧用雙曲線第一定義：平面點 M與一定點F的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)e -，這個點M的a軌跡是雙曲線。定點是雙曲線的焦點，定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。例3:如圖2, M是以A、B為焦點的雙曲線x2y22右支上任一點，若點M到點C( 3, 1)與點B的距離之和為S,貝U S的取值圍是()A、.26 2.2,C、.26 2 ,2,26 2、2解：連結(jié)MA由雙曲線的第一定義可得:MA MC 2 邁 AC 2 運MBMCMA

13、 2a.2622當(dāng)且僅當(dāng)A、此題充分凸顯的用圓錐曲線定義解題的便捷性。我們現(xiàn)將該題延伸(1 )若M點在左支上，則點 M到點C( 3,1)與點B的距離之和為(2)如果M是以A、2B為焦點的橢圓42y 1上任一點，若點3的最大值是多少?(3)如果M是以A、2B為焦點的橢圓421上任一點，3MCM C三點共線時取得最小值。S,則S的取值圍是多少?1若點M到點C 2,1與點B的距離之和為S,貝U S的取值圍是多少?分析：連結(jié)MA由橢圓的第一定義可得:A、M C三點共線時取得最大、列舉了。x2例4:已知雙曲線16MBMC2aM到點C -,1與點B的距離之差為S,則S最小值，如圖所示。對于拋物線，也有類似

14、的結(jié)論，由于較簡單，在此就不1有一點B 6,2 , F,、F2分別為雙曲線左右焦點，P是雙曲線右支上的動點，求PF2 PB的最小值。分析：題目可的是 pf2定義入手。利用曲線第一定義,線時有最小值。PB的最值問題，若從函數(shù)問題著手求最值則顯得太過繁瑣，我們可以從圓錐曲線PF2轉(zhuǎn)化為PR 8,而PB PR為平面三點距離之和，當(dāng)B , P , F!點共解：如圖，由題意得F, 5,0)、F2 5,0，有雙曲線的第一定義得PF, PF28所以PF2PB在如圖位置時有最小值，即PF,8,當(dāng)p點在如圖2位置時有最小值，當(dāng) P點yPFPBBF|<(65)2空5'5,所以PF2PB的最小值為5J

15、58。43拋物線的第一定義在最值中的巧用拋物線的定義，必須滿足的條件是定點需在直線外。如果定點跑到直線上，則平面與這個定點和定直線距離相等的點的軌跡是過這個定點與定直線垂直的直線。在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 y2 2px中，p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離。1、用定義解決的第一類問題：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程。若已知焦點，準(zhǔn)線，頂點，以及拋物線上一點的坐標(biāo)這四個條件中的任意兩個，就可以畫出草圖求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。2、用定義解決的第二類問題：已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。又如，下面的問題涉及到充分把握定義中p的幾何意義。例5:求拋物線x2=2ay(a0)的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。方程中的字母a有兩種情況

16、:(1)a>0時，拋物線開口向上,2p=2a,p=a,p/2=a/2, 焦點(0,a/2 )在y軸正半軸上，準(zhǔn)線方程：x=-a/2.(2)a<0時，拋物線開口向下,x2=-(-2a)y,2p=-2a,p=-a,p/2=-a/2,焦點(0,a/2 )在y軸負(fù)半軸上，準(zhǔn)線方程:X。上面焦半徑公式可知,于是得到焦點弦公式:ABAFABBFxix2AB =xi+ 衛(wèi) +X2+2。這個公式m：x -2對于開口方向不同的拋物線要靈活應(yīng)用,x=-a/2.這樣討論之后才發(fā)現(xiàn)，無論a (a0)取何值，焦點坐標(biāo)(0,a/2 ),準(zhǔn)線方程：x=-a/2.4.4利用拋物線定義解決的第三類問題：焦半徑和焦點

17、弦。拋物線y2 2px上任意一點M (x°, y°),焦點為F，線段MF叫做焦半徑。MF如圖。連接MF，并作MM,垂直于準(zhǔn)線I交y軸于點n。根據(jù)拋物線的定義， MF MM, NM x0衛(wèi)2應(yīng)用：求焦點在x軸上，且點 A(-2,3)到焦點的距離是5，求拋物線的方程。2拋物線y 2px，過焦點的直線 AB交拋物于A,B兩點，A(xi,yi)，B(x2,y 2),線段AB叫做拋物線的焦點弦。由在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶。例6:動點M到A(3,0)的距離比到直線如果用一般求軌跡的方法，解法如下:MA = d 1 即，.(X 30)于是去絕對值得.(x 30)2 y2設(shè)這樣求出來才發(fā)現(xiàn)點

18、 M的軌跡是拋物線。我們也可以換一種思路：先判斷出軌跡再求方程。如圖，作m的垂線交m于N,交直線x -3于M-則MA= MN 1 而 MN 1 MM1 所以 MA = MM “這樣，用語言表述上面的等式是：點M到點A(3,0)的距離等于它到直線 X3的距離，根據(jù)拋物線的定義可知，點M的軌跡是拋物線，點 A是焦點，x=-3是準(zhǔn)線。所以P 6，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：屮 12x。對比以上兩種解題方法，第一種方法是先求出軌跡方程后知道軌跡，第二種方法先判斷出軌跡再求解軌跡方程。我傾向于第二種方法，簡化了計算，比較簡單。當(dāng)然了，只有在熟練了定義情況下才能做到得心應(yīng)手。五、圓錐曲線第二定義在最值問題中的巧用

19、5.1橢圓第二定義在最值問題中的巧用圓錐曲線的第二定義既是推導(dǎo)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的依據(jù)，又是用來解決一些問題的重要方法，一般情況下，當(dāng)問題涉及焦點或準(zhǔn)線，且用其它方法不易求解時，可考慮運用定義求解。圓錐曲線中涉及到很多最值問題，如果方法不當(dāng)，求解過程就很復(fù)雜。有些與焦點和準(zhǔn)線有關(guān)的問題，從第二定義入手，就很容易解決問題。1圓錐曲線第二定義在求最值的形式一般是：PA -|PF的最小值。其中，在曲線C (橢圓，雙曲線或拋物e線)一定點(異于焦點)，P是曲線C上的一個動點，F(xiàn)是曲線C的一個焦點，e是曲線C的離心率。c橢圓第二定義：平面動點 M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比為常數(shù)e e 1時

20、，這個動a點的軌跡是橢圓。2 2例7：已知A( 2, J3),F是匚 1的右焦點，點 M為橢圓的動點，求 MA 2MF的最小值，16 12并求出此時點M的坐標(biāo)。分析：此題主要在于 2MF的轉(zhuǎn)化，由第二定義：凹匚 e -，可得出2MF d，即為M到L (右準(zhǔn)d2線)的距離。再求最小值可較快的求出。解：如圖所示，過M作MN I于N, L為右準(zhǔn)線：x 8，由第二定義，知：凹匚 e -， 2MF d MNd2MA 2MF MA MN ,要使|MA 2MF|為最小值，即：| MA MF為“最小”，由圖知：當(dāng)A、M、N共線，即：AM l時，MA 2MF為最小；且最小值為 A到L的距離 10,此時，可設(shè)M(

21、x0,J3)，代入橢圓方程中，解得：x0 2J3故：當(dāng)M (213*3)時，MA 2MF為的最小值為10由上我們可以知道，利用橢圓的第二定義解題， 能夠使問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，很容易使題目變得簡單。實用大全在以后的學(xué)習(xí)中，看到求點到直線的距離，就要充分理解運用第二定義的思維去解決圓錐曲線相關(guān)問題。例&設(shè)P(xo，y。)為橢圓1,(a b 0)的一點，離心率為e，P到左焦點Fi和右焦點F2的距離分別為門，r2 求證：r1exo證明如圖，由第二定義:PF12ax0 e 即：r1PF!2 a x0 ce(x。2a-)cexQ a又PF!注：上述結(jié)論PF!PF22ar2 2ar1a ex。

22、， a ar1 a ex( a x0PF!a c 當(dāng) PF1r1 2a (a ex0) a ex0exo稱為橢圓中的焦半徑公式a 得出 r1 a ea a c且 r1a c時，P為(a,0)當(dāng) PF!(a)c時，P為(a,0)c，這個點M的a5.2. 雙曲線的第二定義在最值問題中的巧用e是雙曲線的離心率。雙曲線的第二定義：平面點 M與一定點F的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)e軌跡是雙曲線。定點是雙曲線的焦點，定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)2ac例9：平面，點M(x, y)與定點F(c,0)的距離和它到直線l : x的距離的比是常數(shù)(c a 0)，ca求點M的軌跡。首先通過幾何畫板演示，讓學(xué)生有

23、一個感性的認(rèn)識，并從中觀察出點的軌跡，然后進(jìn)行求解。解：設(shè)d是點M到直線1的距離，根據(jù)題意，所求的軌跡就是集合nr”|MF |c，由此得J(xc)22y c71匸廠IVIdax2 aca化簡，彳導(dǎo)(c2a2 )x22a y2a2(c2 a2)設(shè)c2a2 b2,就可化為22xy2,2ab1(a0,b0).這是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點M的軌跡是實軸長、虛軸長分別為2a、2b的雙曲線。2 2 2注：對于雙曲線 務(wù) 占 1，相應(yīng)于焦點F(c,0)的準(zhǔn)線方程是x ，根據(jù)雙曲線的對稱性，相應(yīng)于焦點 a bc2oF'( c,0)的準(zhǔn)線方程是x，所以雙曲線有兩條準(zhǔn)線。c2 2例10：如果雙曲線L643

24、6解QaQ空d.64 8,b,36c |PF |10a,6, c 64 36|PF | 10如上題如何求P到左焦點F'的距離PF'解:方法二：雙曲線左支上的點離右準(zhǔn)線的距離的最小值20.8 由雙曲線的第二定義2 P到左準(zhǔn)線的距離d d 2養(yǎng)8c注：通過一題多解鞏固雙曲線中焦點與準(zhǔn)線的例2：已知點 A(5,3) , F(2,0)，在雙曲線x2解： a 1,<3 , c 2 , e=-2 ,a10即點P到右焦點PF2a，F(xiàn)的距離PF為10 。 PF -10 16, PF262aL ( a)c“對應(yīng)”關(guān)系。14.48，故P點為雙曲線右支上的點,|PF |d2七1上求一點P，使1PA|<即怛1 *嚴(yán)| 26.8 20.8 81| PF |的值最小。設(shè)P到與焦點(2,0)相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為d ,2,PF | d即在雙曲線上求點 P，使P到定點A的距離與到準(zhǔn)線的距離和最小,2顯然直線垂直于準(zhǔn)線時合題意，且在雙曲線的右