1、11.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（含答案）（高二）1 X1. （15北京理科）已知函數(shù) fx In1 x（I）求曲線y f x在點(diǎn)0, f 0 處的切線方程；3(H)求證：當(dāng) x 0, 1 時(shí)，f X 2 x ；33x（川）設(shè)實(shí)數(shù)k使得f x k x - 對(duì)x 0, 1恒成立，求k的最大值.3【答案】（I） 2xy 0 , （n）證明見解析，（川）k的最大值為2.試題分祈！利甲導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函敎在T二0處時(shí)函簸值及導(dǎo)數(shù)值，再閑直飪方程的點(diǎn)鴿式寫 出直線方程；第二歩裳證明不等式了卜十另在xm成立，可用作差法構(gòu)造礙F（Q =山心 斗邑）,利用戟研究函數(shù)FS在區(qū)閶8小上的單調(diào)性由于F3 0, 1 - JT

2、3FG）在5 1）上劉曽畫埶則用刃 /（0） = 0,間題得證，第三步與第二步丐法糞仏構(gòu)造函 數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,對(duì)悪數(shù)*作討論，首先A E 0. 2符舍題貳 具次當(dāng)A 2時(shí)，環(huán)滿星題 意舍去，得出丘的最大值為丄試題解析：（I）上1 x上f(x) lnrv，x ( 1J)，f(x)訂(0)2, f (0)0，曲線F(x)2x40, 1 時(shí)，F(xiàn)(x)0,故F（x）在（0, 1）上為增函數(shù)，則y fx在點(diǎn)0, f 0處的切線方程為2x y0 ；(n)當(dāng)x 0 , 1時(shí),f x2 x3-，即不等式3f(x)Nx3;)0 ,對(duì)x（0,1）成立，設(shè)F(x),1 x2xx3、ln(1x)ln(1x)2xx3

3、In -c )），則1 x33F(x)F(0)0,因此對(duì) x (0,1),Xa【答案】(I)極小值為 b ； (n) D |a a01 |b b01； (rn) 1.f(x)2；x)成立;33X(川)使f x k x 成立，x 0,1，等價(jià)于3F(x)Ink(xx3xr)F(x)kx2 k1 x當(dāng)k 0,2時(shí)，F(xiàn)(x)0,函數(shù)在(0, 1)上位增函數(shù)，F(xiàn)(x)F(0)0，符合題意；當(dāng) k 2時(shí)，令 F(x)0,X。4-(0,1)，kx(0, x)X。(X,1)F(x)-0+F(x)極小值ZF(x)F(0)，顯然不成立,綜上所述可知：k的最大值為2.考點(diǎn)：1導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單

4、調(diào)性，證明不等式；3含參問題討論 2. (15年安徽理科) 設(shè)函數(shù)f(x) x2 ax b.(1) 討論函數(shù)f(sinx)在(-,)內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值；2 2(2) 記 f0(x) x2 a0x b0,求函數(shù) f(sinx) f0(sinx)在(-,)上的最大值 D ；2 2(3 )在(2)中，取a0 b0 0,求z b旦2滿足D 1時(shí)的最大值。4試題分析 ( I ) 14 si n 代人 f (疋)為 f (siil .v) = win/ a a sin .v + i = sin .v(sin x- d) + l)、 x .農(nóng)導(dǎo)得/(sin .v) = (2 sin

5、r-i)cos.Vi - .t =.因?qū)?= x 0-2 2 sin a* 2. 按的范圍分三種情況逬行俵當(dāng)a-l=bR時(shí)，單調(diào)澤增冬無極1T蘭口上I上豈R 時(shí)，函數(shù)fginQ單開遙贏 無極值當(dāng)一在(?弓)內(nèi)存在唯一時(shí)與 梗得2 51ht: = ti 彳w工弐兀：時(shí)，函數(shù)力單調(diào)JB減；耳：vk v 時(shí)畫馥/(如單調(diào)遞增一因lit? 2 (? 2- b R 時(shí)函數(shù)f (sin或在也處有極小值/Xsin壬)二/(旦)二占-?-. (II) . 時(shí)！依據(jù)免對(duì)值不等7T1M式可 Ml | /(sin r) - ZOifl x) |=( C(?; -) sin .r+ b- aa-+ &一如 |，從而能

6、夠得出 liK|/(sin-/l(sin.v)|在%書上的最大值九D十一珂|+|如.(III)當(dāng)DL即乜亠此 止時(shí)0三丁 1十1乞臼乞1$從I而二三k ? 51 一依據(jù)式子特征2= 0. i 1 *則1十L)51,芥且4為一竺=1由此可知，z=b-満足條件DE1的蠱大值為1.442試題解析：(I) f (si n x) sin x asi nx b si n x(si nx a) b,x2 2f (sin x)(2sin x a)cos x , x .2 23 firUAcosx ? 0.-2 2siruc 2. 2 2 當(dāng)lbeR時(shí), / (sin x)單調(diào)違溺 無極11JT 丸-2 a 2

7、 在(-=)內(nèi)存在唯一的矽 使得2n憊二口一二 2時(shí).函/(sin r)單調(diào)謹(jǐn)滅；x-時(shí)，函數(shù)/(sinjr)單調(diào)匾増一-因此,-2 i 27 占 E 衛(wèi)時(shí)，iSSk/sinx)在弋處有極小值/(anx) = /() = h24CII)x 時(shí)，|/(sin 幾(血|=|誠(chéng)一a)siiiK+b如勻口一如十| 乃一妬 |,當(dāng)(螢一時(shí)，取x-,等號(hào)成立，ar當(dāng)他一次鳥時(shí)，取丸二一豐，等號(hào)成丸由此可知函數(shù)|/(sin-/i(sinx)|在一豐冷上的最大直為。9 口一亠|?一1. V(III) D 即|仃| 十 |臼|1此時(shí) M 口 Limwi,從而 z =6- 0時(shí)，f( x) x ；(n )證明：當(dāng)

8、k 0 ,使得對(duì)任意x? (0, x0),恒有f( x) g(x)；(川)確定k的所以可能取值，使得存在t 0，對(duì)任意的x ? (0, t),恒有|f( x) - g(x) | x2.【答案】(I)詳見解析；(n )詳見解析；)k=1.【解析】 試題分析：(I )構(gòu)造函數(shù)F(x)二f(x)-x= In(1 + x)- x,x? (0, ?),只需求值域的右端點(diǎn)并和 0 比較即可；(n )構(gòu)造函數(shù) G(x) = f(x)- g(x) =ln(1 + x)- kx,x? (0, ?),即 G(x) 0 , 求導(dǎo)得G &) = - k1+xkx + (i k)=，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) G(x)的形狀和最

9、值，證明當(dāng) k0 ,使1+x得G(x) 0即可；(川)由(I )知，當(dāng)k1時(shí)，對(duì)于x違(0,+), g(x) xf(x),故2 2g(x) f(x),則不等式 |f(x)- g(x) | x 變形為 k x- In(1 + x) x ,構(gòu)造函數(shù) M( x) = kx- I n(1+x)-x2,x 違：0, +),只需說明 M (x)0 ,易發(fā)現(xiàn)函數(shù) M (x)在x?(0,k-2+ ,(k- 2)2+8(k-1)4)遞增，而M (0)0,故不存在；當(dāng) k0,使得對(duì)任意的任意的x? (0, x),恒有f(x)g(x),此時(shí)不等式變形為2ln(1 +x) - k x x ,2構(gòu)造 N(x) = ln

10、(1 + x)-kx-x ,x違：0, +),易發(fā)現(xiàn)函數(shù) N(x)在x?(0,-(k+2*(k+2)2+8(j k)遞增，而 N(0)0 ,不滿足題意；當(dāng)k=1時(shí)，代入證4明即可.試題解析：解法一 ：(1)令 F (x)二 f( x) - x 二 ln(1 + x) - x, x? (0, ?),貝U 有1+xx1+x當(dāng)x? (0, ? ), F fx) 0 時(shí)，F(xiàn)(x)0 時(shí)，f( x) 0,所以 G(x)在0, +?)上單調(diào)遞增,G(x)G(0) =0故對(duì)任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意.當(dāng) 0k0 k k1取x0二一-1,對(duì)任意x? (O,xo),恒有Ggx) 0 ,所以G(x)在O,xo)上單

11、調(diào)遞 k增,G(x) G(0) =0,即 f(x)g(x).綜上，當(dāng)k 0 ,使得對(duì)任意的x? (0，X。),恒有f(x) g(x) 當(dāng) k 1 時(shí)，由(1)知，對(duì)于x 違(0,+ ), g(x) xf(x),故 g(x) f(x), |f(x)- g(x) |= g(x)- f (x) = kx- ln(1+x),令 M( x) = k x- ln(1 + x) - x2, x違0, +),2g1-2 x +(k-2) x + k - 1則有 M 伙)二 k- - 2x=,1 + x1 +xc “ k - 2 + J(k- 2)2+8(k- 1)、亠 c故當(dāng) x?(0,-)時(shí)，M 致)0,4

12、M( x)在O,- 2+ (k- 2 +8(k- D)上單調(diào)遞增，故 M(x)M(0) =0,4即|f( x) - g(x) | X2所以滿足題意的t不存在當(dāng)k0,使得對(duì)任意的任意的 x? (0, X。),恒有f(x) g(x) 此時(shí) |f(x)- g(x) |= f(x)- g(x) = ln(1 + x) - k x,2令 N(x) = ln(1+x) - k x-x , x違0, +),2則有N (x)二1, c-2x2-(k+2)x- k+1-k- 2x=1+x1+x故當(dāng)x?(0,)時(shí),-(k+2) +、(k+2)2+8(1- k)4M( x)在0,-(k + 2) +、, (k+2)

13、2+8(1- k)4)上單調(diào)遞增，故N(x) N(0) =0,中較小的為即 f(x) - g(x)x2,記 x 與-(k + 2)+ (k+2)2 +8(1- k) 則當(dāng)x? (0,xj時(shí)，恒有|f(x) g(x) | x，故滿足題意的t不存在.當(dāng) k=1，由(1)知,當(dāng) x違(0, +), | f(x) - g(x) |= g(x) - f (x) = x - ln(1 + x),令 H(x) = x-1-2x - x-In(1 +x)- x , x違0， +)，則有 H (x) = 1 - 2x=1 + x1 + x當(dāng)x0時(shí)，H (x) 0 所以 H(x)在0 + Y)上單調(diào)遞減，故 H(

14、x) 0時(shí)，恒有|f(x)- g(x) |1 時(shí)，由(1)知，對(duì)于x違(0,+ ), g(x) xf(x)，故 |f(x)- g(x) |= g(x) - f (x) = k x- ln(1 + x) k x- x = (k- 1)x，令(k- 1)x x2,解得 0 x1時(shí)，對(duì)于x? (0, k 1)恒有|f( x)- g(x) | x2所以滿足題意的t不存在.k+1當(dāng)k 1時(shí)，取k1=，從而k k1 0,使得任意x? (0，x0),恒有 f(x) Kx kx 二 g(x).1 - k此時(shí) |f(x)- g(x) |=f(x)- g(x)(k1- k)x = x,令 x x2,解得 0xx2

15、,2 21-k2記x0與中較小的為x1，則當(dāng)x? (0，x1 )時(shí)，恒有| f(x) g(x) | x ，2故滿足題意的t不存在.當(dāng) k=1，由(1)知,當(dāng)x違(0,+ ), |f(x)- g(x)|=g(x)- f(x) =x- ln(1 + x)，令 M(x)2x ln(1 x) x ,x 0，+ )，則有 M (x)2x2x2 x1 x當(dāng)x 0時(shí)，M儀)0,所以M( x)在0,+ )上單調(diào)遞減，故 M(x)0時(shí)，恒有| f(x) - g(x)|x此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意綜上，k=1.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.4. (15年新課標(biāo)2理科)設(shè)函數(shù)f(x) emx x2 mx。(1) 證明：f(x

16、)在(，0)單調(diào)遞減，在(0,)單調(diào)遞增；(2) 若對(duì)于任意 1,1，都有|f(xj f(%)| e 1，求m的取值范圍。解：(1)因?yàn)?/(jc) - e + jr3 - mx , fiSU5 -耐亡0 * 2工一陋亠n + 2去0在Jf上動(dòng)盧立，決fCO -+ 2a - m 上笙調(diào)遞塔*而 0 ;所咲huO時(shí)，f(jr)g 歷以劃在(yQ)車閽遢減*在十幼卑謂遑増 +此時(shí)丿仗)在卜I上的晨大值S. 2-時(shí)f(珂)-人叩占-1成丄當(dāng) m手 o時(shí)，yf-1)=i - wt /(T)二 0.所臥5) /(I) /(-I) - q - 2wi在丘上單i同誨增而 (0)- Q* 所臥胭 A &時(shí).訊町 A 0 RP /0) /(-I)*頃以 m a 時(shí)/ g() 0/(l) 0 01, | /(rj f(2)國(guó) /(!)-!0 m 1*J豈桝w 0旳I /(j) - /(七)| 型 /(* 1) i 審耐 e* 亠(-耐)蘭歧-I W 朋所以，綜上僑述汕的取儲(chǔ)范ffiSc-i.oJ試題分析：由廣月二丄一口:可分日 0 .a a 0兩種情況來i寸論：n）由（I）知當(dāng)a 0時(shí)廣（豈）在（0=+x）X無最大值-當(dāng)e?Q時(shí) Jx最丈值為 f ；=In tf + -1 一因此 f；2? 2Olnc+